Come comprendere la velocità e l'accelerazione nei vettori di movimento: applicazioni e concetti

Il movimento di una particella in uno spazio tridimensionale può essere descritto da un vettore di posizione che dipende dal tempo. Questo vettore, indicato come $r(t)$ , è una funzione che associa a ciascun istante di tempo $t$ una posizione nello spazio. Le informazioni relative alla velocità e all'accelerazione possono essere ricavate dalla derivata prima e seconda di questo vettore, rispettivamente.

Consideriamo l'esempio in cui la posizione di una particella è data dalla funzione $r(t) = t^2 \mathbf{i} + t \mathbf{j} + t \mathbf{k}$ . Il percorso tracciato dalla particella in questo caso è una parabola, con l'asse delle ordinate che rappresenta la variabile $y$ e l'asse delle ascisse che rappresenta la variabile $x$ . Quando $t = 2$ , il vettore di posizione diventa $r(2) = 4 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} + 5 \mathbf{k}$ , indicando che la particella si trova nel punto $P(4, 2, 5)$ .

La velocità della particella, che è la derivata del vettore di posizione rispetto al tempo, si ottiene derivando $r(t)$ e si esprime come $v(t) = 2t \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$ . In particolare, la velocità al tempo $t = 2$ è $v(2) = 4 \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$ . Allo stesso modo, l'accelerazione, che è la derivata seconda di $r(t)$ , è $a(t) = 2 \mathbf{i}$ , e quindi $a(2) = 2 \mathbf{i}$ . La velocità e l'accelerazione sono rappresentate nei grafici come vettori che indicano rispettivamente la direzione e l'intensità del movimento e del cambiamento di velocità.

Un altro concetto fondamentale che emerge in questo contesto riguarda il movimento con velocità costante. Se una particella si muove con velocità costante $c$ , il vettore di accelerazione è perpendicolare al vettore di velocità. Questo avviene perché la velocità $v(t)$ mantiene una costante intensità $c$ , e la derivata di $v(t)$ rispetto al tempo dà una variazione della direzione senza cambiare la velocità stessa.

Nel contesto del movimento circolare, la situazione è ancora più interessante. Se una particella si muove lungo una traiettoria circolare, la sua posizione è descritta da un vettore $r(t)$ che dipende da una funzione trigonometricamente legata al tempo. In un esempio classico, il movimento di una particella in un'orbita circolare di raggio 2 è descritto da $r(t) = 2 \cos(t) \mathbf{i} + 2 \sin(t) \mathbf{j} + 3 \mathbf{k}$ . La velocità e l'accelerazione sono anch'esse vettori che, al tempo $t = \frac{\pi}{4}$ , sono rispettivamente $v(t) = -2 \sin(t) \mathbf{i} + 2 \cos(t) \mathbf{j}$ e $a(t) = -2 \cos(t) \mathbf{i} - 2 \sin(t) \mathbf{j}$ . In questo caso, la velocità è tangente alla traiettoria del cerchio, mentre l'accelerazione è rivolta verso il centro del cerchio, mostrando chiaramente il concetto di accelerazione centripeta. L'accelerazione centripeta è sempre perpendicolare alla velocità e punta verso il centro del cerchio in cui avviene il movimento.

Il caso del movimento curvilineo in un piano è altrettanto rilevante in molte applicazioni fisiche, come nel caso del moto di un proiettile o dei pianeti. In questi casi, l'accelerazione di gravità può essere espressa come un vettore $a(t) = -g \mathbf{j}$ , dove $g$ è l'accelerazione dovuta alla gravità. La traiettoria di un proiettile lanciato con una velocità iniziale $v_0 = v_0 \cos(\theta) \mathbf{i} + v_0 \sin(\theta) \mathbf{j}$ e un'altezza iniziale $s_0 = s_0 \mathbf{j}$ può essere determinata risolvendo l'equazione del moto per trovare le equazioni parametriche $x(t)$ e $y(t)$ che descrivono rispettivamente la posizione orizzontale e verticale del proiettile in funzione del tempo. Per esempio, se un proiettile viene lanciato con una velocità di $768 \, \text{ft/s}$ a un angolo di $30^\circ$ , le equazioni per la traiettoria possono essere scritte come:

x(t) = v_0 \cos(\theta) t

y(t) = -16 t^2 + v_0 \sin(\theta) t + s_0

Queste equazioni permettono di determinare la portata massima e l'altezza massima raggiunta dal proiettile. La portata massima è data dalla distanza orizzontale percorsa quando $y(t) = 0$ , cioè quando il proiettile colpisce il suolo.

