Come risolvere modelli di diffusione e reazione in geometria rettangolare tramite Trasformate di Fourier Finite (FFT)

$$\frac{\partial c}{\partial t} + \langle u \rangle \frac{\partial c}{\partial x} = D \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + S(x, t)$$

In geometrie rettangolari tridimensionali, la diffusione nelle tre direzioni spaziali $\xi$, $\eta$ e $\rho$ è rappresentata tramite la soluzione della PDE con condizioni al contorno specifiche. Le funzioni proprie e i valori propri sono determinati utilizzando una trasformazione di Fourier che decouple la PDE nelle direzioni spaziali. La soluzione generale per il sistema di equazioni è di solito una somma infinita di termini sinusoidali, pesata da un fattore di normalizzazione.

$$w_{nml} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cos \left( (2n - 1)\pi \xi \right) \cos \left( (2m - 1)\pi \eta \right) \cos \left( (2l - 1)\pi \rho \right)$$

L'effetto di una reazione, o il "fattore di efficacia", è un altro parametro fondamentale che deve essere considerato. Questo parametro rappresenta la media del termine sorgente $Y$ all'interno del dominio e viene spesso calcolato con l'integrale triplo della funzione $Y$ rispetto alle coordinate spaziali. Ad esempio, in un problema di diffusione e reazione tridimensionale, il fattore di efficacia è dato da:

Nel caso in cui la funzione sorgente sia definita come una funzione quadratica o lineare, i metodi FFT possono essere utilizzati per calcolare la somma infinita degli autovalori e determinare il comportamento asintotico di $\hat{\eta}$ in funzione del parametro di reazione. Ad esempio, in una geometria a lastra unidimensionale, la formula del fattore di efficacia è data da:

Questa formula si applica a una situazione in cui il modello fisico è di tipo "slab" (a lastra), con un'alta precisione nella stima della diffusione e della reazione.

Un'altra applicazione comune delle FFT riguarda il modello di dispersione assiale, che descrive la diffusione in presenza di un flusso di fluido (ad esempio, in un tubo). La risoluzione di questo modello si può ottenere utilizzando una trasformata di Fourier che riduce la complessità del problema, specialmente per problemi temporali, come nel caso delle condizioni al contorno e delle condizioni iniziali specificate.

Oltre a queste tecniche standard, è cruciale comprendere l'importanza dei numeri di Peclet ($Pe$), che sono un parametro dimensionless che descrive il rapporto tra i tempi di diffusione e di convezione. In presenza di convessione, il numero di Peclet gioca un ruolo fondamentale nel determinare il comportamento del flusso, mentre in assenza di convessione, il problema si riduce al caso di sola diffusione, con il numero di Peclet che tende a zero.

Per comprendere appieno questi modelli e ottenere soluzioni accurate, è necessario prestare attenzione non solo alla struttura matematica delle equazioni, ma anche alle implicazioni fisiche che emergono dalle condizioni al contorno e dalle proprietà del materiale in esame. Le soluzioni a questi problemi sono spesso utilizzate per ottimizzare processi industriali come la reazione chimica in presenza di flussi, la diffusione in catalizzatori, e molte altre applicazioni nella scienza dei materiali e ingegneria chimica.

Come risolvere equazioni alle derivate parziali con trasformate di Fourier finite

Le proprietà fondamentali delle trasformate di Fourier finite si basano sulla decomposizione del problema in componenti frequenziali, le quali permettono di trattare l'andamento temporale e spaziale di un fenomeno fisico separatamente. L'uso di FFT è cruciale per identificare le modalità di crescita o decadimento delle soluzioni, determinate dagli autovalori di una matrice associata. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa, le perturbazioni iniziali tendono a scomparire nel tempo, lasciando solo la soluzione banale. D'altro canto, quando gli autovalori attraversano l'asse immaginario, possono emergere schemi spaziali o spazio-temporali, manifestando comportamenti complessi come onde di propagazione o instabilità.

Nel contesto della diffusione, per esempio, si consideri il problema di trasferimento di calore su una piastra piatta, modellato da un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine. L'applicazione della FFT a questo tipo di problema consente di ridurre il sistema di equazioni in una somma di funzioni sinusoidali, trasformando così un problema complesso in uno molto più gestibile. La soluzione di questo sistema, nel caso in cui la funzione iniziale sia data, permette di analizzare il comportamento del trasferimento di calore nel tempo e nel dominio spaziale.

Altri casi pratici includono la risoluzione di equazioni come quella di Poisson, che descrive il comportamento di un potenziale in un dominio rettangolare, o la soluzione della legge di Poiseuille per il flusso viscoso lento di un fluido in un canale rettangolare. In entrambe le situazioni, l'uso della trasformata di Fourier finita fornisce una via elegante per decomporre la soluzione in serie di funzioni ortogonali, facilitando il calcolo degli autovalori e la determinazione delle risposte fisiche del sistema.

Nel caso della conduzione di calore in un flusso laminare, ad esempio, un modello che descrive il trasferimento di calore tra due piastre parallele infinite in uno flusso unidimensionale potrebbe essere formulato mediante una trasformata di Fourier. La soluzione dimensionless di tale problema, così come l'espressione del numero di Nusselt locale, risulta particolarmente utile per comprendere come varia il coefficiente di trasferimento di calore al variare delle condizioni operative, come la temperatura di ingresso e la velocità del flusso.

Allo stesso modo, nei modelli di dispersione assiale in flussi unidirezionali all'interno di tubi o canali, la FFT consente di risolvere il problema di dispersione del tracciante in maniera efficiente. In questo contesto, le soluzioni formali della distribuzione della concentrazione nel tempo e nello spazio diventano essenziali per modellare e ottimizzare i processi industriali come i reattori autocaloriferi, i distillatori o i cromatografi.

Oltre agli aspetti matematici, è fondamentale comprendere che l'utilizzo delle FFT non si limita alla mera risoluzione formale di questi problemi. La comprensione fisica dei risultati ottenuti dipende anche dalla corretta interpretazione delle soluzioni ottenute. Ad esempio, la transizione da una soluzione stabile a una instabile, che si verifica quando gli autovalori attraversano l'asse immaginario, è legata alla formazione di modelli di instabilità o onde di propagazione, fenomeni che hanno una vasta applicazione nella scienza dei materiali, nella fluidodinamica e in altre aree della fisica.