Il rumore gaussiano frazionato (FGN) non è un rumore bianco. In effetti, una delle sue caratteristiche principali è che, pur essendo un tipo di rumore correlato nel tempo, la sua struttura si differenzia profondamente dal rumore bianco tradizionale, che è caratterizzato dall'assenza di correlazione tra gli eventi in diversi istanti di tempo. Per lavorare con questo tipo di rumore, non è sufficiente applicare una semplice media temporale, ma occorre adottare un approccio di media spaziale per i processi a rapida variazione. La formula che trasforma la densità di probabilità del sistema mediato in quella del sistema originale rimane invariata.

Una delle differenze principali che emergono quando un sistema quasi-hamiltoniano viene eccitato da rumore gaussiano frazionato è che, nel momento in cui il sistema è trasformato in un'equazione differenziale stocastica frazionata, non si presenta alcun termine di correzione. Questo implica che il processo governato dall'equazione differenziale stocastica media è non-Markoviano. Per calcolare la densità di probabilità e le statistiche di questo processo, l'unica via praticabile è la simulazione Monte Carlo. Sebbene questa metodologia offra risultati accurati, il vantaggio dei metodi di media stocastica risiede nel fatto che riducono significativamente il tempo di calcolo rispetto alla simulazione diretta del sistema originale, pur mantenendo risultati che sono abbastanza vicini a quelli ottenuti tramite simulazione Monte Carlo.

Quasi tutti i veri eccitatori casuali sono rumori colorati, che possono essere sia a banda larga che a banda stretta. Allo stesso tempo, un rumore colorato può manifestare carattere a banda larga in un intervallo di frequenze, mentre in un altro intervallo può comportarsi come un rumore a banda stretta. In alcuni casi, come nelle discussioni di questo capitolo, la distinzione tra rumori a banda larga e a banda stretta diventa cruciale, specialmente quando si trattano sistemi quasi-integrabili eccitati da questi rumori.

Nell'ambito della dinamica stocastica, i metodi di media stocastica applicati ai sistemi quasi-integrabili eccitati da rumori a banda larga e a banda stretta sono estesi nei capitoli del volume 2, dove si considera che il sistema quasi-integrabile in movimento generico subisca un'oscillazione periodica casuale. In questo caso, è necessario separare i processi a variazione lenta da quelli a variazione rapida, per trattare casi di risonanza esterna e risonanza interna, utilizzando media stocastica e media temporale. Questi metodi portano alla formulazione di equazioni differenziali stocastiche di tipo Itô, dalle quali si derivano le equazioni FPK mediate. La media spaziale rispetto ai processi a rapida variazione può sostituire la media temporale.

Quando un sistema quasi-integrabile eccitato da rumore gaussiano frazionato presenta frequenze naturali elevate, il rumore gaussiano frazionato in tale banda di frequenze può essere trattato come rumore a banda larga. In tal caso, il metodo di media stocastica che si applica a questo sistema è quello sviluppato nel volume 2, che è in grado di restituire risultati validi su un ampio intervallo di indici di Hurst. Il caso in cui il rumore di eccitazione sia una combinazione di rumore armonico e a banda larga è trattato nello stesso volume, dove si analizzano fenomeni come il salto casuale e le sue biforcazioni, ad esempio nel caso dell'oscillatore di Duffing.

Un altro aspetto interessante emerge quando il sistema quasi-hamiltoniano è eccitato da forze genetiche come la forza di isteresi, la forza viscoelastica, la forza di smorzamento derivata frazionata e le forze di ritardo temporale. Queste forze, che mostrano un effetto genetico che accoppia la forza di recupero e la forza di smorzamento, devono essere prima decuplicate in forze elastiche di recupero e forze viscose di smorzamento. Una tecnica unificata per questo processo è la tecnica dell'equilibrio armonico generalizzato, che è applicabile a tutte le forze menzionate. Questo passaggio è fondamentale per poter applicare correttamente i metodi di media stocastica a sistemi quasi-integrabili soggetti a forze genetiche.

Un'ulteriore generalizzazione è l'introduzione dei sistemi quasi-generali hamiltoniani, particolarmente utili quando si trattano sistemi dinamici di dimensione dispari. La differenza principale tra i sistemi hamiltoniani e quelli quasi-generali è che i sistemi quasi-generali possiedono funzioni di Casimir, che servono come integrali di primo ordine e complicano il processo di media stocastica. In questo caso, la densità di probabilità del sistema mediato dipende anche dal determinante di Jacobiano che trasforma le variabili originali nelle funzioni di Casimir.

Infine, il capitolo 4 del volume 2 esplora l'applicazione dei metodi di media stocastica ai sistemi ecologici predatore-preda, come il modello di Lotka-Volterra e le sue versioni modificate. In questi casi, l'eccitazione del sistema è data da vari tipi di rumore, tra cui il rumore bianco gaussiano e rumori colorati, ed è possibile ottenere informazioni sulle proprietà dinamiche del sistema, come le densità di probabilità e le statistiche, attraverso simulazioni Monte Carlo.