Infine, l'analisi della velocità al momento dell'impatto è fondamentale per comprendere le dinamiche del moto. In particolare, si può notare che la velocità al momento dell'impatto è uguale alla velocità iniziale $v_0$ , indipendentemente dall'angolo di elevazione, un aspetto che emerge anche quando si cambia l'angolo di tiro.

Oltre alla traiettoria del proiettile e alle equazioni che la descrivono, è cruciale comprendere che questi concetti non solo forniscono un quadro preciso del movimento, ma sono anche alla base delle simulazioni fisiche moderne e delle applicazioni in ingegneria e astrodinamica. La conoscenza delle leggi del moto curvilineo e dei vettori di velocità e accelerazione è essenziale per ogni studio che tratti di sistemi dinamici complessi.

Qual è la forma complessa della serie di Fourier e come viene utilizzata in ingegneria?

Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, una funzione reale $f$ può essere rappresentata da una serie di seni e coseni. Le funzioni $\cos(nx)$ , per $n = 0, 1, 2, \dots$ , e $\sin(nx)$ , per $n = 1, 2, \dots$ , sono funzioni reali di una variabile reale $x$ . Le tre forme reali della serie di Fourier descritte nelle definizioni 12.2.1 e 12.3.1 saranno estremamente importanti nei capitoli successivi quando affronteremo la soluzione delle equazioni differenziali parziali lineari. Tuttavia, in alcune applicazioni, come ad esempio l'analisi dei segnali periodici nell'ingegneria elettrica, è effettivamente più conveniente rappresentare una funzione $f$ come una serie infinita di funzioni a valori complessi di una variabile reale $x$ , come le funzioni esponenziali $e^{inx}$ , con $n = 0, 1, 2, \dots$ , dove $i$ è l'unità immaginaria definita da $i^2 = -1$ .

Ricordiamo che, per $x$ un numero reale, la formula di Eulero $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ fornisce $e^{ -ix} = \cos x - i \sin x$ . In questa sezione, utilizzeremo questi risultati per trasformare la serie di Fourier nella forma complessa o esponenziale. Vedremo che possiamo rappresentare una funzione reale mediante una serie complessa, in cui i coefficienti sono numeri complessi.

Definizione di numero complesso: un numero complesso è del tipo $z = a + ib$ , dove $a$ e $b$ sono numeri reali, e $i^2 = -1$ . Il numero $\overline{z} = a - ib$ è chiamato il coniugato di $z$ .

Serie di Fourier Complessa

Se sommiamo le due espressioni in (1) e risolviamo per $\cos x$ e poi sottrai le due espressioni e risolviamo per $\sin x$ , otteniamo una relazione che possiamo usare per sostituire $\cos\left(\frac{n\pi x}{p}\right)$ e $\sin\left(\frac{n\pi x}{p}\right)$ nella serie di Fourier tradizionale. In tal modo, la serie di Fourier di una funzione $f$ può essere scritta in termini di coefficienti complessi. In particolare, se la funzione $f$ è reale, i coefficienti $c_n$ e $c_{ -n}$ sono coniugati complessi e possono essere scritti anche in termini di funzioni esponenziali complesse.

La serie di Fourier complessa di una funzione $f$ , definita su un intervallo $(-p, p)$ , è data dalla formula

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}

dove $c_n$ sono i coefficienti complessi definiti come segue. Se $f$ soddisfa le ipotesi del teorema 12.2.1, la serie complessa converge a $f(x)$ in un punto di continuità e alla media in un punto di discontinuità.

