Nel contesto del trasporto di calore in Helium II, l'analisi delle condizioni iniziali e al contorno riveste un'importanza fondamentale per la corretta comprensione dei modelli fluidodinamici. Se nella descrizione classica di Helium II si considera la teoria a due fluidi, dove Helium II è visto come composto da due componenti (una fluida viscosa e una ideale), il modello a un fluido propone un approccio alternativo, considerando il flusso di calore come uno dei campi principali e trattandolo come un unico fluido, anziché come una combinazione di due fluidi distinti. In questo capitolo, esploreremo le implicazioni delle condizioni iniziali e al contorno nel contesto del modello a un fluido e come queste siano applicabili per esperimenti numerici su Helium II, suggerendo anche nuove direzioni per ricerche future.

Per il modello a un fluido, è necessario definire i valori iniziali per i campi fondamentali che caratterizzano il sistema, come la densità ρ, la velocità v, la temperatura T, il flusso di calore q, la pressione non in equilibrio pV e la parte deviatoria del tensore di stress non in equilibrio 〈Pv〉. Studi recenti, come quello riportato in [12], hanno mostrato che i tempi di rilassamento τ0 e τ2 della pressione non in equilibrio sono estremamente brevi, tanto da poter essere trascurati in molte situazioni. Tuttavia, esistono scenari, come quelli che coinvolgono Helium II in sistemi nanometrici, in cui questi tempi di rilassamento non possono essere ignorati, portando a risultati sperimentali potenzialmente nuovi.

Nel caso in cui si trascurino i tempi di rilassamento, si giunge a una semplificazione che porta a equazioni meno complesse, come quelle riportate nelle equazioni (3.1.16)-(3.1.19), per le quali la risoluzione del problema di Cauchy richiede la conoscenza delle condizioni iniziali della densità, della velocità, della temperatura e del flusso di calore. Quando si considerano esperimenti più classici, come quelli che riguardano il flusso controcorrente e la co-corrente di Helium II, è possibile definire facilmente le condizioni iniziali per la velocità e il flusso di calore, ma diventa più complesso stabilire le condizioni iniziali nel caso del superfluido. La modellizzazione del comportamento di Helium II in termini di modello a due fluidi suggerisce che la componente normale non fluisce all'interno della regione superfluida, portando alla relazione v0 + q0 = 0, che descrive la velocità della componente normale. La mancanza di dati sperimentali ha portato, in alcuni casi, ad adottare l'assunzione di v0 = q0 = 0 per semplificare le simulazioni numeriche, ma va sottolineato che approcci più generali potrebbero essere applicati, senza imporre questa relazione come vera a priori.

Le condizioni al contorno, invece, sollevano nuove sfide teoriche ed esperimentali, soprattutto per quanto riguarda la validità delle ipotesi sui flussi di velocità e di calore vicino alle pareti del sistema. Nel modello a due fluidi, si assume che la velocità della componente normale sia nulla alle pareti e che ci sia una condizione di scivolamento per la componente superfluida. Tuttavia, questa visione potrebbe essere inadeguata a temperature molto basse, quando si entra nel regime balistico per i fononi e i rotoni, come accade in Helium II a temperature inferiori a 0.7 K. È importante, pertanto, considerare le condizioni al contorno anche in un regime balistico, dove il flusso di fononi e le collisioni di quasiparticelle con le pareti del sistema diventano fattori determinanti. La collusione dei fononi contro le pareti potrebbe essere influenzata dalla temperatura e dalle dimensioni del sistema, poiché la densità delle quasiparticelle diminuisce all'aumentare della temperatura e della dimensione del canale.

In esperimenti più recenti e avanzati, come quelli in corso a Praga, potrebbe emergere una diversa visione della scivolosità del flusso di velocità, con possibili implicazioni per il comportamento delle componenti normali e superfluide alle pareti. Un approccio utile per la descrizione di queste dinamiche è stato proposto in [13] utilizzando una relazione che descrive il flusso di calore vicino alle pareti come funzione delle collisioni dei fononi contro le superfici del sistema. La formula qwall = −∂q/Cm, proposta per la prima volta in [13], è stata applicata per includere il contributo della scattering dei fononi ai confini in sistemi nanometrici e si basa su concetti di microfluidica. Sebbene questa relazione venga comunemente utilizzata nei gas diluiti di fononi, la sua applicabilità a Helium II non è ancora stata completamente validata a causa della scarsità di esperimenti in tal senso.

Un ulteriore aspetto che merita attenzione riguarda la possibilità di un flusso di calore che non sia nullo alle pareti nei regimi balistici, come suggerito dalla relazione (12.2.10), che potrebbe essere un utile punto di partenza per esplorare il comportamento del sistema in condizioni diverse. L’esistenza di un flusso di calore alle pareti implica che anche il flusso della componente normale potrebbe non essere nullo, con possibili implicazioni per la dinamica complessiva del sistema in presenza di superfici e interazioni a basse temperature.

L'importanza di questi aspetti risiede nella necessità di superare le limitazioni imposte dai modelli a due fluidi, per comprendere meglio le esperimentazioni esistenti e suggerire nuove direzioni per future indagini. La comprensione delle condizioni iniziali e al contorno diventa quindi cruciale per l'evoluzione delle simulazioni numeriche e per l'interpretazione dei dati sperimentali in Helium II, portando a una visione più complessa e precisa della fisica di questo sistema nei regimi termici estremi.

