Hogyan számolhatunk statisztikai mutatókat és alkalmazhatjuk az alprogramokat a Fortran programozásban?

A statisztikai mutatók számítása során az adatokat különböző módon elemezhetjük. Például, ha adott egy adatsor $x_1, x_2, \dots, x_n$, akkor az átlag, szórás és variancia számítása alapvető műveletek, melyek lehetővé teszik az adatok viselkedésének jobb megértését. Az átlagot $\text{Mean} = \frac{\sum x_i}{n}$, a minta szórását pedig $S = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \text{Mean})^2}{n-1}}$ képlettel számolhatjuk.

Fortranban az adatok beolvasása és a szükséges számítások elvégzése meglehetősen egyszerű. Az alábbi példában egy program számolja ki az adatsor átlagát, minta és populáció varianciáját, valamint a szórást:

fortran
Copy code
program statisztika
    integer :: n, i
    real :: x(100), xm, sdx, vssd, vpsd, ssd, psd
    real :: sx
    ! Adatok beolvasása
    print *, 'Adatok száma:'
    read(*,*) n
    print *, 'Adatok:'
    read(*,*) (x(i), i=1, n)
    ! Átlag számítása
    sx = 0.0
    do i = 1, n
        sx = sx + x(i)
    end do
    xm = sx / n
    ! Variancia és szórás számítása
    sdx = 0.0
    do i = 1, n
        sdx = sdx + (x(i) - xm)**2
    end do
    vssd = sdx / (n - 1)
    vpsd = sdx / n
    ssd = sqrt(vssd)
    psd = sqrt(vpsd)
    ! Eredmények kiírása
    print *, 'Adatok száma:', n
    print *, 'Átlag:', xm
    print *, 'Minta variancia:', vssd
    print *, 'Populáció variancia:', vpsd
    print *, 'Minta szórás:', ssd
    print *, 'Populáció szórás:', psd
end program

A fenti program a következő eredményt adhatja egy például 5 adatpontból álló listánál:

yaml
Copy code
Adatok száma: 5

Adatok: 1.2 1.5 0.8 1.3 1.4
Átlag: 1.24
Minta variancia: 0.073
Populáció variancia: 0.058
Minta szórás: 0.270
Populáció szórás: 0.242

A harmonikus átlag pedig:

Ezen mutatók Fortranban való kiszámítása egy másik programban is megoldható:

fortran
Copy code
program geomean
    integer :: n, i
    real :: x(100), s, ss, sss, p, gm, hm, rms
    real :: vars, var, sd
    ! Adatok beolvasása
    print *, 'Adatok száma:'
    read(*,*) n
    print *, 'Adatok:'
    read(*,*) (x(i), i=1, n)
    ! Átlagok számítása
    s = 0.0
    ss = 0.0
    sss = 0.0
    p = 1.0
    do i = 1, n
        s = s + x(i)
        ss = ss + x(i) * x(i)
        sss = sss + 1.0 / x(i)
        p = p * x(i)
    end do
    gm = p**(1.0 / real(n))
    hm = real(n) / sss
    rms = sqrt(ss / real(n))
    ! Variancia és szórás számítása
    vars = 0.0
    do i = 1, n
        vars = vars + (x(i) - s / real(n))**2
    end do
    var = vars / real(n)
    sd = sqrt(var)
    ! Eredmények kiírása
    print *, 'Adatok száma:', n
    print *, 'Geometriai átlag:', gm
    print *, 'Harmonikus átlag:', hm
    print *, 'Gyökös átlag:', rms
    print *, 'Populáció variancia:', var
    print *, 'Populáció szórás:', sd
end program

Ez a program például a következő eredményeket adhatja egy 8 adatpontból álló listánál:

perl
Copy code
Adatok száma: 8

Geometriai átlag: 184.4
Harmonikus átlag: 183.9
Gyökös átlag: 185.5
Populáció variancia: 201.0
Populáció szórás: 14.2

A következő lépés a Fortran alprogramok és szubrutinok alkalmazása. Az alprogramok lehetővé teszik, hogy komplex feladatokat egyszerűbb, jól definiált egységekre bontsunk. Két típusú alprogram létezik: a függvények és a szubrutinok. A függvények matematikai műveletek elvégzésére szolgálnak, míg a szubrutinok általában bonyolultabb feladatokat végeznek el, például tömbök kezelése, adatbázisok kezelése vagy külső fájlok írása.

A Fortran-ban az alprogramok használata különösen hasznos, ha többször is szükség van ugyanarra a számításra, mivel lehetővé teszi a kód újrafelhasználhatóságát és olvashatóságát.

A következő példában a függvények használatát láthatjuk:

fortran
Copy code
REAL FUNCTION F(X)
    REAL :: X
    F = X * COS(X - 3) + SIN(X**2)
END FUNCTION

Ezt a függvényt könnyedén felhasználhatjuk a programunk más részein, hogy gyorsan elvégezzük a szükséges számításokat, anélkül hogy minden egyes alkalommal újra implementálnánk.

Hogyan végezzünk görbefitneszt a legkisebb négyzetek módszerével?

A legkisebb négyzetek módszere a statisztikai adatfeldolgozás egyik alapvető eszköze, amelyet gyakran alkalmaznak a görbék illesztésére. Ezt a módszert használják annak meghatározására, hogy miként lehet a legjobban illeszteni egy adatpont-sorozathoz egy előre meghatározott matematikai modellt. A következő példán bemutatott eljárás logaritmikus modellekre vonatkozik, de a módszer más típusú modellekhez is alkalmazható, például exponenciális, polinomiális vagy trigonometrikus görbékhez.

Miután az adatok előkészítése megtörtént, a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazva kiszámítjuk a modell paramétereit. A számítás során a különböző összegeket kell kiszámítani: az x és y értékek összegét (sx és sy), az x^2 összegét (sxx) és az x * ty értékek összegét (sxy). Ezen mennyiségek alapján meghatározhatók a modell két paramétere, a és b, amelyek leírják a legjobb illesztést. Az egyenletek megoldásával a és b értékei kiszámíthatók, majd ezek alapján a modell egyenlete is felírható.

Az a és b paraméterek kiszámítása után a következő lépés a számított y-értékek (cy) meghatározása, amelyek azt mutatják, hogy a modell hogyan illeszkedik az eredeti adatponthoz. A modellel kapcsolatos további fontos információ a reziduálisok (v) számítása, amelyek megmutatják a modell hibáját, vagyis azt, hogy a számított értékek mennyire térnek el az eredeti adatoktól.

Fontos, hogy a legkisebb négyzetek módszere csak akkor ad megbízható eredményt, ha az adatok valóban megfelelnek a feltételezett modellnek. Ha az adatok nem követnek semmilyen konkrét matematikai formulát, akkor a modell illesztése nem lesz pontos, és a reziduálisok nagyok lesznek. A módszer jól alkalmazható, ha az adatok zajosak, és a modell jól tükrözi az adatokat.

A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazása során fontos megérteni, hogy az eredmények megbízhatósága nagymértékben függ az adatok minőségétől. Ha az adatok helytelenek vagy nem reprezentatívak, az illesztett görbe torzíthatja az eredményeket. Ezen kívül, amikor egy modellt illesztünk az adatokhoz, érdemes alaposan megvizsgálni, hogy a modell típusának kiválasztása megfelelő-e. Az exponenciális és logaritmikus modellek különböző típusú kapcsolatokat írhatnak le az adatok között, ezért a helyes modell kiválasztása alapvetően meghatározza az illesztés sikerességét.