Quali sono i metodi di media stocastica per i sistemi quasi-integrabili hamiltoniani?

Nei sistemi hamiltoniani quasi-integrabili, l'analisi dinamica di fenomeni stocastici che coinvolgono rumori bianchi di tipo gaussiano e di Poisson è fondamentale per comprendere l'evoluzione dei sistemi complessi. Un sistema hamiltoniano quasi-integrabile può essere descritto da equazioni di movimento che coinvolgono variabili d'azione e angolo, in cui l'energia complessiva e l'evoluzione temporale sono determinate dalle forze interne ed esterne al sistema stesso. La sfida risiede nella trattazione delle perturbazioni stocastiche, che spesso alterano il comportamento dei sistemi in modi non facilmente prevedibili.

Quando si considerano variabili stocastiche come rumori bianchi gaussiani e impulsi di Poisson, la rappresentazione dei sistemi diventa particolarmente complessa. Tuttavia, l'approccio di media stocastica è un potente strumento per semplificare il trattamento di tali sistemi, permettendo di ottenere descrizioni approssimate che mantengano intatti gli aspetti dinamici essenziali.

Nel contesto di sistemi hamiltoniani quasi-integrabili, si assume generalmente che il sistema sia soggetto a piccole perturbazioni, che possono essere trattate attraverso l'uso della teoria delle equazioni differenziali stocastiche (SIDEs). Le SIDEs descrivono l'evoluzione delle variabili del sistema, come le posizioni e le velocità, in presenza di rumori esterni. La forma generale delle equazioni, che includono termini di rumore bianco gaussiano e di Poisson, è spesso complicata da risolvere direttamente, ma può essere semplificata tramite l'approccio di media stocastica.

Un altro concetto cruciale in questi sistemi è quello di "variabili d'azione" e "variabili angolari". Le variabili d'azione descrivono l'energia del sistema, mentre le variabili angolari sono legate al comportamento periodico delle traiettorie nel sistema dinamico. In un sistema quasi-integrabile, l'azione e l'angolo sono legati da relazioni che dipendono dalla struttura del sistema e dalle forze che lo governano. La media stocastica di tali variabili, che si ottiene tramite una serie di trasformazioni, consente di ottenere una descrizione approssimata ma utile del comportamento del sistema, anche quando sono presenti perturbazioni stocastiche.

La soluzione delle equazioni stocastiche mediate avviene attraverso metodi numerici avanzati, come l'iterazione di rilassamento successivo o i metodi di differenze finite. L'uso di questi metodi consente di affrontare la difficoltà computazionale associata alla risoluzione di equazioni che, altrimenti, risulterebbero ingestibili.

Un aspetto significativo di questi sistemi è la loro capacità di mostrare un comportamento "quasi-integrabile", ossia un comportamento che si avvicina a quello di un sistema integrabile, ma che presenta deviazioni dovute alla presenza di piccole perturbazioni. La nozione di quasi-integrabilità implica che il sistema sia ben descritto da un numero ridotto di variabili integrabili, ma che allo stesso tempo possa subire fluttuazioni stocastiche che perturbano le traiettorie, rendendo necessario un approccio statistico per analizzarlo.

Nel contesto dell'equazione di Fokker-Planck media stocastica, le condizioni al contorno svolgono un ruolo cruciale. Queste condizioni dipendono dalle proprietà specifiche del sistema e dalle restrizioni imposte su di esso. Ad esempio, quando le variabili d'azione sono limitate a un intervallo definito, le condizioni al contorno stabiliscono che la densità di probabilità associata alle variabili del sistema deve essere finita e ben definita. Al contrario, quando la variabile d'azione tende a valori molto alti, la densità di probabilità deve tendere a zero, riflettendo una condizione di "assorbimento" del sistema in quella regione.

Il comportamento stocastico di questi sistemi è anche influenzato dalla periodicità delle variabili angolari. Le condizioni periodiche richiedono che la densità di probabilità associata alla variabile angolare soddisfi determinati vincoli, come la periodicità e la normalizzazione. La normalizzazione della densità di probabilità è fondamentale per garantire che la somma totale della probabilità nel sistema sia pari a uno, un requisito essenziale in qualsiasi trattamento stocastico di sistemi dinamici.

L'uso di metodi numerici per risolvere l'equazione di Fokker-Planck media stocastica fornisce quindi una descrizione molto utile del comportamento stocastico di questi sistemi, ma richiede anche una comprensione approfondita delle proprietà specifiche del sistema in esame. La soluzione numerica consente di ottenere una previsione accurata delle dinamiche del sistema, che può essere utilizzata per esplorare ulteriormente la stabilità e il comportamento a lungo termine.

