Quali sono i concetti fondamentali della convergenza nelle sequenze e nelle funzioni?

Nel contesto dell'analisi matematica, uno degli aspetti chiave riguarda lo studio della convergenza di sequenze e funzioni. Le definizioni di limite e di comportamento asintotico sono fondamentali per comprendere come una sequenza o una funzione si comportano quando la variabile indipendente tende a un determinato valore, che può essere finito o infinito.

Una sequenza definita da una relazione ricorrente come $a_0 = x_0$ , $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n}$ è ben definita se tutti i suoi termini sono positivi. Infatti, con una semplice induzione si può verificare che ogni termine della sequenza è positivo, il che implica che non vi è alcun rischio che il denominatore si annulli. Poiché la sequenza è strettamente decrescente e limitata inferiormente da zero, essa converge ad un limite, che deve soddisfare l'equazione $L = \frac{L}{1 + L}$ . Risolvendo questa equazione, si ottiene che $L = 0$ . Questo esempio dimostra che, anche se il valore iniziale $x_0$ è arbitrario, il limite della sequenza è sempre lo stesso, indipendentemente da $x_0$ , a condizione che esso sia maggiore di zero.

Quando si tratta di funzioni, la nozione di limite è altrettanto importante. Un punto $x_0$ è definito come punto di accumulazione di un insieme $I \subset \mathbb{R}$ se ogni intorno di $x_0$ contiene almeno un elemento di $I$ diverso da $x_0$ stesso. Ad esempio, se $I = (0,1]$ , sia 0 che 1 sono punti di accumulazione, anche se 1 appartiene ad $I$ e 0 no. In questo caso, i punti interni di $(0,1]$ sono anch'essi punti di accumulazione. Un concetto correlato è quello di punto isolato, che è un punto di un insieme $I$ che non è un punto di accumulazione. In altre parole, esiste un intorno di $x_0$ che non contiene altri punti di $I$ .

La definizione di limite di una funzione in un punto $x_0$ stabilisce che una funzione $f(x)$ , con dominio $I$ , ha un limite $L$ quando $x \to x_0$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che se $0 < |x - x_0| < \delta$ , allora $|f(x) - L| < \epsilon$ . Questo tipo di convergenza implica che la funzione si avvicina al valore $L$ man mano che $x$ si avvicina a $x_0$ .

Un altro concetto utile è il limite di una funzione in $+\infty$ o $-\infty$ . Una funzione $f(x)$ ha un limite $L$ quando $x \to +\infty$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $K$ tale che per ogni $x > K$ , $|f(x) - L| < \epsilon$ . Analogamente, se $x \to -\infty$ , il comportamento asintotico della funzione è descritto in termini simili, ma con $x$ che tende a valori negativi. La definizione si estende anche ai limiti che tendono a $+\infty$ o $-\infty$ , il che implica che la funzione cresce senza limiti positivi o negativi.

Tuttavia, non sempre una funzione o una sequenza ha un limite finito. In alcuni casi, il limite può essere infinito, o la funzione può divergere. Ad esempio, se una funzione $f(x)$ tende a $+\infty$ quando $x \to x_0$ , significa che per ogni $M > 0$ , esiste un $\delta > 0$ tale che se $0 < |x - x_0| < \delta$ , allora $f(x) > M$ . Analogamente, se la funzione tende a $-\infty$ , si definisce in maniera analoga con $f(x) < M$ . Questa divergenza, che può essere espressa anche come $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$ , descrive situazioni in cui la funzione cresce indefinitamente verso uno degli estremi.

Nel contesto delle sequenze, la definizione di limite è strettamente legata alla monotonicità e alla limitatezza. Se una sequenza è monotona e limitata, essa è destinata a convergere. La monotonicità implica che i termini della sequenza siano rispettivamente crescenti o decrescenti, mentre la limitatezza garantisce che la sequenza non cresca o diminuisca indefinitamente, ma sia "bloccata" da un valore superiore o inferiore. Se una sequenza è monotona e limitata, la convergenza è inevitabile e il limite è unico.

