Qual è il Ruolo della Matematica nel Processo di Matematizzazione delle Configurazioni Fisiche?

Il paesaggio empirico e teorico, nel contesto della matematizzazione scientifica, si sviluppa attraverso un processo che può essere suddiviso in fasi ben distinte, ma che spesso si intrecciano in modo più complesso di quanto possa sembrare a prima vista. Il modello matematico, dotato di strutture matematiche, occupa il lato destro di tale processo. La linea superiore segna l'inizio del processo di rappresentazione, l'immersione, mentre la linea inferiore rappresenta la conclusione, l'interpretazione. L'intermedio, simboleggiato dalla freccia verticale, è il passaggio della derivazione. Tuttavia, è fondamentale riconoscere che, nonostante queste fasi appaiano separate in modo schematico, esse sono spesso più fluide e interconnesse nella pratica scientifica, influenzate dal contesto e dall’obiettivo della ricerca.

Tale processo di mappatura, tuttavia, non è privo di complessità, soprattutto quando consideriamo le proposizioni miste. Le proposizioni miste, che combinano oggetti fisici con nozioni matematiche, come nel caso della frase "la massa del satellite è 100 kg", non sono del tutto separabili in termini puramente fisici e matematici. In esse, oggetti fisici come il satellite sono connessi a concetti matematici come il numero 100 e la definizione standard del chilogrammo. Similmente, nelle equazioni matematiche che descrivono la traiettoria di un oggetto in movimento, il legame tra variabili fisiche (come la posizione o il tempo) e numeri reali permette di ottenere un quadro coerente in cui matematica e fisica si intrecciano. La matematizzazione non è quindi un processo esclusivamente matematico o fisico, ma un’integrazione di entrambi che permette la comprensione e la previsione dei fenomeni fisici attraverso strutture matematiche.

A livello tecnico, per definire cosa siano gli omomorfismi e gli isomorfismi parziali, è necessario partire da alcune definizioni preliminari. Quando si indaga un'area di conoscenza, come un dominio fisico, si formula un quadro concettuale che organizza le informazioni relative a tale dominio. Questo dominio si comporta come un insieme di oggetti, che possono essere sia reali che idealizzati, come nel caso delle particelle subatomiche che non sono direttamente osservabili. L'esplorazione di tale dominio implica l'analisi delle relazioni tra i suoi elementi, ma inizialmente non è chiaro quali oggetti o combinazioni di oggetti siano effettivamente connessi da tali relazioni. Si può così definire una relazione parziale su un insieme come una funzione che mappa n argomenti, per esempio nel caso delle operazioni binarie come l'addizione o la moltiplicazione. Un omomorfismo parziale rappresenta situazioni in cui alcune strutture matematiche sono trasferite alla fisica, ma in cui non tutte le strutture matematiche hanno un corrispondente fisico. Questo è il caso dei surplus structures, strutture matematiche che, pur conversando con la fisica, non possiedono inizialmente un corrispondente fisico (ad esempio, quando una soluzione negativa a un problema fisico non ha significato fisico).

Per comprendere appieno il legame tra matematica e fisica, è quindi essenziale comprendere che il processo di matematizzazione non è un semplice esercizio matematico, ma una modalità di rappresentazione e di spiegazione della realtà fisica. La matematica non è solo uno strumento, ma spesso diventa il linguaggio stesso attraverso cui la scienza espone e interpreta i fenomeni fisici. La sua potenza risiede nella capacità di formalizzare e prevedere le relazioni tra gli oggetti fisici, ma il suo uso deve essere sempre contestualizzato e interpretato in relazione agli obiettivi della ricerca scientifica.

Qual è il ruolo degli studi di caso nella filosofia della scienza?

Il concetto di "studio di caso" nella filosofia della scienza è da tempo oggetto di discussione. Un argomento centrale è se questi studi possano essere utili per l'elaborazione di teorie filosofiche o se, al contrario, siano più propensi a generare bias di selezione, distorcendo la comprensione storica e concettuale. La questione si complica ulteriormente quando consideriamo l'approccio da adottare: un approccio "top-down" o "bottom-up". La distinzione tra questi due metodi è cruciale nel dibattito contemporaneo.

Pietsch (2016) propone una divisione simile, ma con una visione leggermente diversa. Egli distingue tra studi di caso predittivi e studi di caso astratti. I primi mirano a trarre previsioni su casi simili per supportare inferenze empiriche e generalizzabili, mentre i secondi utilizzano gli studi di caso per sviluppare leggi astratte, basandosi su analogie strutturali tra diversi episodi storici. Secondo Pietsch, non è corretto considerare uno dei due approcci migliore dell'altro, ma piuttosto la loro qualità dipende dalla maniera in cui vengono applicati. Ad esempio, il concetto di "rivoluzioni scientifiche" di Kuhn, che si fonda su analogie strutturali tra episodi storici diversi, rappresenta un'applicazione tipica di questo tipo di approccio.

Un ulteriore sviluppo nella filosofia della scienza si è avuto grazie alla riflessione sul processo di "matematizzazione" della scienza, che gioca un ruolo fondamentale nelle indagini storiche e filosofiche contemporanee. In questo contesto, l'approccio bottom-up consente di analizzare la matematizzazione come un fenomeno che emerge e si sviluppa in un contesto storico preciso, senza imporre a priori modelli filosofici astratti. L'analisi dei casi storici specifici permette di tracciare una comprensione più profonda delle interazioni tra matematica e scienza.

In particolare, l'analisi del lavoro di Johann Euler sulla teoria dell'elettricità, basata sull'etere e fortemente matematizzata, mostra un tipo di matematizzazione che privilegia considerazioni meccanicistiche, pur riconoscendo la matematica come strumento subordinato. Al contrario, il lavoro di Franz Aepinus, che ha combinato la teoria di Franklin con la concezione newtoniana dell'azione a distanza, ha visto nella matematica non solo un supporto, ma una guida vera e propria per la formulazione delle sue ipotesi fisiche. Il suo approccio è quello che ho definito "matematizzazione costruttiva", in cui la matematica guida il ragionamento scientifico, ma non esclude altre considerazioni meccanicistiche.

In questa prospettiva, è importante notare che ogni tipo di matematizzazione porta con sé vantaggi e svantaggi. Il "tipo" di matematizzazione scelto, e l'approccio filosofico ad esso associato, può influenzare profondamente la comprensione dei fenomeni scientifici. Sebbene il lavoro storico sia fondamentale, esso deve essere interpretato all'interno di un contesto filosofico che permetta di tracciare limiti chiari tra ciò che può essere generalizzato e ciò che deve restare specifico. La filosofia della scienza, infatti, non deve cedere alla tentazione di universalizzare eccessivamente i concetti derivati da casi storici particolari. Ogni interpretazione deve cercare un "range medio" epistemologico che sia giustificato dal caso specifico e dalla sua storia.

Il concetto di "progetto epistemico", che verrà esplorato più dettagliatamente nei capitoli successivi, rappresenta un'importante direzione futura per la filosofia della scienza. Questo approccio permette di rendere applicabili nel futuro le strutture concettuali costruite attraverso gli studi di caso, spingendo così la filosofia della scienza a considerare non solo il passato, ma anche le implicazioni future delle sue teorie.