Il tunneling risonante (RT) è un fenomeno che si verifica quando un elettrone supera una barriera di potenziale grazie alla risonanza tra il livello energetico dell'elettrone e l'energia di una particolare stato confinato all'interno di un pozzo quantico. Questo fenomeno è fondamentale per la progettazione di dispositivi elettronici ad alte prestazioni, come i diodi a tunnel risonante (RTDs), utilizzati in vari campi come la microelettronica e la tecnologia delle alte frequenze.

Nel caso di una struttura con due barriere di potenziale, quando viene applicata una tensione, l'energia di Fermi (EF) si sposta verso il basso. Questo spostamento fa sì che il livello energetico degli elettroni diventi risonante con gli stati confinati nei pozzi di potenziale, generando picchi di corrente risonante. In un sistema con una doppia barriera, il comportamento del tunneling è relativamente semplice: quando l'energia di Fermi si allinea con il primo stato confinato, si osserva un picco di corrente. Tuttavia, con l'aumentare della tensione applicata, si verificano ulteriori picchi man mano che il livello di energia si allinea con altri stati confinati, portando alla formazione di nuovi picchi di corrente risonante. In un sistema con barriere multiple, ad esempio una tripla o quintuplice barriera, il comportamento si complica ulteriormente. In questi casi, EF può essere risonante con più stati confinati, creando una serie di picchi di corrente. Ogni barriera aggiuntiva tende a suddividere i picchi in gruppi, a causa del legame tra i livelli energetici dei pozzi confinati adiacenti.

La probabilità di tunneling in queste strutture può essere calcolata utilizzando il metodo della matrice di trasferimento, che è un approccio matematico utilizzato per analizzare i sistemi a strati finiti come quelli con barriere multiple. L'energia di risonanza dipende da vari fattori, tra cui l'altezza e la larghezza delle barriere, la larghezza dei pozzi e la posizione dell'energia di Fermi. Nei casi con più barriere, si osservano fenomeni di suddivisione dei picchi di corrente in doppi, tripli o addirittura quadrupli, a causa del forte accoppiamento tra i livelli energetici dei pozzi confinati.

Inoltre, l'effetto di resistenza negativa che emerge da questi dispositivi può essere sfruttato per progettare oscillatori a due terminali RT. Questi oscillatori sono circuiti elettronici che possono generare segnali a frequenze elevate grazie al comportamento di resistenza negativa, che si verifica quando la corrente diminuisce mentre la tensione aumenta. Per ottenere un'alta frequenza di oscillazione, è necessario ridurre al minimo la resistenza parassita e la capacità del diodo, ottimizzando la struttura del dispositivo.

Un esempio interessante riguarda il sistema di materiali InAs/AlSb, che presenta vantaggi significativi rispetto al tradizionale sistema GaAs/AlAs per la realizzazione dei RTDs. InAs ha una massa efficace degli elettroni molto più bassa rispetto a GaAs, il che consente agli elettroni di muoversi più velocemente attraverso il materiale. Inoltre, l'offset di banda InAs/AlSb favorisce un tunneling più facile attraverso la barriera di AlSb rispetto a quella di AlAs. Questo migliora la differenza tra le correnti di picco e di valle, fondamentale per aumentare le prestazioni di un oscillatore RT. Le misurazioni sperimentali su dispositivi InAs/AlSb hanno mostrato oscillazioni a frequenze molto elevate, raggiungendo i 712 GHz a temperatura ambiente, con una densità di potenza significativamente maggiore rispetto ai dispositivi basati su GaAs.

Tuttavia, nonostante i progressi tecnologici, i RTDs non sono ancora ampiamente utilizzati a causa delle difficoltà legate all'operazione a temperatura ambiente e alla necessità di integrazione su larga scala. I problemi principali riguardano la difficoltà di mantenere un'alta efficienza operativa a temperatura ambiente e la gestione delle perdite parassite nei circuiti complessi. Per superare queste difficoltà, è necessario lavorare su soluzioni che ottimizzino la struttura del dispositivo, riducendo al minimo le perdite e migliorando l'integrazione dei componenti.

In un contesto di ricerca e sviluppo, la comprensione di come i dispositivi RT reagiscono a diverse configurazioni di barriere di potenziale e la gestione dei parametri materiali sono cruciali per portare a nuove applicazioni in ambito ad alta frequenza e per migliorare le prestazioni dei dispositivi elettronici avanzati. La realizzazione di oscillatori ad alte prestazioni a base di RTD è un passo fondamentale verso la creazione di dispositivi per comunicazioni ultra-veloci e altre tecnologie emergenti.