Un altro aspetto interessante riguarda le sequenze definite da ricorrenze. Ad esempio, se una sequenza è definita come $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \sin(a_n)$ , il comportamento della sequenza dipende fortemente dal comportamento asintotico della funzione seno. In questo caso, la sequenza converge a zero, in quanto la funzione seno ha come limite zero quando il suo argomento si avvicina a zero. L'importante è che la funzione coinvolta nella ricorrenza non causi oscillazioni che impediscano la convergenza.

In sintesi, la convergenza di una sequenza o di una funzione è un concetto essenziale per comprendere come questi oggetti si comportano all'infinito o in prossimità di un punto specifico. La conoscenza di queste definizioni e dei relativi teoremi permette di analizzare in modo rigoroso il comportamento di funzioni e sequenze in molti contesti matematici, e risulta indispensabile per lo studio dell'analisi matematica.

Come calcolare i limiti delle funzioni e comprendere il loro comportamento

Il concetto di limite è una delle fondamenta dell'analisi matematica e viene utilizzato per descrivere il comportamento di una funzione quando il suo argomento si avvicina a un punto specifico. In questa trattazione, ci concentreremo su alcune situazioni comuni che coinvolgono limiti di funzioni in vari contesti, analizzando sia i limiti finiti che quelli infinitesimi, e mostrando come il comportamento di una funzione possa essere determinato utilizzando i concetti di ordine e divergenza.

Consideriamo la funzione definita come $f(x) = \sqrt{x} - x$ per $x > 0$ e $f(x) = 0$ per $x = 0$ . L'obiettivo è calcolare il limite della funzione quando $x$ tende all'infinito, ovvero $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . Per farlo, dobbiamo applicare la definizione di limite e risolvere le disuguaglianze che ne derivano. Se prendiamo $\epsilon > 0$ e cerchiamo un $K$ tale che, per $x > K$ , si abbia $1 - \epsilon < f(x) < 1 + \epsilon$ , possiamo risolvere questo sistema per determinare che $f(x)$ si avvicina a 1 man mano che $x$ cresce, come richiesto dalla definizione di limite.

Tuttavia, il calcolo dei limiti non si limita a situazioni di crescita infinita. Un altro esempio interessante riguarda il limite di una funzione quando $x$ si avvicina a 0, come nel caso in cui si voglia dimostrare che $\lim_{x \to 0+} f(x) = 0$ . In questo caso, per arrivare a una contraddizione, bisogna considerare la natura della funzione stessa e verificare che non sia possibile trovare un $\delta > 0$ tale che, per $0 < x < \delta$ , $f(x)$ sia sufficientemente vicino a zero. Questo processo di ragionamento per contraddizione è fondamentale per risolvere i limiti in cui la funzione non tende a un valore noto.

A volte, il comportamento di una funzione vicino a un punto critico come 0 o infinito può essere complicato. In questi casi, l'analisi deve tener conto di come la funzione si comporta sia da sinistra che da destra del punto di interesse. Ad esempio, se consideriamo la funzione $f(x) = e^x - \cos(x)$ , possiamo osservare che il comportamento della funzione quando $x \to 0+$ differisce da quello quando $x \to 0-$ , poiché i termini all'interno della funzione sono asintoticamente equivalenti a comportamenti distinti per valori positivi e negativi di $x$ .

Inoltre, spesso i limiti di funzioni possono coinvolgere combinazioni di termini che necessitano di razionalizzazione. Per esempio, nel calcolare limiti di funzioni come $\frac{e^x - 1}{x}$ , possiamo usare la proprietà di espansione in serie di Taylor per determinare che la funzione tende a 1 quando $x \to 0$ . In modo simile, quando i limiti coinvolgono funzioni del tipo $\frac{1 - \cos(x)}{x^2}$ , il comportamento asintotico può essere determinato analizzando l'ordine dei termini coinvolti e usando il criterio dell'ordine per determinare come la funzione si comporta.

Un altro esempio interessante è il calcolo del limite della funzione $\frac{x^4 (e^x - 1)^2}{(1 - \cos(x))^2 \sin(x)}$ quando $x \to 0$ . Qui è necessario capire l'ordine di crescita di ciascun termine al numeratore e al denominatore per stabilire come la funzione si comporta vicino a 0. L'uso di tale approccio ci permette di stabilire se il limite diverge a infinito o converge a un valore finito.

