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Il fenomeno del tunneling risonante per le buche è un aspetto fondamentale nelle strutture a doppio barriera, con applicazioni cruciali nei dispositivi elettronici avanzati. La comprensione di come il campo magnetico influenzi tale processo permette di prevedere e ottimizzare le caratteristiche dei materiali semiconduttori utilizzati in questi dispositivi.
Gli studi sull'effetto di un forte campo magnetico sulle posizioni dei picchi di corrente risonante hanno rivelato risultati sorprendenti. Quando il campo magnetico viene applicato lungo la direzione della corrente, e la banda di energia delle buche è semplice e parabolica, il problema risulta relativamente più semplice da trattare. Tuttavia, quando la banda di energia delle buche è influenzata dalla direzione del campo magnetico, si osserva una divisione in livelli energetici di Landau. In queste condizioni, l'energia di risonanza aumenta linearmente con l'intensità del campo magnetico.
Curiosamente, non tutti i picchi di energia aumentano con l'intensità del campo magnetico: alcuni diminuiscono. Questo fenomeno evidenzia la complessità intrinseca delle bande di valenza delle buche, che devono essere trattate considerando il loro accoppiamento tra buche leggere e pesanti, nonché l'eventuale non-parabolicità delle bande di energia. Per risolvere tale problema, Xia ha proposto una teoria di tunneling risonante delle buche, considerando una struttura a doppia barriera con un Hamiltoniano di massa effettiva.
L'Hamiltoniano di massa effettiva in una struttura a doppia barriera può essere scritto come una somma tra l'hamiltoniano libero e il potenziale della struttura. In questo contesto, i termini che descrivono il momento delle particelle, così come i parametri di Luttinger, γ1, γ2, γ3, svolgono un ruolo cruciale nell'evoluzione della funzione d'onda delle buche durante il processo di tunneling. La presenza di accoppiamento tra buche leggere e pesanti e la considerazione di una massa effettiva non costante sono determinanti nel determinare le probabilità di trasmissione e riflessione.
L'integrazione numerica della funzione d'onda risulta essere necessaria per risolvere il sistema di equazioni differenziali che derivano dall'hamiltoniano. In particolare, le equazioni per la funzione d'onda di una buca in presenza di una barriera potenziale sono complesse e richiedono una soluzione numerica precisa per ottenere informazioni sulle probabilità di trasmissione e riflessione.
Dopo aver calcolato le funzioni d'onda su entrambi i lati della barriera, le probabilità di trasmissione possono essere ottenute risolvendo il sistema lineare che collega le coefficienti della funzione d'onda tramite una matrice di trasferimento. Questa matrice consente di calcolare le probabilità di trasmissione (Thh, Thl, Tlh, Tll) e di riflessione (Rhh, Rhl, Rlh, Rll) in base agli stati di buche pesanti e leggere. I grafici che rappresentano le probabilità di trasmissione in funzione dell'energia mostrano chiaramente la separazione tra i contributi delle buche leggere e pesanti, con picchi distinti associati a ciascun tipo di buca.
A seguito dell'aumento dell'intensità del campo magnetico, l'accoppiamento tra buche leggere e pesanti diventa più evidente, influenzando notevolmente il comportamento del tunneling risonante. Quando il campo magnetico è forte, la probabilità di trasmissione dipende dalla capacità delle buche di passare attraverso la barriera e dalla loro interazione in presenza di livelli energetici di Landau.
Inoltre, il fenomeno del tunneling risonante per le buche non deve essere trattato come una mera questione di fisica delle particelle in isolamento. La presenza di un campo magnetico altera la geometria e la dinamica della banda di energia, influenzando le proprietà di trasporto e la risposta elettronica dei materiali. È pertanto fondamentale comprendere le implicazioni pratiche di tali fenomeni in dispositivi a semiconduttore, come i diodi a tunnel e i transistor, dove il controllo preciso del tunneling è essenziale per il loro funzionamento.
Oltre alla comprensione del processo di tunneling risonante, è importante anche considerare l'effetto che la geometria della struttura (come la larghezza delle barriere e la loro altezza) può avere sulle probabilità di trasmissione e riflessione. In particolare, l'efficacia del tunneling dipende dalla relazione tra la lunghezza delle barriere e la dimensione del sistema quantistico, con implicazioni dirette per la progettazione di dispositivi a bassa potenza e alta velocità.
Come si descrive il trasporto di fori nei dispositivi di interferenza quantistica?
Nel circuito mostrato in Figura 10.7a, l'equazione per il comportamento del foro può essere scritta come ϕ = c₁φₕ(θ)eᵢᵏₕₗ + c₂φₗ(θ)eᵢᵏₗₗ + c₃φₕ(θ)e⁻ᵢᵏₕₗ + c₄φₗ(θ)e⁻ᵢᵏₗₗ, dove kh = √(2mhE) e kl = √(2mlE), mh = m₀√(γ₁ - 1) e ml = √((2γ₁ + 2γ²)/2) sono i vettori d'onda del foro pesante e del foro leggero, rispettivamente. I coefficienti c₁, c₂, c₃ e c₄ devono essere determinati dalle condizioni al contorno.