Come funziona il Trasporto Longitudinale nelle Superlattice: Oscillazioni e Minibande

Il trasporto longitudinale in una superlattice si riferisce al movimento degli elettroni lungo la direzione di crescita della struttura, un fenomeno che può essere strettamente legato al tunnel risonante, già trattato nel capitolo precedente. In queste strutture, la distanza percorsa dagli elettroni lungo la direzione longitudinale è molto breve, generalmente solo pochi nanometri o frazioni di nanometro. Di conseguenza, l'effetto di dispersione sul movimento degli elettroni non è significativo. Il comportamento degli elettroni è dominato principalmente dall'effetto quantistico, un aspetto che diventa fondamentale quando la velocità degli elettroni è significativamente più alta rispetto alla velocità termica di equilibrio dei portatori. Per questo motivo, dispositivi che sfruttano tale fenomeno vengono spesso chiamati "dispositivi ad effetto quantistico" o "dispositivi a elettroni caldi".

La velocità elevata degli elettroni in questi dispositivi rappresenta un vantaggio sostanziale, permettendo la realizzazione di dispositivi ad alte frequenze. Tuttavia, questo non implica che tali velocità si riflettano nelle prestazioni complessive del dispositivo. Infatti, i circuiti basati su questi dispositivi sono soggetti a ritardi, come quelli derivanti dalla capacità e dalla resistenza (ritardo RC), che impediscono che la velocità nell'area attiva si manifesti nell'intero comportamento del dispositivo. A tal fine, si utilizzano caratteristiche non lineari forti o modulate della corrente-tensione, o una simmetria speciale degli elettrodi, per ottenere prestazioni più complesse nei circuiti. Questi dispositivi possono sostituire unità circuitali costruite con un gran numero di transistor o circuiti passivi, come nel caso delle memorie a più valori o nei circuiti logici.

Tuttavia, l'adozione pratica di dispositivi quantistici e a elettroni caldi è ostacolata dalla difficoltà di funzionamento a temperatura ambiente e dalla limitata possibilità di integrazione su larga scala. Per ora, sono impiegati solo in applicazioni particolari, dove i loro vantaggi possono essere pienamente sfruttati.

Quando si riduce progressivamente lo spessore del potenziale barriera di una superlattice, gli stati confinati nei pozzi quantici adiacenti iniziano a interagire tra loro. Questo porta alla formazione di una banda larga, nota come minibanda. Questi stati confinati nei pozzi quantici si comportano come atomi in una catena atomica unidimensionale. Per semplificare, si può assumere che l'energia di ciascun stato atomico sia E0E_0, l'energia di interazione tra atomi adiacenti sia V0V_0, e la distanza tra atomi consecutivi sia dd. La funzione d'onda della catena atomica risulta esprimibile come:

ψk=1N∑ieikRiϕi(r)\psi_k = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i} e^{ikR_i} \phi_i(r)

dove kk è il vettore d'onda, RiR_i è la coordinata dell'atomo i-esimo, ϕi(r)\phi_i(r) è la funzione d'onda dell'atomo i-esimo e NN è il numero totale di atomi. L'energia dell'atomo, EE, può essere scritta come:

E=E0+2V0cos⁡(kd)E = E_0 + 2V_0 \cos(kd)

Questa equazione mostra come l'energia della catena atomica dipenda dall'interazione tra atomi adiacenti e dal valore del vettore d'onda kk. La larghezza della minibanda, indicata da Δ\Delta, è proporzionale all'interazione tra stati confinati nei pozzi quantici adiacenti, ovvero inversamente proporzionale alla larghezza della barriera.

La minibanda che emerge da questa interazione presenta alcune differenze sostanziali rispetto alla tradizionale banda di energia di un semiconduttore. La banda di energia di un semiconduttore è isotropica, mentre la minibanda di una superlattice è altamente anisotropa. Nella direzione xx e yy, la minibanda è simile alla banda di energia del materiale bulk, ma lungo la direzione zz presenta una larghezza di banda molto ridotta, dell'ordine di decine di millielettronvolt. Inoltre, la zona di Brillouin della minibanda è significativamente più piccola rispetto a quella della banda di energia bulk, poiché la periodizzazione della superlattice lungo la direzione zz è molto più piccola della distanza tra gli atomi del materiale bulk.