Frequenza Fondamentale e Spettro di Frequenza

Le serie di Fourier, sia nella forma reale che complessa, definiscono una funzione periodica, la cui periodicità fondamentale è $T = 2p$ . Il numero $\omega = 2\pi/T$ è chiamata frequenza angolare fondamentale. L'analisi di segnali periodici in ingegneria elettrica spesso comporta l'esame dello spettro di frequenza di un'onda. Se $f$ è periodica e ha periodo fondamentale $T$ , il grafico dei punti $(n\omega, |c_n|)$ , dove $\omega$ è la frequenza angolare fondamentale e $c_n$ sono i coefficienti definiti nella serie di Fourier, è chiamato spettro di frequenza di $f$ .

Esempio di Spettro di Frequenza

Consideriamo il caso in cui $f(x) = e^{ -x}$ per $-\pi < x < \pi$ . Utilizzando la formula per la serie complessa di Fourier, possiamo calcolare i coefficienti $c_n$ e scrivere la serie di Fourier complessa come segue:

c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{ -\pi}^{\pi} e^{ -x} e^{ -inx} dx

Questa serie converge alla funzione periodica $f(x)$ , che ha estensione periodica $2\pi$ . In ingegneria, tale rappresentazione è molto utile in quanto la forma complessa della serie di Fourier è più pratica in alcune applicazioni, come l'analisi dei segnali in circuiti elettrici, rispetto alla forma reale.

Un altro esempio importante è la rappresentazione del segnale a onda quadra. La funzione che descrive un'onda quadra periodica è definita come una funzione che ha valore $1$ in un intervallo e $0$ in un altro, ripetendosi periodicamente. Lo spettro di frequenza di un'onda quadra è composto da una serie di picchi ai multipli di una frequenza fondamentale, con ampiezze che decrescono rapidamente con l'aumentare della frequenza.

Concetti aggiuntivi

È importante notare che l'uso della serie di Fourier complessa in ingegneria non si limita a rappresentare funzioni periodiche. La possibilità di manipolare facilmente i coefficienti complessi rende questa forma particolarmente potente per applicazioni che coinvolgono segnali armonici, come nel caso delle analisi di circuiti e segnali in tempo reale. Inoltre, la convergenza della serie di Fourier complessa dipende dalle caratteristiche della funzione $f$ , ed è fondamentale sapere come e quando la serie converge e come essa si comporta in presenza di discontinuità.

Il concetto di spettro di frequenza è essenziale per l'analisi dei segnali: attraverso lo spettro possiamo ottenere informazioni cruciali sulla composizione in frequenza di un segnale e sulla sua energia distribuita su diverse bande di frequenza. Questa conoscenza è fondamentale in molte aree dell'ingegneria, tra cui le telecomunicazioni, l'elaborazione del segnale e l'analisi di segnali elettrici.

Come risolvere le equazioni di Cauchy–Euler: una guida pratica

Le equazioni differenziali lineari di ordine superiore con coefficienti costanti si sono rivelate relativamente facili da risolvere nelle sezioni precedenti, ma questa semplicità non si applica in generale alle equazioni con coefficienti variabili. In effetti, come vedremo nel Capitolo 5, per le equazioni differenziali lineari con coefficienti variabili, l’unica soluzione che possiamo sperare di trovare è una serie infinita. Tuttavia, le equazioni di Cauchy–Euler costituiscono una rara eccezione a questa regola. Infatti, la soluzione generale di queste equazioni può sempre essere espressa come una combinazione di potenze di $x$ , funzioni trigonometriche, logaritmiche ed esponenziali. Inoltre, la metodologia per risolvere queste equazioni è sorprendentemente simile a quella utilizzata per le equazioni con coefficienti costanti.

