A térképészetben és navigációban az alapvető kérdés az, hogyan képesek a térképészeti ábrázolások egy gömbfelületet ábrázolni a síkban. A múltban a navigátorok, akik nagy távolságokat jártak be, valójában egy gömb felületének metrikáját olvasták le a térképekről, figyelembe véve a bolygó görbületét, amely az atlaszok lapján másként jelenik meg, mint ahogy az a valódi felszínen van. Ez a probléma a konformális leképezések egy érdekes aspektusát érinti, amely az alapvető geometriai jellemzőket, mint például a távolságokat és szögeket, egy változó skálán átviheti egyik felületről a másikra.

A konformális leképezések azon térbeli transzformációk, amelyek nem változtatják meg a szögeket, de a távolságokat egy skálázó tényezővel módosítják. Ha egy két Riemann-tér, Vn és Un, ugyanazzal a dimenzióval rendelkezik, és egy F: Vn → Un C1 osztályú diffeomorfizmussal kapcsolódik, akkor minden egyes térben két különböző metrikus tenzor létezik: az egyik az eredeti térben, a másik pedig a leképezett térben. Ez a konformális leképezés elve, amely biztosítja, hogy az origóban lévő két vektor közötti szög nem változik meg, bár azokat eltérő módon méretezhetjük, függően attól, hogy a két tér milyen mértékben van átvivődve egymásba.

A konformális leképezés hatása különösen fontos a gravitációs mezők modellezésében. A gravitációval kapcsolatos relatív elméletek, mint például az általános relativitáselmélet, elismerik a konformális leképezések jelentőségét, mivel a Weyl-tensor, amely a gravitációs hullámok és a vákuumba áramló gravitációs mezőket modellezi, konformálisan invariáns. Ez azt jelenti, hogy két, konformálisan kapcsolódó Riemann-térben a Weyl-tenzor értéke ugyanaz marad, még akkor is, ha a metrikus tenzorok egy skálázó tényező által módosultak.

Egy másik fontos geometriai fogalom, amely szoros kapcsolatban áll a konformális leképezéssel, a Ricci-tenzor és annak nyomó része. A Ricci-tenzor a Riemann-tér görbületének egy fontos mutatója, és az ebből származó szabad nyújtás segítségével definiálható a Weyl-tenzor. A Weyl-tenzor egy negyedik rangú tenzor, amely a görbület finomabb részleteit adja meg, különösen a gravitációs hullámok terjedését a vákuumban, és amely a konformálisan kapcsolódó Riemann-terekben változatlan marad.

Fontos megérteni, hogy a konformális leképezés nem változtatja meg a vektorok közötti szögeket, de azokra a geometriai tulajdonságokra hatással van, amelyek meghatározzák a tér görbületét és a távolságokat. A konformálisan lapos terek esetében, ahol a Weyl-tenzor nulla, a metrikus tenzorok egy szimpla skálázó tényezővel kapcsolódnak, és egy adott Riemann-tér konformálisan lapos, ha létezik egy olyan függvény, amely a két tér metrikus tenzorát összekapcsolja.

A háromdimenziós terek esetében a konformálisan lapos állapot elérése szigorúbb feltételekhez kötött, és nem minden háromdimenziós metrikus tér kapcsolódik konformálisan egy síkhoz. A szükséges és elegendő feltétel a Cotton–York tenzor eltűnése, amely a háromdimenziós terek görbületi információit egy speciális módon integrálja. A két dimenziós terek esetében, ahol a Weyl-tenzor nem meghatározott, minden kétdimenziós metrikus tér konformálisan laposnak tekinthető.

Ez az elméleti háttér rendkívül fontos, mivel segít megérteni a görbületi tulajdonságokat, amelyeket a különböző geometriai struktúrák megjelenítése, például a térképek vagy a gravitációs modellek, figyelembe kell vegyenek. A konformális leképezés nemcsak a matematikai tisztaságot biztosítja, hanem rendkívül hasznos eszközként szolgál a fizikai rendszerek, mint például a gravitáció és a kozmosz térbeli modellezése számára is.