Infine, è utile notare che il comportamento delle funzioni nei limiti, specialmente quando si parla di funzioni con esponenti o logaritmi, dipende molto dalla velocità di crescita dei singoli termini. Per esempio, nel caso di funzioni come $e^{x \log(x)} - e^{2 \log(x)}$ , il comportamento asintotico può essere determinato esaminando i termini esponenziali e utilizzando il teorema sui limiti delle composizioni di funzioni per determinare il risultato finale.

È importante anche sottolineare che la comprensione del limite di una funzione non si ferma alla semplice applicazione della definizione di limite. In molte situazioni, è fondamentale sapere come trattare i termini che appaiono nella funzione e applicare tecniche avanzate come la razionalizzazione o l'uso della serie di Taylor per analizzare il comportamento asintotico. Inoltre, la capacità di lavorare con il concetto di ordine delle funzioni è cruciale per risolvere limiti complessi in modo efficiente.

Come comprendere la geometria delle funzioni: Convessità, concavità e punti di flesso

In geometria, la comprensione delle funzioni attraverso la loro convessità e concavità è fondamentale per analizzare il comportamento dei grafici e delle curve. Una regione del piano o dello spazio tridimensionale è definita come convessa se ogni coppia di punti al suo interno può essere unita da un segmento completamente contenuto nella regione. Questo concetto si applica anche alle funzioni definite su un intervallo, esaminando l'epigrafo della funzione, ovvero l'insieme dei punti sopra il grafico della funzione stessa.

Una funzione $f$ definita su un intervallo $I$ è chiamata convessa in $I$ se, per ogni coppia di punti $x_0, x_1 \in I$ , la seguente disuguaglianza è soddisfatta:

f \left( (1 - t) x_0 + t x_1 \right) \leq (1 - t) f(x_0) + t f(x_1), \quad t \in [0, 1]

Questa condizione implica che, se si prende qualsiasi coppia di punti sull'intervallo e si congiungono, il valore della funzione tra questi due punti non supera la retta che li congiunge. Se la disuguaglianza è strettamente vera per ogni $t \in (0, 1)$ , la funzione è definita come strettamente convessa. Al contrario, una funzione si dice concava se la disuguaglianza è invertita:

f \left( (1 - t) x_0 + t x_1 \right) \geq (1 - t) f(x_0) + t f(x_1), \quad t \in [0, 1]

La concavità è l'opposto della convessità. Inoltre, se una funzione è concava, anche la funzione opposta a essa sarà convessa, e viceversa. È importante notare che ogni dichiarazione relativa alle funzioni convesse ha una controparte per le funzioni concave.

Caratteristiche delle funzioni convesse e concave

Una funzione $f$ definita su un intervallo $I$ è convessa se e solo se la differenza fra i valori della funzione e un punto fisso $x_0$ cresce con il crescere di $x$ . Questa caratteristica è formalizzata dal cosiddetto quotiente di differenza:

R_{x_0}(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \quad x \in I \setminus \{x_0\}

Se questo quotiente è crescente per ogni $x_0 \in I$ , la funzione è convessa. In particolare, la funzione è strettamente convessa se tutti i quotienti sono strettamente crescenti.

Un altro aspetto fondamentale riguarda i derivati di una funzione. Se una funzione è convessa su un intervallo, allora in ogni punto interno dell'intervallo la derivata sinistra $f'_{ - }(x_0)$ e la derivata destra $f'_{+}(x_0)$ esistono e soddisfano la condizione:

f'_{ - }(x_0) \leq f'_{+}(x_0)

Inoltre, la funzione è continua in $x_0$ , anche se può essere discontinua ai bordi dell'intervallo.

Punti di flesso e la loro geometria

Un punto di flesso di una funzione $f$ è un punto $x_0$ dove la funzione cambia la sua curvatura da convessa a concava, o viceversa. Se $f$ è differenziabile due volte in $x_0$ e $f''(x_0) = 0$ , è possibile determinare se $x_0$ è effettivamente un punto di flesso osservando il comportamento delle derivate di ordine superiore.