Un'equazione differenziale di Cauchy–Euler è una particolare equazione lineare del tipo:

a_n x^n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 x \frac{dy}{dx} + a_0 y = 0

dove i coefficienti $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ sono costanti. Il nome di questa equazione è un omaggio ai matematici Augustin-Louis Cauchy e Leonhard Euler, due dei più grandi matematici della storia. Le caratteristiche distintive di queste equazioni sono che il grado dei monomi $x^k$ dei coefficienti corrisponde all'ordine di derivazione $\frac{d^k y}{dx^k}$ .

Metodo di soluzione

Per risolvere un’equazione di Cauchy–Euler, proviamo una soluzione della forma $y = x^m$ , dove $m$ è una costante che deve essere determinata. Sostituendo $y = x^m$ nell'equazione, ogni termine dell’equazione diventa un polinomio in $m$ , moltiplicato per $x^m$ . Questo processo è analogo a quello che avviene nelle equazioni con coefficienti costanti quando si prova la soluzione della forma $e^{mx}$ .

Dopo aver sostituito $y = x^m$ , l'equazione differenziale si trasforma in una equazione algebrica di secondo grado in $m$ , chiamata equazione ausiliaria. La soluzione di quest’equazione fornirà i valori di $m$ , che a loro volta permetteranno di trovare le soluzioni dell’equazione differenziale.

Caso 1: Radici reali distinte

Se le radici $m_1$ e $m_2$ dell’equazione ausiliaria sono distinte e reali, allora le soluzioni fondamentali dell’equazione differenziale sono $y_1 = x^{m_1}$ e $y_2 = x^{m_2}$ . La soluzione generale sarà quindi:

y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}

Caso 2: Radici reali ripetute

Se le radici sono ripetute, cioè $m_1 = m_2 = m$ , la soluzione generale si scriverà come:

y = c_1 x^m + c_2 x^m \ln x

Caso 3: Radici complesse coniugate

Se le radici sono complesse coniugate, cioè $m_1 = \alpha + i\beta$ e $m_2 = \alpha - i\beta$ , la soluzione generale è di tipo trigonometrico e si esprime come:

y = x^\alpha [c_1 \cos(\beta \ln x) + c_2 \sin(\beta \ln x)]

Questa forma della soluzione è realizzata grazie all’uso delle identità trigonometriche e della formula di Eulero. È importante sottolineare che, per le radici complesse, la soluzione è oscillante e non è limitata per $x \to \infty$ , ma continua a oscillare indefinitamente.

Esempi di soluzione

Nel caso di equazioni di ordine superiore, la metodologia di soluzione rimane analoga. Per esempio, una equazione di Cauchy–Euler del terzo ordine avrà tre soluzioni indipendenti, che dipendono dalle radici dell’equazione ausiliaria. Se le radici sono reali distinte, la soluzione generale si scriverà come una combinazione lineare di potenze di $x$ . Se le radici sono complesse, si utilizzeranno funzioni trigonometriche. Ogni caso dovrà essere trattato con attenzione, a seconda della natura delle radici.

Nel caso di equazioni non omogenee, il metodo della variazione dei parametri è quello utilizzato, poiché il metodo dei coefficienti indeterminati non si applica facilmente quando i coefficienti sono variabili. In questo caso, risolviamo prima l’equazione omogenea associata e poi determiniamo una soluzione particolare per l’equazione non omogenea.

Considerazioni importanti

Quando si risolvono le equazioni di Cauchy–Euler, è essenziale ricordare che le soluzioni sono spesso espresse in termini di funzioni logaritmiche e trigonometriche, che possono sembrare inusuali rispetto ad altre equazioni differenziali. È anche fondamentale prestare attenzione alla definizione dell’intervallo di validità della soluzione. In molti casi, la soluzione sarà valida solo su $(0, \infty)$ , e sarà necessario fare delle trasformazioni per ottenere soluzioni valide su intervalli differenti, come $(-\infty, 0)$ .

Inoltre, anche se queste equazioni possono sembrare complicate a prima vista, il loro metodo di soluzione segue una struttura logica e coerente che permette di risolverle in modo relativamente semplice, una volta comprese le basi del metodo delle potenze.

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