Hogyan számíthatjuk ki a gravitációs mezőt az Einstein-elmélet lineárisított változata alapján?

A gravitációs mezőt, amelyet egy adott forrás generál, egyszerűbben lehet kiszámítani az Einstein-elmélet teljes körű alkalmazása helyett, ha a lineárisított közelítést alkalmazzuk. Az elméletünk szerint a metrikus tenzor determinánsa hasonló formát mutat a következőhöz: g=−1+kis perturbaˊcioˊg = -1 + \text{kis perturbáció}, így a metrikus tenzor gμνg_{\mu\nu} is az alábbi módon írható fel: gμν=ημν+fμνg_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + f_{\mu\nu}, ahol ∣fμν∣≪1|f_{\mu\nu}| \ll 1. A tenzorok és a metrikus tenzor közötti kapcsolatot a következő képlettel fejezhetjük ki: {gμ}ν=ημν−hμν\{g_{\mu}\}^{\nu} = \eta_{\mu\nu} - h_{\mu\nu}, ahol hμνh_{\mu\nu} a kis perturbációk hatásait jelenti, és az ημν\eta_{\mu\nu} az euklideszi metrikát jelöli.

A lineárisított Einstein-egyenletek egy másik fontos formáját is megkaphatjuk. A képlet:

−12(hαβ,ρ,ρ+hρα,β,ρ−hα,β,ρ−hβ,α,ρ)+ηαβ(hρσ,ρσ−hρσ,ρσ)=κTαβ- \frac{1}{2} \left( h_{\alpha\beta,\rho}^{,\rho} + h_{\rho\alpha,\beta}^{,\rho} - h_{\alpha,\beta,\rho} - h_{\beta,\alpha,\rho} \right) + \eta_{\alpha\beta} \left( h_{\rho\sigma}^{,\rho\sigma} - h_{\rho\sigma,\rho\sigma} \right) = \kappa T_{\alpha\beta}

ahol TαβT_{\alpha\beta} az energia-momentum tenzor, amely a forrás eloszlásának megfelelően leírja a tömeget, az impulzust és az energiát. A κ\kappa a gravitációs konstans, amelynek értéke a teljes Einstein-elméletben a κ=8πGc2\kappa = \frac{8\pi G}{c^2} formában szerepel.

A gravitációs mező lineáris közelítése, azaz a gyenge gravitációs mezők esetén alkalmazott elmélet, segít egyszerűsíteni az egyenletek számítását. A képletek segítségével meghatározhatjuk az adott forrás által keltett gravitációs mezőt, és ezen keresztül következtethetünk a gravitációs hatásokra.

Egy további lépés a koordináta-transzformáció elvégzése, amely az xα=xα+bα(x)x^\alpha = x^\alpha + b^\alpha(x) képlettel történik. A bαb^\alpha függvények megfelelően kicsik ahhoz, hogy biztosítsák a perturbációs elmélet feltételeit, azaz, hogy ∣bα∣≪∣hμν∣|b^\alpha| \ll |h_{\mu\nu}|. A transformáció eredményeként a gravitációs mező átalakulásának szabályait is ki lehet számítani, figyelembe véve, hogy a teljes metrikus tenzor lineárisan transzformálódik, nem pedig a hμνh_{\mu\nu} tenzor maga.

A pontos megoldás eléréséhez figyelembe kell venni, hogy a gravitációs mező általános megoldása a töltéseloszlás helyi változásaival és mozgásával függ össze, és hasonlóan működik, mint az elektrodinamikai problémák, ahol a mezőt az elektromos töltések eloszlása határozza meg. Az Einstein-egyenletek és a források közötti kapcsolat tehát a mező és az azt generáló anyagi eloszlás összefüggését írja le.

Ez az elmélet a gyenge mezők közelítésére összpontosít, ahol a kölcsönhatásokat az elsőrendű Newtoni közelítésben számíthatjuk ki, azaz a relatív sebesség és az időbeli változások kisebbek, mint a fénysebesség. Az ilyen típusú közelítések a gravitációs mező dinamikájának megértésében különösen hasznosak, mivel egyszerűbbé teszik a számításokat és segítenek elkerülni a bonyolultabb teljes Einstein-egyenletek kezelését.