La curvatura di una funzione è determinata dal suo secondo derivato. Se $f''(x_0) > 0$ , la funzione è convessa in $x_0$ , mentre se $f''(x_0) < 0$ , è concava in $x_0$ . Quando $f''(x_0) = 0$ e il segno di $f^{(n)}(x_0)$ per $n \geq 3$ cambia, si parla di punto di flesso. Un punto di flesso ascendente si verifica quando la funzione è concava a sinistra di $x_0$ e convessa a destra, mentre un punto di flesso discendente è il caso inverso.

Il comportamento delle funzioni critiche

I punti critici di una funzione sono quelli in cui la derivata prima si annulla, ossia $f'(x_0) = 0$ . Tuttavia, per determinare se un punto critico è un massimo, un minimo o un punto di flesso, è necessario esaminare il comportamento delle derivate di ordine superiore. In particolare, se il primo derivato si annulla e il secondo derivato in quel punto è positivo, si tratta di un minimo locale. Se il secondo derivato è negativo, si tratta di un massimo locale. Se il secondo derivato è zero, si devono esaminare derivate di ordine superiore per determinare la natura del punto.

In generale, il comportamento di una funzione in prossimità di un punto critico dipende dalla parità dell'ordine del primo derivato non nullo:

Se l'ordine è pari, il punto è un estremo locale (massimo o minimo).
Se l'ordine è dispari, si tratta di un punto di flesso.

Materiale aggiuntivo utile

Quando si analizzano funzioni convexe, concave e i punti di flesso, è utile ricordare che la geometria delle curve dipende fortemente dal comportamento delle derivate di ordine superiore. Non è sufficiente solo esaminare il secondo derivato; bisogna considerare come le derivate superiori influenzano la curvatura e il cambiamento di concavità.

Inoltre, la comprensione dei punti di flesso richiede un'attenta considerazione del comportamento delle derivate nei dintorni di tali punti. Se una funzione è definita su un intervallo chiuso e ha un punto di flesso a un estremo, è importante verificare se la funzione è continua e se la concavità cambia all'interno dell'intervallo.

Come definire e analizzare gli integrali impropri in domini infiniti e limitati

Nel contesto dell'integrazione, gli integrali impropri rappresentano una classe di integrali che non possono essere calcolati utilizzando i metodi tradizionali per le funzioni limitate su intervalli finiti. Gli integrali impropri si verificano principalmente in due situazioni: quando il dominio di integrazione è infinito, o quando la funzione integranda è non limitata in uno o più punti del dominio. In questo capitolo, esploreremo le nozioni di convergenza e divergenza degli integrali impropri, nonché le condizioni che determinano se un integrale improprio converge o diverge su intervalli illimitati o su intervalli limitati con discontinuità.

Partendo dal concetto fondamentale di integrale improprio, supponiamo che $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sia una funzione definita su un intervallo $(-\infty, b]$ , con il dominio di $f$ che si estende all'infinito verso $-\infty$ . L'integrale improprio su questo intervallo è definito come il limite del valore dell'integrale su intervalli finiti:

\int_{ -\infty}^{b} f(t) \, dt = \lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{b} f(t) \, dt

Se questo limite esiste ed è un numero reale, si dice che l'integrale di $f$ su $(-\infty, b]$ è convergente. Al contrario, se il limite diverge, si considera che l'integrale sia divergente. La convergenza dell'integrale dipende dalla velocità di decrescita della funzione all'infinito e dalle caratteristiche specifiche del comportamento della funzione nei limiti superiori e inferiori.

Nel caso di funzioni non limitate, come quelle che hanno asintoti all'infinito, si adottano concetti come l'integrazione unilaterale. Per esempio, se $f$ è integrabile su ogni intervallo $[x, y]$ , con $y > x$ , ma presenta discontinuità o divergenza in un punto $a$ , possiamo esaminare la convergenza separata degli integrali impropri nei due intervalli $(-\infty, a]$ e $[a, +\infty)$ .

