Nel sistema formale di Lean, il quantificatore esistenziale ∃ assume una forma sorprendentemente costruttiva: affermare l’esistenza di un oggetto equivale a fornirne esplicitamente un esempio. La logica intuizionista che pervade l’ambiente Lean impone che l’affermazione ∃ x, P(x) sia considerata vera solo quando si è in grado di esibire un testimone specifico x e una prova che P(x) valga per quel valore. Questa impostazione si riflette direttamente nella pratica di scrittura delle dimostrazioni, dove la tattica use svolge il ruolo operativo di "costruire" l’esistenza.

In combinazione con rcases, si realizza un potente paradigma che consente di "smontare" dichiarazioni esistenziali presenti nelle ipotesi e usarle per riscrivere direttamente le espressioni dell’obiettivo. È proprio questa la strategia impiegata nella dimostrazione del fatto che il prodotto di due numeri che sono somma di quadrati è anch’esso una somma di quadrati. Se supponiamo x = a² + b² e y = c² + d², allora x*y può essere scritto come (ac - bd)² + (ad + bc)², il che riflette un fatto più profondo: la norma del prodotto di due interi di Gauss è uguale al prodotto delle loro norme.

Questa osservazione rivela il collegamento tra algebra astratta e geometria complessa: ogni numero complesso della forma a + bi, con a, b interi, ha norma a² + b². Di conseguenza, esprimere un numero come somma di quadrati è equivalente a presentarlo come norma di un intero di Gauss. La dimostrazione in Lean non esplicita questo legame, ma ne costituisce una formalizzazione implicita, che verrà approfondita in seguito con l’introduzione esplicita dei numeri di Gauss come oggetti del sistema.

La manipolazione delle ipotesi esistenziali, dunque, non è solo una tecnica sintattica, ma incarna una visione epistemologica precisa: conoscere l’esistenza di qualcosa significa poterlo costruire. In questo senso, anche proprietà come la divisibilità assumono forma esistenziale. Dire che a divide b equivale a dire che esiste un d tale che b = a*d. La dimostrazione che la divisibilità si trasmette lungo la catena (se a | b e b | c, allora a | c) consiste, in Lean, nell’estrarre i testimoni di ciascuna divisibilità e comporli con semplici regole algebriche.

Anche la suriettività, concetto fondamentale in teoria delle funzioni, può essere vista come una proposizione mista, contenente sia un quantificatore universale sia uno esistenziale. Una funzione f: α → β è suriettiva se per ogni y in β esiste x in α tale che f(x) = y. Dimostrarlo in Lean richiede l’uso congiunto delle tattiche intro e use, riflettendo con precisione la struttura logica della definizione.

Inoltre, Lean fornisce meccanismi efficaci per affrontare anche la negazione. L’operatore ¬ è definito come implicazione verso il falso: ¬P è formalmente P → False. Questo consente di trattare la negazione con le stesse tecniche usate per le implicazioni, facilitando la gestione dei paradossi o delle contraddizioni. Per esempio, per dimostrare che una funzione non ha un estremo superiore, basta trovare un punto che lo supera, usando rcases per accedere a una costruzione universale che garantisce sempre un valore maggiore.

Un altro punto rilevante è che la negazione di un quantificatore può essere trasformata nel quantificatore opposto applicato alla negazione. Dire che non esiste un x tale che P(x) equivale a dire che per ogni x vale ¬P(x). Viceversa, negare che ogni x soddisfi P(x) significa affermare che esiste un x per cui ¬P(x) vale. Queste trasformazioni, che nei sistemi classici sono banali, in Lean si esprimono costruttivamente e richiedono un uso esplicito delle regole logiche.

Infine, l’interazione fra ordini, negazioni e monotonia delle funzioni costituisce una palestra ideale per applicare tutte le tecniche discusse. Dimostrare che una funzione crescente non può invertire l’ordine tra due valori, oppure mostrare l’esistenza di controesempi a enunciati universali attraverso funzioni costanti, sono esercizi in cui la logica costruttiva si dimostra non solo rigorosa, ma anche intuitivamente persuasiva.

L’aspetto cruciale da comprendere è che lavorare con i quantificatori in Lean non consiste nel manipolare simboli astratti, ma nel gestire oggetti matematici concreti all’interno di un sistema coerente e verificabile. La tattica rcases, che un

Come si dimostra l’irrazionalità della radice quadrata di due attraverso la teoria dei numeri elementare e la fattorizzazione in primi

Nel contesto matematico più ampio, un elemento di un anello si definisce irriducibile se non è possibile scomporlo ulteriormente in prodotti di elementi non invertibili. Un elemento si dice invece primo se, quando divide un prodotto, divide almeno uno dei fattori. Nel sistema dei numeri naturali, queste due nozioni coincidono, il che è cruciale per molti teoremi fondamentali, come il teorema Nat.Prime.dvd_mul.