Il Modello a Due Fluidi nella Idrodinamica Superfluida: Concetti e Applicazioni

Nel tentativo di spiegare la complessa fenomenologia del flusso di elio descritta all'inizio, Landau (1941) e Tisza (1940) proposero indipendentemente il cosiddetto modello a due fluidi. Secondo questo modello, l’Elio II è considerato come una miscela di due componenti: una componente normale (viscosa, con entropia non nulla) e una componente superfluida (senza viscosità e con entropia nulla). Questo modello ha avuto una motivazione doppia: dal punto di vista microscopico, si fonda sulla condensazione di Bose-Einstein, e dal punto di vista macroscopico, offre una descrizione dei risultati apparentemente contraddittori, come la viscosità nulla nei canali stretti e la viscosità normale nei viscometri torsionali.

La base concettuale di questa separazione si trova nella condensazione di Bose-Einstein (proposta da Einstein nel 1925 e applicata da London all'elio superfluido nel 1938). Questo fenomeno consiste nell'occupazione macroscopica dello stato fondamentale del sistema, ossia lo stato a bassa energia e senza momento, sotto una temperatura critica. In tale stato, le particelle si comportano in modo coerente su scala macroscopica, mostrando un’entropia nulla o molto piccola e una resistenza al flusso molto bassa. Al contrario, gli atomi non condensati costituirebbero un fluido normale con viscosità non nulla. Tuttavia, invece di considerare gli atomi non condensati, si ritiene che la componente normale sia costituita da due tipi di quasi-particelle, i fononi e i rotoni, che corrispondono alle eccitazioni del sistema.

Nel suo lavoro, London sosteneva che il liquido di elio non fosse un gas ideale di Bose, a causa delle forti interazioni tra le sue particelle. Evitando il difficile problema di un trattamento rigoroso di un fluido di Bose-Einstein interagente, Tisza, nello stesso anno, utilizzò i risultati di London per formulare una descrizione macroscopica dell'elio come gas di Bose-Einstein che condensa, il quale è ora noto come il modello a due fluidi. Landau, tuttavia, considerò che l'idea di un gas ideale di Bose non fosse applicabile all'elio liquido, e sottolineò che questa teoria non spiegava la superfluidità. La sua trattazione si ispira alla teoria quantistica dei solidi a bassa temperatura. Secondo Landau, nell'Elio II esistono modalità di vibrazione corrispondenti a onde sonore e onde termiche. Landau costruì lo spettro energetico dell'Elio II, introducendo due tipi di eccitazioni elementari: fononi e rotoni. La posizione inferiore degli stati fononici rispetto agli stati rotonici nello spettro delle eccitazioni, e l'esistenza di un gap energetico tra di essi, portano alla superfluidità.

Come la teoria di Tisza, la teoria di Landau porta a una descrizione a due fluidi, ma secondo Landau il modello a due fluidi deve essere visto solo come un modo conveniente di dire che il liquido nel suo complesso è capace di due tipi di movimento simultaneamente. Così, i termini "normale" e "superfluido" sono stati associati alle masse effettive dei due tipi di movimento. In effetti, il fluido non può essere separato fisicamente in due parti, ma questo modello fornisce una descrizione conveniente e un quadro concettuale per descrivere in modo sistematico la fenomenologia osservata. Il punto di vista di Landau è quello oggi considerato, e costituisce il punto di partenza per la costruzione del modello a un fluido esteso dell'Elio II, derivato dalla Termodinamica Estesa, che sarà oggetto del Capitolo 3.

Nel modello a due fluidi, le componenti normale e superfluida dell'elio hanno densità di massa ρn e ρs, rispettivamente, tale che ρn + ρs = ρ, con ρ che rappresenta la densità di massa totale osservabile del fluido. Entrambe le densità ρn e ρs dipendono dalla temperatura T in modo tale che ρs = 0 a T = Tλ (dove Tλ è la temperatura lambda) e ρs = ρ quando T tende a zero. Il comportamento di ρn è l'opposto: ρn = ρ a T = Tλ e ρn = 0 quando T tende a zero. Il comportamento di ρs in funzione della temperatura è grosso modo descritto come ρs = ρ[(Tλ − T )/Tλ]^(1/3).

I valori di ρs(T) e ρn(T) sono generalmente ottenuti tramite misurazioni della viscosità in viscometri torsionali che, a differenza del flusso in canali stretti (con resistenza quasi nulla), mostrano una viscosità non nulla, legata a ρn. Il rapporto ρs/ρn può anche essere ottenuto dalla velocità del secondo suono. Le componenti normale e superfluida si assumono in movimento con velocità rispettive vn e vs, legate alla velocità barycentrica v dalla relazione ρn vn + ρs vs = ρv.

Queste velocità, in generale, non sono direttamente osservabili, ma possono essere ottenute da v e q. Il flusso di calore è dato da q = ρs T (vn − v), dove s è l'entropia specifica, che in questo modello è ascritta solo alla componente normale (ρs = ρn s_n). In effetti, poiché l'entropia specifica della componente superfluida è considerata nulla, l'unico flusso di calore nell'elio a riposo è legato al movimento della componente normale. La contribuzione barycentrica in v viene sottratta affinché q non contenga il contributo puramente convettivo del movimento globale del sistema.

Sebbene il sistema non possa essere fisicamente separato in queste due componenti, ρn e ρs possono essere misurati, e vn e vs possono essere matematicamente ottenuti dai valori di v e q. Negli ultimi anni, sono stati fatti notevoli progressi nelle tecniche di visualizzazione, cercando di osservare il flusso della componente normale attraverso i suoi effetti su particelle molto piccole, che vengono trascinate dal flusso normale.

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