A gravitációs mező kifejezésére vonatkozó általános megoldás egy fontos pontja a T_{\alpha\beta} tenzor komponenseinek integrálása, és a különböző fizikailag releváns mennyiségek, mint a tömeg, a dipólus- és quadrupólus momentumok, valamint az energia-impulzus tenzor elemeinek kiszámítása. A matematikai modellezés során az integrálok által megadott mennyiségek segítenek meghatározni a forrás által keltett gravitációs hatásokat és a mozgás törvényeit.

A végső cél az, hogy ezen összefüggések és megoldások segítségével megértsük a gravitáció működését a gyenge mezők közelítésében, és alkalmazzuk a mindennapi fizikában és asztrofizikában. A tudományos vizsgálatok ezen modelljei, különösen az elsőrendű posztnyútoni közelítések alkalmazása, segítenek abban, hogy pontosabban mérjük és előrejelezzük a gravitációs hatások idő- és térbeli viselkedését, ami alapvetően fontos a gravitációs hullámok kutatásában, az égitestek mozgásának modellezésében és a gravitációs interakciók megértésében.

Hogyan észleljük a fény útját egy gyorsuló referencia rendszerben?

Ha egy gyorsuló referencia rendszerből figyeljük meg a fényt, akkor a fény útja másként jelenhet meg, mint egy nyugalomban lévő rendszerben. Képzeljünk el egy űrhajót, amely átrepül egy fénynyalábon. Tegyük fel, hogy a fény a W ablakon át bejut az űrhajóba, és a túloldali képernyőn (lásd 1.2 ábra) egy pontban eléri azt. Ha az űrhajó nyugalomban lenne, akkor a fény nyúlványa a W ablakból az A ponton ütközne a képernyővel. Azonban, mivel az űrhajó mozog, miközben a fény a képernyőre ér, az űrhajó egy kicsit elmozdul, és a fénynyaláb a B pontban jelenik meg.

Ha azt feltételezzük, hogy a fénynyaláb egyenes vonalban halad, amikor egy nyugalomban lévő megfigyelő számára észlelik, könnyen látható, hogy amikor az űrhajó állandó sebességgel mozog, akkor az út, amelyet a fény követ, egyenes vonal, míg ha az űrhajó gyorsul, az út görbült lesz. Ha a gravitációs mező hasonlóan viselkedik, mint az inerciális erőké, akkor a fénynyalábot a gravitáció is eltéríti. Ez azt jelenti, hogy a fény nem követhet egyszerűen egy egyenes vonalat, és a gravitáció tehát nem csupán erőként hat, hanem a tér geometriáját is módosítja.

Ebben a megközelítésben eltekinthetünk attól, hogy gravitációs erőket posztuláljunk, és helyette elfogadhatjuk azt a modellt, hogy a gravitáció módosítja a tér geometriáját, így az észlelt pályák a szabad mozgás útvonalai. Az ilyen elmélet talán bonyolultabb a Newtoni mechanikánál, de csak olyan fogalmakat használ, amelyek az észlelhető jelenségekkel kapcsolatosak, elkerülve az észlelhetetlen Euclideszi tér hátterét.

A tér geometriai módosulása tehát a nem-Euklideszi geometria világát nyitja meg, és ezen alapul a relativitás elméletének matematikai kerete: a differenciálegyiptomátria. Ahhoz, hogy ezen elméletek megértéséhez eljussunk, elengedhetetlen, hogy először is megismerkedjünk a differenciálegyiptomátria alapjaival.

Képzeljük el, hogy egy sík területen szeretnénk párhuzamos egyeneseket konstruktálni, és ehhez tradicionális görög geometriai eszközként vonalzót és körzőt használunk. De ahogy a távolság nő, ezek az eszközök már nem működnek. Egy adott ponton, például a Holdon, egy párhuzamos egyenes megépítése, amely a Föld pillanatnyi sebességére merőleges, már nem lehetséges a megszokott eszközökkel.