Le condizioni al contorno per le funzioni d'onda dei fori sono simili a quelle per gli elettroni, come mostrato nell'equazione 10.2. La seconda condizione al contorno è descritta dalle equazioni 10.4 e 10.5, ovvero la densità di corrente 𝒋 = γ²θL₁ + √(γ²)3γ²e⁻ⁱl, con γ₁ - pγ₂ come termine di transizione. Le condizioni al contorno all'intersezione sono date da ϕ₁ = ϕ₂ = ... = ϕn, e la somma ∑n Liϕᵢ = 0.
Ovviamente, il caso del foro è più complesso rispetto a quello dell'elettrone, poiché ci sono quattro coefficienti sconosciuti in ciascun circuito. In generale, non è possibile ottenere risultati analitici direttamente dal sistema di equazioni lineari per i coefficienti. In seguito, si considera il trasporto del foro nei transistor a interferenza quantistica [4, 5] con un unico gate, come mostrato in Figura 10.7c. Si assume che un'onda incidente di foro pesante con un vettore d'onda k entri nel circuito di sorgente 1 e esca dal circuito di drenaggio 3. Il circuito 2 è il gate, la cui lunghezza L è controllata dalla tensione del gate. La funzione d'onda nel circuito 2 è un'onda stazionaria con il punto zero al gate.
Se scegliamo il nodo O come origine di tutti e tre i circuiti, le funzioni d'onda possono essere scritte come ϕ₁ = φₕ(0)eᵢᵏₗ₁ + a₁φₗ(0)eᵢᵏ′ₗ₁ + a₂φₗ(0)e⁻ᵢᵏ′ₗ₁, ϕ₂ = c₁φₕ(π/2)sin[k(l₂ - L)] + c₂φₗ(π/2)sin(l₂ - L), e ϕ₃ = d₁φₕ(0)eᵢᵏₗ₃ + d₂φₗ(0)eᵢᵏ′ₗ₃. In queste espressioni, k e k′ sono i vettori d'onda per il foro pesante e il foro leggero, rispettivamente.
Applicando le condizioni al contorno (Eq. 10.36), otteniamo un sistema di equazioni lineari per sei coefficienti nelle espressioni di ϕ₁, ϕ₂ e ϕ₃. I risultati finali sono riportati nel riferimento [2]. È importante notare che le densità di corrente dei fori pesanti e leggeri sono proporzionali a k/mₕ e k′/mₗ, rispettivamente, moltiplicati per i loro coefficienti corrispondenti.
Le funzioni di trasmissione e riflessione possono essere scritte come:
Tₕₕ = |d₁|², Tₕₗ = |d₂|²kk′, Rₕₕ = |a₁|², e Rₕₗ = |a₂|²kk′.
Tₕₕ rappresenta la probabilità di trasmissione di un foro pesante a un foro pesante, Tₕₗ la probabilità di trasmissione di un foro pesante a un foro leggero, Rₕₕ la probabilità di riflessione di un foro pesante su se stesso, e Rₕₗ la probabilità di riflessione di un foro pesante su un foro leggero.
I risultati numerici per Tₕₕ, Tₕₗ, e Rₕₕ come funzioni di kL sono mostrati in Figura 10.8a. Utilizzando i parametri di massa efficace del GaAs, γ₁ = 6.85 e γ₂ = 10.5, possiamo osservare che tutte le funzioni oscillano con kL in un periodo di circa 5π. Con questi parametri, il rapporto tra il vettore d'onda del foro leggero e del foro pesante, k′/k, è circa 0.395. Se sostituiamo questo valore con 0.4, otteniamo una forma di oscillazione più regolare, come mostrato in Figura 10.8b.
In Figura 10.8b, la curva di Tₕₕ mostra due picchi principali e due valli principali per ogni periodo. Inoltre, nelle posizioni dei picchi di Tₕₗ, la curva di Tₕₕ presenta un abbassamento netto intorno a π e 3π, il che indica che una parte del foro pesante viene convertita in un foro leggero. Questo fenomeno è dovuto all'interferenza tra le onde di foro pesante e leggero. Inoltre, si osserva che il valore massimo di Tₕₗ è circa 0.2, il che significa che solo una piccola frazione dell'onda del foro pesante si converte in un'onda di foro leggero.
Se un'onda incidente di foro leggero con vettore d'onda k′ entra nel circuito di sorgente 1, le funzioni di trasmissione e riflessione possono essere calcolate allo stesso modo. I risultati numerici sono mostrati in Figura 10.9, dove il rapporto k′/k è fissato a 0.4, e quindi le funzioni hanno un periodo di 2π rispetto a k′L. Si nota che i picchi di Rₗₗ sono molto più nitidi rispetto a quelli di Rₕₕ, come mostrato in Figura 10.8b, e Tₗₗ presenta plateau risonanti piuttosto che picchi.
In sintesi, l'interferenza tra fori pesanti e leggeri in dispositivi di interferenza quantistica è un fenomeno complesso che dipende fortemente dalle caratteristiche del sistema, come la geometria del dispositivo e i parametri fisici, come il rapporto tra i vettori d'onda. Le oscillazioni nelle curve di trasmissione e riflessione sono indicative di questi fenomeni di interferenza e conversione tra fori pesanti e leggeri, e devono essere considerate attentamente quando si progettano circuiti quantistici complessi.