Nel caso di un campo elettrico applicato, gli elettroni in una struttura bulk tendono a muoversi verso il centro della zona di Brillouin, dove subiscono scattering a causa di impurità o altre discontinuità. In una superlattice, invece, la piccola zona di Brillouin consente agli elettroni di raggiungere il bordo della zona di Brillouin prima di essere scagliati, una condizione che può portare alla comparsa di conduttanza negativa. In questo contesto, il modello di oscillazione di Bloch, basato sull'idea che gli elettroni possano raggiungere il bordo della zona di Brillouin prima di essere dispersi, è stato proposto come una possibile spiegazione per l'osservazione di questo fenomeno nelle superlattice. La condizione per la comparsa di conduttanza negativa è data dall'equazione:

πd=eFτd\frac{\pi}{d} = \frac{eF \tau}{d}

dove FF è il campo elettrico applicato, dd è la distanza tra i pozzi quantici, e τ\tau è il tempo di rilassamento. Se il tempo di rilassamento è maggiore di τ\tau, gli elettroni possono raggiungere il bordo della zona di Brillouin e generare conduttanza negativa.

Questo comportamento è un aspetto cruciale nelle applicazioni di dispositivi a superlattice, e la comprensione di come le minibande influenzano il trasporto elettronico può aprire la strada alla progettazione di dispositivi sempre più avanzati, in grado di sfruttare le proprietà quantistiche in modo più efficace.

Come si applica la teoria del waveguide quantistico unidimensionale nei circuiti elettronici

La progettazione di circuiti elettronici quantistici richiede un approfondimento sulla mobilità degli elettroni e sul loro comportamento nei cosiddetti "wire" quantistici, ovvero fili con mobilità estremamente alta e larghezze molto strette, dove solo i primi sottoband vengono occupati e il trasporto avviene in modo ballistico. In queste strutture, le modalità ammesse nel canale sono quelle che si definiscono modalità "waveguide", ovvero modalità di propagazione in un circuito unidimensionale. La chiave per comprendere il comportamento di questi circuiti è l'utilizzo della formula di Landauer-Büttiker, che implica la risoluzione della matrice del coefficiente di trasmissione tt.

La teoria del waveguide quantistico unidimensionale, applicabile a circuiti quantistici di qualsiasi forma e struttura, parte dall'assunzione che la larghezza del circuito sia sufficientemente ridotta in modo che la separazione energetica tra i sottoband dovuta alla confinazione trasversale sia molto più grande dell'energia cinetica longitudinale dell'elettrone. In questo caso, il movimento dell'elettrone può essere descritto come un movimento unidimensionale, che si esprime con una funzione d'onda piana la cui direzione di propagazione coincide con quella del circuito.

Le equazioni fondamentali che descrivono questo fenomeno si basano sulla continuità della funzione d'onda e sulla conservazione della densità di corrente. Se si considera la funzione d'onda ψi\psi_i nel circuito ii-esimo come una combinazione di onde in ingresso ed uscita, la continuità della funzione d'onda tra i vari circuiti che si incrociano può essere espressa dall'equazione:

ψ1=ψ2=ψ3=⋯=ψn\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = \cdots = \psi_n

Inoltre, la conservazione della corrente, espressa dalla relazione differenziale:

∑∂ψi∂xi=0\sum \frac{\partial \psi_i}{\partial x_i} = 0

descrive come la corrente totale che attraversa ogni incrocio tra i circuiti deve essere nulla. In presenza di interazioni spin-orbita, occorre introdurre un operatore densità di corrente, che diventa più complesso rispetto alla semplice derivata parziale ∂∂xi\frac{\partial}{\partial x_i}.

Per determinare la funzione d'onda dell'intero sistema, le condizioni di bordo ai vari incroci tra circuiti, insieme alle condizioni agli estremi di ingresso e uscita, permettono di risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari. Questo approccio risulta fondamentale per l'analisi e il calcolo della trasmissione in un sistema quantistico.

Un'applicazione pratica di questa teoria può essere illustrata dal caso di un anello con due bracci, dove la lunghezza di ciascun braccio è differente. Il comportamento di un elettrone che entra nel circuito attraverso uno dei bracci e esce dall'altro può essere descritto tramite la funzione d'onda nei vari circuiti. In assenza di un campo magnetico, la soluzione del sistema di equazioni porta alla funzione di trasmissione, che dipende in modo periodico dalla lunghezza dei bracci e dal parametro kLkL.