Ilyen helyzetben más módszerek szükségesek. Képzeljünk el egy megfigyelőt, aki egy adott A pontban áll a p egyenes mentén, és párhuzamos egyeneseket szeretne építeni. A program a következő lehet: először meghatározzuk az AB egyenest, majd mérjük a két vonal, p és AB közötti szöget. Ezután az AB vonalon keresztül meghúzunk egy párhuzamos egyenest, amely azonos szögben dől, mint p. Ha az observer a folyamatot folytatja, akkor a következő lépéseken végrehajtva elérhetjük a kívánt párhuzamos vonalat. Az ilyen típusú párhuzamosítás kiterjeszthető bármilyen görbült útra is, ami a differenciálhatóság követelményeinek megfelel.

Ez az elmélet a vektorok párhuzamos szállítására vonatkozik. A párhuzamos vektorok nemcsak a sík területeken, hanem a görbült felületeken is alkalmazhatók, mint például egy gömbön. A görbült felületeken a párhuzamos szállítás nem függhet attól, hogy melyik geodéziás ívet választjuk, hanem attól, hogy a vektorokat folyamatosan párhuzamosan szállítjuk a választott görbén. A szállítási eljárás végén a vektorok kimeneti iránya más lehet, mint a kiinduló irány, különösen akkor, ha nem geodéziás görbét követünk. A szférán végzett párhuzamos szállítások során egy vektor például végig ugyanazt az irányt tartja a nagy körök mentén, amelyek geodéziás pályák. Azonban a különböző íveken történő szállítások egy-egy eredő vektorhoz vezethetnek, amelyek eltérhetnek a kiinduló vektortól.

Fontos megjegyezni, hogy a párhuzamos vektoroknak az a jellemzőjük, hogy a szállítás során mindig megőrizzük a megfelelő szöget az aktuális irányokkal. A geodéziás vonalak, melyek az adott felületen a legrövidebb távolságot jelentik két pont között, szoros kapcsolatban állnak a vektorok párhuzamos szállításával.

Hogyan határozza meg a kozmikus görbület a sötét anyagot és az Univerzum tágulását?

A kozmikus tágulás és a különböző típusú görbületek közötti kapcsolat elég komplex, és nem függ közvetlenül a térbeli pozíciótól vagy az anyag sűrűségének helyi értékétől, ellentétben a Friedmann-modellekkel. A térgörbület és a kozmikus anyag eloszlásának finom részleteit a későbbi szakaszokban tárgyaljuk, de már most fontos megérteni, hogy a különböző kozmológiai modellekben alkalmazott paraméterek, mint a Hubble-állandó és a kritikus sűrűség, az Univerzum szerkezetét és evolúcióját alapvetően befolyásolják.

A kritikus sűrűség meghatározásához a következő képletet alkalmazzuk:

ρcr=3H28πG\rho_{\text{cr}} = \frac{3H^2}{8 \pi G}

Ez a kritikus sűrűség meghatározza, hogy egy adott kozmológiai modell esetén az Univerzum nyitott vagy zárt-e. Ha figyelembe vesszük csak a látható anyagot, amelyet teleszkópokkal észlelhetünk, akkor az így megfigyelt sűrűség, ρo\rho_o, sokkal kisebb, mint a kritikus sűrűség. Például a legkisebb Hubble-állandó érték, amelyet a jelenlegi megfigyelések alátámasztanak (Planck, 2014), H0=67,11H_0 = 67,11 km/s/Mpc, azt eredményezi, hogy a kritikus sűrűség ρcr=8,46×10−30\rho_{\text{cr}} = 8,46 \times 10^{ -30} g/cm³, míg a megfigyelt anyag sűrűsége ρo≤10−31\rho_o \leq 10^{ -31} g/cm³ (Lang, 1974). Ez arra utal, hogy a látható anyag nem képes elegendő sűrűséget biztosítani a kozmikus tágulás lassulásához, ami a sötét anyag és a sötét energia jelenlétére utal.