Inoltre, è essenziale notare che il comportamento stocastico di un sistema quasi-integrabile può essere fortemente influenzato dalla natura delle perturbazioni esterne. Mentre i rumori bianchi gaussiani sono spesso utilizzati per rappresentare perturbazioni di piccola ampiezza e ad alta frequenza, i rumori di Poisson, che rappresentano eventi rari ma significativi, introducono un ulteriore livello di complessità. L'analisi delle interazioni tra questi due tipi di rumore è fondamentale per comprendere come i sistemi quasi-integrabili reagiscano a perturbazioni esterne e come queste influenzino la loro evoluzione dinamica.

Come la media stocastica influenza i sistemi Hamiltoniani quasi-parzialmente integrabili sotto eccitazione da rumore gaussiano frazionale

I sistemi Hamiltoniani quasi-parzialmente integrabili rappresentano un’interessante estensione della teoria dei sistemi dinamici, in cui una parte del sistema può essere integrata, mentre un'altra rimane non integrabile. La dinamica di tali sistemi, che comprendono sia variabili rapide che lente, è influenzata da eccitazioni esterne che introducono una forma di rumore. In particolare, l'uso della media stocastica per approssimare il comportamento di questi sistemi ha guadagnato attenzione per la sua capacità di ridurre la complessità computazionale e fornire una rappresentazione più semplice ma efficace del comportamento dinamico.

Nel contesto di un sistema Hamiltoniano quasi-integrabile, l'introduzione di un rumore frazionale gaussiano – che può essere caratterizzato da un indice di Hurst compreso tra 1/2 e 1 – permette di ottenere una comprensione più precisa delle risposte stazionarie e delle fluttuazioni a lungo termine. La media stocastica, combinata con le equazioni differenziali stocastiche (SDE) frazionali, è utilizzata per modellare l'evoluzione del sistema sotto l’influenza di rumori correlati. Questo approccio è particolarmente utile quando il sistema presenta componenti ad alta non-linearità e a più gradi di libertà (MDOF), come nel caso dei sistemi meccanici complessi o dei modelli strutturali avanzati.

Le simulazioni di SDE frazionali, come quelle descritte da Lü et al. (2017b), hanno mostrato che l'uso delle equazioni di media stocastica frazionata fornisce risultati compatibili con le simulazioni del sistema originale, riducendo però notevolmente la complessità computazionale. Le risposte stazionarie del sistema, rappresentate da variabili come l'energia o la posizione, sono simulate sia nel caso originale che nella forma media. I risultati ottenuti rivelano che, sebbene i comportamenti medi possano differire leggermente rispetto al sistema originale, la media stocastica permette di catturare gli aspetti essenziali della dinamica stocastica.

L'analisi delle variabili come l'energia media (E[Q^2]) e la posizione nei vari gradi di libertà (p(q1), p(q2), p(q3), p(q4)) mostra che la media stocastica ha una buona capacità di predire la tendenza a lungo termine del sistema. È interessante notare come, al variare dei parametri del rumore frazionale (ad esempio, il parametro H), i modelli stocastici possano riprodurre risposte molto simili a quelle ottenute attraverso simulazioni dirette di sistemi altamente non-lineari, ma con un onere computazionale molto inferiore.

Un aspetto fondamentale che deve essere compreso dal lettore è che la media stocastica non è una panacea che elimina ogni complessità del sistema. Sebbene fornisca un'efficace semplificazione per sistemi con eccitazioni stocastiche, la precisione della soluzione media dipende strettamente dalle caratteristiche specifiche del rumore e dalla non-linearità del sistema. In particolare, la capacità di predire accuratamente le risposte a lungo termine dipende dalla scelta dei parametri appropriati per la media stocastica e dal grado di approssimazione che si è disposti ad accettare.

Inoltre, è importante comprendere che il comportamento medio non sempre riflette completamente le dinamiche a breve termine del sistema. Le fluttuazioni veloci e gli effetti non lineari a breve termine possono essere trascurati, e questo può portare a perdite di informazione significative in alcuni contesti applicativi, come nelle simulazioni di vibrazioni meccaniche o nelle analisi strutturali. Pertanto, è cruciale bilanciare la semplificazione fornita dalla media stocastica con la necessità di precisione nella simulazione di effetti non lineari a breve termine.

In sintesi, i metodi di media stocastica applicati a sistemi quasi-integrabili forniscono un potente strumento per la modellizzazione e l'analisi di sistemi dinamici complessi, ma devono essere utilizzati con cautela e consapevolezza dei loro limiti. La comprensione della dinamica stocastica di questi sistemi richiede non solo l'applicazione della media stocastica, ma anche una valutazione critica delle condizioni iniziali, dei parametri del rumore e della non-linearità del sistema.

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