Nel caso in cui venga applicato un campo magnetico perpendicolare al piano dell'anello, il fenomeno di interferenza quantistica prende il sopravvento. In questo caso, la trasmissione dipende non solo dalla lunghezza del percorso, ma anche dal flusso magnetico che attraversa l'anello. Il risultato di questo fenomeno è il cosiddetto effetto Aharonov-Bohm, che mostra una periodicità nella trasmissione in funzione del flusso magnetico, con un periodo che dipende dalla costante di Planck divisa per la carica dell'elettrone.

Le implicazioni pratiche di questo comportamento sono fondamentali per la progettazione di dispositivi quantistici avanzati, come transistor a interferenza quantistica e altri dispositivi basati su effetti di interferenza. La comprensione di questi fenomeni è essenziale per lo sviluppo di circuiti elettronici quantistici altamente efficienti, capaci di sfruttare le proprietà uniche della meccanica quantistica per realizzare tecnologie di nuova generazione.

Un altro aspetto importante da considerare riguarda il comportamento dei circuiti quantistici sotto l'influenza di vari parametri esterni, come i campi magnetici o le perturbazioni dovute a interazioni spin-orbita. L'effetto di questi fattori può essere studiato ulteriormente considerando le modifiche alla funzione di trasmissione e alle condizioni di bordo nel contesto di circuiti complessi. Inoltre, la capacità di manipolare e controllare questi fenomeni aprirà la strada alla realizzazione di dispositivi quantistici sempre più sofisticati e miniaturizzati.

Come derivare e comporre le matrici di scattering per dispositivi a guida d'onda quantistica

Le matrici di scattering possono essere derivate in modo diretto dalla Eq. 11.9 come segue:

S11=−(M−)−1+M−(12M−)(11−M−1−2),S_{11} = - \left( M^{ - } \right)^{ -1} + M^{ - } \left( 1 2 M^{ - } \right) \left( 1 1 - M^{ -1} - 2 \right),
S12=2M(11+M−)−12,S_{12} = 2 M \left( 1 1 + M^{ - } \right)^{ -1} 2,
S21=2(M1+M2)1,S_{21} = 2 \left( M_1 + M_2 \right) 1,
S22=−(M1+M2)−1(M1−M2).S_{22} = - \left( M_1 + M_2 \right)^{ -1} \left( M_1 - M_2 \right).

La propagazione libera attraverso un canale uniforme di lunghezza LL è descritta dalla matrice di scattering:

Sf=(0PP0),S_f = \begin{pmatrix} 0 & P \\ P & 0 \end{pmatrix},

dove PP è una matrice diagonale con elementi Pnn=eiknLP_{nn} = e^{ik_n L}. La matrice di scattering totale per una struttura di guida d'onda generale può essere calcolata in modo simile a quanto illustrato nella Figura 11.3. Quando si combinano due sezioni consecutive AA e BB in una sezione unica A+BA + B, la matrice di trasferimento complessiva è il prodotto semplice delle due matrici individuali, cioè:

TA+B=TATB.T_{A+B} = T_A T_B.

Tuttavia, la matrice di scattering complessiva SA+BS_{A+B} non può essere scritta come una semplice funzione di SAS_A e SBS_B. Partiamo dalla definizione di SAS_A e SBS_B:

SA=(S11AS12AS21AS22A),S_A = \begin{pmatrix} S_{11A} & S_{12A} \\ S_{21A} & S_{22A} \end{pmatrix},
SB=(S11BS12BS21BS22B).S_B = \begin{pmatrix} S_{11B} & S_{12B} \\ S_{21B} & S_{22B} \end{pmatrix}.

Qui RiAR_i A è il portello destro della sezione AA che si allinea con il portello sinistro della sezione BB, cioè RoA=LoBR_o A = L_o B e RoA=LoBR_o A = L_o B.

