Come il Rumore Bianco di Poisson Influenza i Sistemi Stocastici

Il processo di contaggio $N(t)$ può essere espresso come un integrale doppio, come mostrato nell'equazione:

\int_{0}^{t} \int_{Y} N(t) = P(dt, dY)

La natura indipendente degli incrementi della misura casuale di Poisson (Hanson, 2007) implica che gli eventi $P(dti, dY_k)$ e $P(dtj, dY_l)$ siano indipendenti per intervalli di tempo e spazi non sovrapposti, come definito negli intervalli $(ti, ti + \Delta t)$ e $(Y_k, Y_k + \Delta Y_k)$ , così come in $(tj, tj + \Delta tj)$ e $(Y_l, Y_l + \Delta Y_l)$ .

La media e la covarianza della misura casuale di Poisson sono espressi dalle seguenti equazioni:

E[P(dt, dY)] = p_Y(y) \lambda \, dy \, dt

Cov[P(ds_1, dY_1), P(ds_2, dY_2)] = \lambda \delta(s_2 - s_1) \, ds_1 \, ds_2 \, p_Y(y_1) \delta(y_1 - y_2) \, dy_1 \, dy_2

dove $p_Y(y)$ denota la funzione di densità di probabilità di $Y$ . Poiché si assume che le variabili casuali $Y_k$ siano indipendenti, la forma integrale del rumore composto di Poisson $C(t)$ può essere scritta come:

\int (dC(t))_j = Y_j P(dt, dY)

L'aspettativa di $(dC(t))_j$ è quindi calcolata come segue:

E[(dC(t))_j] = Y_j E[P(dt, dY)] = \lambda \int E[Y_j] dt

Risulta evidente che i momenti derivati dalla forma differenziale e dalla forma integrale in termini della misura casuale di Poisson sono equivalenti, come dimostrato da Di Paola e Vasta (1997). Va sottolineato che il rumore bianco di Poisson è un processo stocastico a salti, che non è un processo continuo. Quando il tasso medio di arrivo tende all'infinito, esso si trasforma in un processo stocastico bianco gaussiano, un processo continuo.

Il rumore bianco di Poisson è un tipo di impulsi casuali con grandezze degli impulsi e tempi di arrivo degli impulsi che sono anch'essi casuali. Prima di approfondire lo studio dei sistemi dinamici stocastici, è necessario stabilire la corrispondente regola differenziale stocastica. A partire dagli anni '90, sono state proposte due diverse regole differenziali per i sistemi eccitati da rumore bianco di Poisson. Una delle regole, proposta da Di Paola e Falsone (1993), è destinata ai processi stocastici non gaussiani a correlazione delta, inclusi i rumori bianchi di Poisson, ed è basata sulla conferma dell'esistenza dei termini di correzione di Wong-Zakai. Al contrario, Hu (1993, 1994, 1995) e Grigoriu (1998) hanno proposto regole differenti per il rumore bianco di Poisson, trattando gli eccitatori parametrici ed esterni allo stesso modo, senza aggiungere i termini di correzione di Wong-Zakai. Gough (1999) e Zygadlo (2003) hanno verificato la correttezza della regola di Di Paola e Falsone, che sarà utilizzata in questo libro. I risultati del Capitolo 6 dimostreranno la validità di questa regola.

Nel caso di un sistema eccitato sia da rumori bianchi gaussiani che da rumori bianchi di Poisson, governato dall'equazione:

\dot{X} = f(X, t) + g(X, t) W_g(t) + h(X, t) W_p(t)

dove $X = [X_1, X_2, \dots, X_n]^T$ è un vettore di risposte stocastiche, $f = [f_1, f_2, \dots, f_n]^T$ , $g = [g_{ij}]_{n \times ng}$ è una matrice $n \times ng$ , $h = [h_{ij}]_{n \times np}$ è una matrice $n \times np$ , $W_g(t) = [W_{g1}, W_{g2}, \dots, W_{gng}]^T$ è un vettore di rumori bianchi gaussiani e $W_p(t) = [W_{p1}, W_{p2}, \dots, W_{pnp}]^T$ è un vettore di rumori bianchi di Poisson, indipendenti tra loro. L'equazione precedente può essere trasformata nell'equazione differenziale stocastica di Stratonovich:

dX = f(X, t) dt + \sigma(X, t) d\circ B(t) + h(X, t) d\circ C(t)

dove $\sigma_{ik} = [gL]_{ik}$ con $LL^T = 2D$ , e il simbolo $d\circ$ indica l'operazione differenziale usando la regola di Stratonovich. Qui, $C(t)$ è un vettore $np$ -dimensionale di processi composti di Poisson corrispondenti a $W_p(t)$ .

L'equazione scalare di questa espressione è:

\sum_{k=1}^{ng} \sum_{l=1}^{np} dX_i = f_i(X, t) dt + \sigma_{ik}(X, t) dB_k(t) + h_{il}(X, t) dC_l(t)

Questa equazione descrive il comportamento dinamico del sistema soggetto sia a rumori bianchi gaussiani che a rumori bianchi di Poisson.

Sebbene il rumore bianco di Poisson possa essere trattato come un processo a salti, è fondamentale comprendere che la sua natura stocastica a salti implica una complessità maggiore rispetto al rumore bianco gaussiano, che è continuo. La transizione tra il rumore bianco di Poisson e il rumore bianco gaussiano avviene quando il tasso medio di arrivo degli impulsi tende all'infinito, suggerendo la continua evoluzione del sistema in presenza di rumore. Allo stesso modo, la relazione tra il rumore di Poisson e l'equazione di Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) offre una chiave per studiare l'evoluzione probabilistica di un sistema stocastico in un dominio continuo, in cui si integrano sia le componenti stocastiche di tipo Wiener che quelle di Poisson.