Un risultato chiave, basato su questo fatto, è che se il quadrato di un numero è pari, allora il numero stesso è pari. In Mathlib, la proprietà di essere pari è espressa dal predicato Even, ma spesso si preferisce scrivere 2 | m per indicare che m è divisibile per 2. Il teorema che formalizza questa proprietà si basa sul fatto che 2 è un numero primo e sfrutta la definizione di divisibilità in termini di prodotti.

La dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di due si basa su una strategia simile: si suppone per assurdo che esistano numeri naturali m e n coprimi tali che m2=2n2m^2 = 2 n^2. Applicando il teorema che se m2m^2 è pari allora mm è pari, si deduce che anche nn è pari, arrivando così a contraddire la coprimalità di m e n. Questo porta a una contraddizione logica che implica l’impossibilità di esprimere 2\sqrt{2} come rapporto di due numeri naturali.

Questa dimostrazione può essere generalizzata a qualsiasi numero primo pp, mostrando che m2≠p⋅n2m^2 \neq p \cdot n^2 per ogni coppia di numeri naturali coprimi m,nm, n. La generalizzazione si basa sull’analisi della fattorizzazione in primi: scomponendo mm e nn nei loro fattori primi, si osserva che la molteplicità del fattore primo pp nel prodotto m2m^2 deve essere pari, mentre nel prodotto p⋅n2p \cdot n^2 è dispari, generando così una contraddizione.

La dimostrazione rigorosa si avvale del teorema della fattorizzazione unica, che afferma che ogni numero naturale diverso da zero può essere scritto in modo unico come prodotto di numeri primi. Mathlib fornisce funzioni come Nat.primeFactorsList e Nat.factorization, che permettono di trattare formalmente la molteplicità di un primo in una fattorizzazione, e tre teoremi fondamentali che collegano la molteplicità di un primo nel prodotto di due numeri o nelle potenze di un numero.

In particolare, il teorema factorization_mul' esprime che la molteplicità di un primo pp nel prodotto m⋅nm \cdot n è la somma delle molteplicità di pp in mm e nn. Il teorema factorization_pow' afferma che la molteplicità di pp in nkn^k è pari a kk volte la molteplicità di pp in nn. Inoltre, per un primo pp, la molteplicità di pp in sé stesso è uno, come afferma Nat.Prime.factorization'.

Questi risultati permettono di formalizzare in modo elegante e generale l’argomento sulla parità dei fattori primi e la conseguente irrazionalità di 2\sqrt{2} o più in generale la non esistenza di soluzioni intere all’equazione mk=r⋅nkm^k = r \cdot n^k con rr che contiene un primo pp la cui molteplicità non è multipla di kk.

La dimostrazione distingue anche il caso in cui r=0r = 0 da quello in cui r>0r > 0, trattando separatamente i casi per assicurare la validità della conclusione. Questo metodo di prova, basato sulle molteplicità dei fattori primi, non solo conferma il risultato classico sull’irrazionalità di radici quadrate, ma si estende a esponenti arbitrari e a numeri primi generici.

È essenziale comprendere che questa strategia dipende fondamentalmente dalla proprietà unica della fattorizzazione in primi nei numeri naturali. La possibilità di attribuire una molteplicità ben definita ad ogni fattore primo e di manipolarla con precisione permette di tradurre proprietà algebriche intuitive in dimostrazioni rigorose.

Inoltre, la formalizzazione in Lean e l’uso di Mathlib sottolineano l’importanza degli strumenti informatici per esplorare e verificare dimostrazioni complesse, facilitando l’accesso a una libreria di teoremi ben strutturata e ottimizzata per la ricerca matematica contemporanea.

Oltre a quanto esposto, è cruciale per il lettore riconoscere che la dimostrazione sfrutta non solo proprietà di base dell’aritmetica, ma anche concetti più avanzati come la struttura degli anelli e la teoria dei moduli di congruenza. La padronanza di tali concetti apre la strada a molte altre applicazioni, dalla teoria dei numeri alla crittografia moderna.

Infine, è importante considerare che le dimostrazioni presentate si basano su assunzioni di coprimalità e non nullità dei numeri coinvolti; comprendere l’effetto di queste condizioni è fondamentale per evitare errori logici e interpretazioni errate nel trattare problemi analoghi in contesti più generali.

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