Eseguendo una serie di operazioni di algebra matriciale, la matrice di scattering complessiva diventa:

SA+B=(S11A+BS12A+BS21A+BS22A+B),S_{A+B} = \begin{pmatrix} S_{11A+B} & S_{12A+B} \\ S_{21A+B} & S_{22A+B} \end{pmatrix},

dove:

S11A+B=S11A+(S12A(1−S11BS22A)−1S12B),S_{11A+B} = S_{11A} + \left( S_{12A} (1 - S_{11B} S_{22A})^{ -1} S_{12B} \right),
S12A+B=S12A(1−S11BS22A)S12B,S_{12A+B} = S_{12A} (1 - S_{11B} S_{22A}) S_{12B},
S21A+B=S21A(1−S22AS11B)−1S21B,S_{21A+B} = S_{21A} (1 - S_{22A} S_{11B})^{ -1} S_{21B},
S22A+B=S22B+S21BS22A(1−S11BS22A)−1S21A.S_{22A+B} = S_{22B} + S_{21B} S_{22A} (1 - S_{11B} S_{22A})^{ -1} S_{21A}.

Definendo un operatore di composizione SA+B=SA⊗SBS_{A+B} = S_A \otimes S_B, possiamo esprimere la matrice di scattering complessiva per una guida d'onda come rappresentato in Figura 11.3:

S=S1⊗S2⊗Sf⊗…⊗Sm,m+1⊗Sm+1f⊗…⊗SNf,S = S_1 \otimes S_2 \otimes S_f \otimes \ldots \otimes S_{m,m+1} \otimes S_{m+1}f \otimes \ldots \otimes S_Nf,

dove Sm,m+1S_{m,m+1} descrive lo scattering tra l'interfaccia della sezione mm-esima e (m+1)(m+1)-esima, SmfS_{mf} è per la propagazione libera attraverso la sezione mm, e NN è il numero totale delle sezioni. È importante notare che l'operatore di composizione, come la moltiplicazione di matrici, soddisfa la legge associativa, ma non la legge commutativa, cioè:

(SA⊗SB)⊗SC=SA⊗(SB⊗SC),(S_A \otimes S_B) \otimes S_C = S_A \otimes (S_B \otimes S_C),

ma:

SA⊗SB≠SB⊗SA.S_A \otimes S_B \neq S_B \otimes S_A.

La matrice di scattering complessiva per un dispositivo a due terminali di guida d'onda viene comunemente scritta in modo intuitivo come:

S=(rt′tr′),S = \begin{pmatrix} r & t' \\ t & r' \end{pmatrix},

dove tt è la matrice di trasmissione e r′r' è la matrice di riflessione.

Sebbene il metodo della matrice di trasferimento sia molto efficiente per strutture le cui dimensioni non sono molto grandi, diventa numericamente singolare per strutture le cui dimensioni sono molto superiori alla lunghezza d'onda de Broglie dell'elettrone. Al contrario, il problema non si pone nel metodo della matrice di scattering, e non si verificano errori numerici durante la composizione delle matrici di scattering. La Figura 11.6 mostra la conduttanza GG in funzione di kW/πkW/\pi per una struttura a più stub, come mostrato nell'inserto. La lunghezza del canale che collega i due stub adiacenti su un lato del filo principale è fissata a 2W2W, dove WW è la larghezza del terminale così come la larghezza e l'altezza dello stub. Strutture simili sono state osservate per esibire un'azione perfetta di transistor modulato quantisticamente.

Quando si considerano dispositivi a guida d'onda con più terminali, come nel caso di un accoppiatore direzionale quantistico, la struttura della guida d'onda può essere suddivisa in diverse sezioni, ognuna con una propria matrice di scattering. La matrice di scattering complessiva può quindi essere ottenuta come un prodotto tensoriale delle matrici di scattering di ciascuna sezione, come illustrato nella Figura 11.7 per una struttura a quattro terminali. Ogni sezione è trattata singolarmente, e le interfacce tra le varie sezioni sono descritte dalle matrici di scattering corrispondenti.

Nel caso di una struttura a croce, dove i terminali non si allineano come nel caso precedente, è necessario espandere le funzioni d'onda in termini di modi trasversali per ciascun terminale. Le funzioni ausiliarie sono introdotte per garantire la continuità delle derivate prima dell'ordine, permettendo di calcolare la matrice di scattering complessiva per la giunzione a croce. Questo approccio è analogo a quello adottato per le altre strutture complesse.

La corretta gestione delle interfacce tra le diverse sezioni è fondamentale per il calcolo accurato delle matrici di scattering e, di conseguenza, per una comprensione precisa del comportamento del dispositivo quantistico a guida d'onda. La gestione delle funzioni d'onda e la continuità delle derivate nelle interfacce giocano un ruolo cruciale nell'accuratezza del modello.

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