L'integrale di una funzione che presenta discontinuità in un punto di $\mathbb{R}$ , ad esempio in $a$ , può essere trattato separatamente nei due intervalli e la somma degli integrali sui due intervalli deve essere finita per garantire la convergenza dell'integrale totale su $(-\infty, +\infty)$ .

Criteri di Convergenza degli Integrali Impropri

Nel caso in cui la funzione $f$ sia limitata su ciascun intervallo $[x, y] \subseteq I$ , diversi criteri ci permettono di stabilire se l'integrale improprio converga o diverga. Ad esempio, se la funzione $|f|$ ha un integrale improprio convergente su $I$ , allora anche $f$ avrà un integrale improprio convergente. Inoltre, se esiste una funzione $g(x)$ tale che $|f(x)| \leq g(x)$ per ogni $x \in I$ , e $g(x)$ è integrabile su $I$ , allora $f(x)$ avrà anch'essa un integrale improprio convergente.

Un caso particolare si presenta quando una funzione $f$ è limitata ma tende a $+\infty$ o $-\infty$ in un punto del dominio. Ad esempio, se esiste un esponente $\alpha \in (0,1)$ tale che:

\lim_{x \to a^+} f(x) (x - a)^{\alpha} = 0

allora l'integrale di $f$ su un intervallo che include $a$ converge. Al contrario, se $f(x)$ diverge con un ordine maggiore o uguale a 1, l'integrale diverge. Questo ordine di divergenza è una caratteristica fondamentale nell'analisi degli integrali impropri su intervalli limitati.

Criteri di Convergenza per Intervalli Illimitati

Nel caso in cui l'intervallo di integrazione si estenda fino a $+\infty$ o $-\infty$ , la convergenza dell'integrale dipende dal comportamento della funzione all'infinito. Se la funzione $f(x)$ è limitata su ogni intervallo $[a, b]$ con $b > a$ , e se esiste un limite $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ , allora possiamo stabilire che:

Se esiste un $\alpha > 1$ tale che $\lim_{x \to +\infty} x^{\alpha} f(x) = 0$ , allora l'integrale su $[a, +\infty)$ è convergente.
Se invece esiste un $\beta \in (0, 1]$ tale che $\lim_{x \to +\infty} x^{\beta} f(x)$ esiste ma non è zero, l'integrale diverge.

Un esempio classico di comportamento di una funzione su un intervallo illimitato è il caso della funzione $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ , che decresce abbastanza rapidamente per garantire la convergenza dell'integrale su $[1, +\infty)$ , ma il comportamento di altre funzioni, come $f(x) = \frac{1}{x}$ , conduce invece a un integrale divergente.

Funzioni Integrali

Una funzione integrale è una funzione definita in termini di un integrale improprio di una funzione $f(t)$ , come nel caso:

G(x) = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \, dt

Dove $\varphi(x)$ e $\psi(x)$ sono funzioni che determinano i limiti dell'integrazione. Queste funzioni possono avere domini che si sovrappongono e il comportamento di $G(x)$ dipende dalla convergenza degli integrali impropri definiti su questi domini. La struttura generale di una funzione integrale richiede una valutazione attenta della convergenza dell'integrale, soprattutto se $\varphi(x)$ o $\psi(x)$ non sono costanti.

Un caso particolare è quando $\varphi(x) = a$ e la funzione integrale assume la forma di un'integrazione su un intervallo fisso. Se $\varphi(x)$ è una costante, la funzione integrale diventa una composizione di funzioni, con il comportamento della funzione $f$ che dipende dalle proprietà della funzione integrale definita.

La Convergenza delle Serie Numeriche: Fondamenti e Criteri

Una serie numerica è una somma infinita di termini di una sequenza, ed è uno degli oggetti principali nell'analisi matematica, in particolare quando si studiano gli sviluppi di funzioni o quando si approcciano problemi di approssimazione. L'analisi della convergenza delle serie è fondamentale per determinare in che modo una serie si comporta all'infinito, ossia se la somma dei suoi termini converge a un valore finito o diverge all'infinito. In questa sede, esploreremo alcuni esempi fondamentali di serie convergenti e i principali criteri per determinarne la convergenza.