A galaxisok körüli csillagok pályájának sebessége azt sugallja, hogy a galaxisok jelentős mennyiségű láthatatlan sötét anyagot tartalmaznak. A sötét anyag sűrűségére vonatkozó becslések azt mutatják, hogy a látható anyag sűrűsége ρo≤0,2ρcr\rho_o \leq 0,2 \rho_{\text{cr}} (Coles és Ellis, 1997). Az galaxis klaszterek megfigyelései arra engednek következtetni, hogy az intergalaktikus térben is található sötét anyag, de még ha ezt is figyelembe vesszük, az anyag sűrűsége nem lépi túl a ρcr\rho_{\text{cr}} 30%-át.

A jelenlegi kozmológiai konszenzus szerint a tényleges sűrűség olyan, hogy a görbület k=0k = 0 marad, és az anyag egy része láthatatlan, például sötét anyagként vagy sötét energiaként, mint a kozmológiai állandó vagy annak különböző modellei (Padmanabhan, 1993).

A Friedmann-egyenletek megoldásai, amelyek a gravitációs kölcsönhatásokat és az Univerzum tágulását modellezik, ellipszis függvényekkel fejezhetők ki. Az ilyen típusú megoldások elemzése lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük a térbeli görbület és a tágulás dinamikáját az idő függvényében. A modellekben szereplő kk paraméter az Univerzum görbületét és a jövőbeli fejlődést is meghatározza.

A különböző kk értékek eltérő típusú tágulási pályákat eredményeznek. Amikor k=0k = 0, a tágulás lineárisan, végtelen ideig folytatódik, míg ha k>0k > 0, a modellnek véges ideje van, és a jövőben egy "nagy összehúzódás" (Big Crunch) következhet be. Azonban ha k<0k < 0, a tágulás nem áll meg, és végtelen ideig folytatódik.

A sötét anyag és az Univerzum görbülete közötti kapcsolat kulcsfontosságú szerepet játszik abban, hogy a kozmológusok miért választják a különböző modelleket. Az k=0k = 0 modellek különösen fontosak, mert ezek az ún. "nyílt" Univerzumot írják le, amely sosem áll meg, és sosem fog "összehúzódni". Ezzel szemben a pozitív kk értékek azt mutatják, hogy az Univerzumnak korlátozott élettartama van, és egy végső összehúzódás várható.

Az úgynevezett vöröseltolódási–távolság összefüggés fontos szerepet játszik abban, hogy meghatározzuk az Univerzum tágulásának ütemét és annak hatásait a galaxisok közötti távolságokra. Az ilyen típusú összefüggések segítenek a kozmológusoknak pontosan modellezni az Univerzum szerkezetét és fejlődését, különösen a Hubble-törvény és a sötét anyag szerepe alapján.

A vöröseltolódás mértéke és az észlelt távolságok közötti kapcsolat kulcsfontosságú a kozmológiai távolságmérésekben, mivel az űrtávcsövekkel végzett megfigyelések nemcsak a látható, hanem a láthatatlan jelenségekre is rávilágítanak. Az, hogy miért és hogyan változnak ezek a távolságok a vöröseltolódás függvényében, az alapvető jelentőségű az Univerzum történetének és evolúciójának megértésében.

A kozmológiai modellek és a különböző kk paraméterek tehát az Univerzum tágulásának irányát és végső sorsát alapvetően meghatározzák. A sötét anyag, a sötét energia és a kozmikus görbület közötti bonyolult összefüggések megértése segít a kozmológusoknak abban, hogy pontosabb modelleket alkossanak az Univerzum múltjáról és jövőjéről.

Miért tartják Didius Julianust a legrosszabb császárnak a római történelemben?
Hogyan segítheti a közösségi kertészet a fenntartható jövőt?
Hogyan kezeljük a füst- és vegyi sérüléseket, égési sebeket és vágásokat
Miért maradt fenn a fehérek felsőbbrendűsége a rabszolgaság eltörlése után is?
Miért vált a populáris detektívirodalom kultikus tárggyá és mi rejlik e műfaj reneszánsza mögött?