Qual è la condizione di sintonia esatta nei sistemi stocastici non lineari?

I sistemi stocastici con eccitazioni armoniche o casuali sono frequentemente utilizzati per modellare fenomeni fisici complessi, in cui la dinamica non è deterministica ma soggetta a incertezze e variabilità. Il comportamento di questi sistemi può essere descritto tramite equazioni differenziali stocastiche, che a loro volta sono soggette a tecniche di media stocastica per ottenere soluzioni approssimate. La sintonia esatta di tali sistemi è un concetto cruciale per comprendere il loro comportamento in condizioni di eccitazione armonica, e le condizioni in cui le soluzioni analitiche sono esatte.

Consideriamo un sistema non lineare descritto da un set di equazioni come segue:

D = \zeta \omega_0 x_c + \gamma x_s - h_c(x_c, x_s),

\frac{\partial x_c}{\partial x_s} - \frac{\partial \phi}{\partial \phi} \quad D + \pi K = -\gamma x_c + \zeta \omega_0 x_s - h_s(x_c, x_s).

Risolvendo le derivate parziali di $\frac{\partial \phi}{\partial x_c}$ e $\frac{\partial \phi}{\partial x_s}$ dalle equazioni (4.365) e (4.366), e applicando la condizione di compatibilità, otteniamo la condizione di sintonia esatta:

\beta \left( 2 \pi K \gamma - 2 \zeta \omega_0 D - D x_c^2 + x_s^2 \right) = 0.

Questa condizione può essere soddisfatta solo se $\gamma = 0$ e $D = 0$ , il che implica che il sistema è in sintonia esatta, ossia quando $\nu = \omega_0$ . In tale caso, la funzione potenziale $\phi(x_c, x_s)$ assume una forma ben definita, che descrive l'interazione tra le variabili $x_c$ e $x_s$ nel sistema stocastico.

Nel caso in cui non vi sia sintonia esatta, cioè quando $\gamma \neq 0$ , la soluzione precisa non è possibile. Tuttavia, esiste una procedura di soluzione approssimativa, che consiste nel sostituire le funzioni di smorzamento non lineare $h_c(x_c, x_s)$ e $h_s(x_c, x_s)$ in modo tale che il sistema mediato possieda una soluzione esatta, utilizzata poi come approssimazione per il sistema originale. Queste sostituzioni sono espresse come:

dX_c = -\zeta \omega_0 X_c - \gamma X_s + H_c(X_c, X_s) dt + \sqrt{2 \pi K} dB_1(t),

dX_s = \gamma X_c - \zeta \omega_0 X_s + H_s(X_c, X_s) dt + \sqrt{2 \pi K} dB_2(t),

dove $H_c(X_c, X_s)$ e $H_s(X_c, X_s)$ sono funzioni da determinare in base alle specifiche non linearità del sistema. La funzione potenziale associata a questo sistema mediato è:

p(x_c, x_s) = C \exp[-\phi(x_c, x_s)],

dove $\phi(x_c, x_s)$ è una funzione potenziale che include un termine di quarta potenza per tenere conto delle non linearità del sistema.

Il sistema sostitutivo permette di risolvere numericamente le equazioni tramite simulazioni di Monte Carlo, e i risultati ottenuti mostrano una buona corrispondenza tra le soluzioni analitiche e quelle numeriche basate sul sistema mediato. Questo approccio di media stocastica consente di ridurre la complessità del problema senza compromettere troppo la precisione delle soluzioni.

Inoltre, i sistemi stocastici eccitati da rumore bianco di Poisson sono trattati in modo simile. La trattazione di tali sistemi si basa su una rappresentazione delle equazioni stocastiche in termini di processi di Poisson, dove l'intensità del rumore e le correlazioni tra le variabili sono considerate per ottenere una descrizione completa del comportamento del sistema sotto eccitazioni casuali.

La comprensione di queste tecniche è fondamentale per l'analisi dei sistemi meccanici e strutturali che sono soggetti a forze casuali e armoniche. La possibilità di determinare una soluzione approssimata tramite metodi di media stocastica, senza la necessità di risolvere esplicitamente le equazioni differenziali originali, rappresenta una risorsa potente nell'ingegneria e nella fisica dei sistemi complessi.

Quando il sistema non è in sintonia esatta, la precisione della soluzione dipende dalla qualità delle approssimazioni introdotte, e il residuo dell'errore deve essere minimizzato secondo criteri specifici. L'errore residuo, che può essere espresso come:

\delta = \frac{\partial}{\partial x_c} \left[ h_c(x_c, x_s) - H_c(x_c, x_s) \right] p + \frac{\partial}{\partial x_s} \left[ h_s(x_c, x_s) - H_s(x_c, x_s) \right] p,

deve essere ridotto il più possibile per garantire la validità della soluzione approssimata. L'uso della tecnica dei residui pesati permette di ottenere equazioni algebriche lineari che possono essere risolte numericamente per determinare i coefficienti di smorzamento non lineare $c_1, c_2, c_3$ .

In sintesi, la gestione di sistemi stocastici non lineari attraverso metodi di media stocastica e la comprensione della sintonia esatta è un aspetto cruciale per prevedere il comportamento di tali sistemi sotto eccitazioni complesse. La capacità di applicare approssimazioni efficaci senza perdere informazioni rilevanti sul sistema è una competenza essenziale in ingegneria e nella ricerca scientifica applicata.

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