Un esempio di serie convergente è la serie geometrica. Per una costante $q \in \mathbb{R}$ e $N \in \mathbb{N}$ , la serie

\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}

converge per $|q| < 1$ . Questo risultato si può ottenere utilizzando la formula classica che esprime la somma parziale di una serie geometrica, che tende a $\frac{1}{1 - q}$ quando $|q| < 1$ . Un altro tipo di serie molto studiato è la cosiddetta serie telescopica, che si presenta nella forma

\sum_{n=0}^{\infty} (b_{n+1} - b_n)

dove $(b_n)_{n \geq 0}$ è una sequenza data. La somma parziale di questa serie può essere scritta come

S_N = (b_1 - b_0) + (b_2 - b_1) + \cdots + (b_{N+1} - b_N) = b_{N+1} - b_0

Il che implica che se la sequenza $(b_n)_{n \geq 0}$ converge, anche la serie telescopica converge, con somma uguale a $b_\infty - b_0$ , dove $b_\infty$ è il limite della sequenza $(b_n)$ .

Però, esistono anche serie che non convergono. Un esempio classico di una serie che diverge è la serie armonica

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

che diverge nonostante il termine generico $\frac{1}{n}$ tenda a zero quando $n$ cresce. Questo fatto può essere compreso tramite l'integrale

\int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx = \lim_{t \to \infty} \ln t,

che cresce senza limite, suggerendo che la somma parziale della serie armonica cresce anch'essa senza limitarsi a un valore finito.

Un concetto cruciale nella teoria delle serie è il criterio di Cauchy, che stabilisce che una serie

\sum_{n=0}^{\infty} a_n

converge se e solo se, per ogni $\epsilon > 0$ , esiste un numero $N$ tale che per ogni $p \geq N$ e ogni $q \geq 0$ , si ha

\left| \sum_{n=p}^{p+q} a_n \right| < \epsilon.

Questo criterio fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie numerica, in termini della sua "vicinanza" alla convergenza per somme parziali.

Un altro criterio importante è il criterio di convergenza assoluta, che afferma che una serie $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ è assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti

\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|

è convergente. In altre parole, se una serie è assolutamente convergente, allora è convergente. Tuttavia, l'inverso non è sempre vero, come mostrato dall'esempio della serie armonica, che è convergente solo in modo non assoluto.

Per le serie con termini non negativi, esistono criteri molto utili come il criterio di comparazione, che afferma che, se per due sequenze non negative $(a_n)$ e $(b_n)$ si ha $a_n \leq b_n$ per grandi $n$ , allora

\sum_{n=0}^{\infty} b_n \text{ converge} \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n \text{ converge}.

Questo criterio è usato frequentemente per stabilire la convergenza di serie note, come la serie $p$ -armoniche

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p},

che converge per $p > 1$ e diverge per $p \leq 1$ .

Altri strumenti utili per lo studio delle serie numeriche sono i test di radice e di rapporto, che permettono di determinare la convergenza di una serie mediante l'analisi del comportamento dei suoi termini per $n \to \infty$ . Il test di radice (o test di Cauchy) afferma che, se

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L,

allora la serie converge se $L < 1$ , diverge se $L > 1$ , e in caso contrario non si può trarre alcuna conclusione. Analogamente, il test del rapporto (o test di D'Alembert) afferma che, se

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L,

allora la serie converge se $L < 1$ e diverge se $L > 1$ .

Per le serie con termini non negativi e decrescenti, il test di condensazione può essere applicato. Questo test stabilisce che una serie

\sum_{n=0}^{\infty} a_n

converge se e solo se la serie condensata

\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}

converge. Il test è particolarmente utile quando le serie coinvolgono funzioni logaritmiche o altre strutture complesse.

Oltre ai criteri diretti, un altro approccio per lo studio della convergenza delle serie è il test integrale. Se $f(x)$ è una funzione positiva e decrescente su $[N, \infty)$ , allora la serie

\sum_{n=N}^{\infty} f(n)

converge se e solo se l'integrale

\int_{N}^{\infty} f(x) \, dx

converge. Questo test è strettamente connesso all'analisi di serie e integrali impropri, in quanto consente di usare il comportamento asintotico della funzione per dedurre la convergenza della serie associata.

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