A molekulák térbeli eloszlásának korábbi példájához hasonlóan rendkívül valószínűtlen, hogy minden molekula ugyanazzal a sebességvektorral rendelkezzen. Ekkor W = n!/n! = 1, ami egy nagyon kicsi szám; egy "egyenletesebb" eloszlás sokkal valószínűbb. Ezt az elvet, amelyet H-tételnek hívunk, később látni fogjuk, hogy ekvivalens azzal az állítással, miszerint az entrópia növekszik a spontán folyamatokban. Az állapot kérdése, amelyben a relatív valószínűség W maximális, a monoton növekvő logaritmus felvételekor ekvivalens a kifejezés maximumának megtalálásával: −ln[(n1w)!(n2w)!(n3w)! . . . .]. Stirling-féle közelítést alkalmazva ln n! = n ln n− n egyenletben, és figyelembe véve csak azokat a kifejezéseket, amelyek nem állandóak, az alábbi kifejezést kapjuk: ∑ .Ω = const − wni lnwni (4.14), amely Boltzmann permutációs mértékeként ismert, és Ω-vel jelölik. Egy monatomos gáz esetében vagy általánosan H-ként [113] jelölik. Az összegzés ∑ .S = − pi ln pi gyakran közvetlenül az statisztikai entrópia definíciójaként kerül bevezetésre, és messze túlmutat a termodinamikán; például, mivel Shannon [247] ezt az adatfeldolgozásban az információ tartalmának meghatározásaként használja.

Az ideális gáz atomjainak legvalószínűbb sebességeloszlásának megtalálása érdekében Boltzmann tehát megpróbálja meghatározni a niw eloszlását, amely maximalizálja Ω-t. Először a sebességi rács nagyon kicsi elemeire való határérték átmenet alkalmazásával, ahol w = dudvdw, ha a sebességi rács elemeit tetszőlegesen kicsivé tesszük, és ismét elhanyagoljuk az állandó mennyiségeket, az összeget integrálra válthatjuk, és a következő eredményt kapjuk: (.Ω = f (u, v,w) ln f (u, v,w)dudvdw (4.15). Az ezen a ponton történő átmenet a diszkrét sebességi eloszlásról a folytonos sebességi eloszlásra nagy jelentőséggel bír Boltzmann számára, mivel a klasszikus mechanikából egyedül nem igazolható, hogy csak diszkrét sebességértékek lehetségesek. Még nem tudhatta, hogy a kvantummechanika fejlődésével egy diszkrét, hat dimenziós fázistér, melynek térfogat egységeit Heisenberg bizonytalansági elve határozza meg ΔxΔp = h, fél évszázaddal később fizikai jelentőséggel bírna, bár Boltzmann statisztikai és diszkrét mechanikai folyamatok leírása alapvetően hozzájárult a kvantummechanika fejlődéséhez [248].

Boltzmann tehát variációs számítással keresi a f (u, v,w)-t, amely maximalizálja Ω-t. [111, 246], és a következő feltételezésekkel, hogy a részecskék száma n, és azok átlagos kinetikus energiája (vagy életereje) L, az alábbi eloszlást kapja, amelyet Maxwell [136] már korábban felfedezett: ⎾ ⏋ .f = ( N ) 3 exp −3m (u2 + v2 + w2) 4πT 2 4T V 3m. Ezt az eloszlást az Eq. 4.15-be helyettesítve Boltzmann meghatározhatja permutációs mértékének abszolút értékét, amely a következő értéket adja: ⎾ ( ) 3 ⏋ .Ω = 3N + 4πT 2 N ln V −N lnN 2 3m, ami az ideális monatomos gáz entrópiájával egyezik meg, konstansok elhanyagolásával, és kiszámítható a klasszikus termodinamikából 4 ( ( .S = dQ = N dT + p dV T T T, ha a pV = 2/3NT alkalmazásával a gázok ideális állapotára.

A klasszikus termodinamikából az alábbi kifejezést kapjuk: ( .S = dQ = 2 3 2 N ln(VT 2 ) + C = Ω. T 3 3. Ez az összefüggés először hidalja át a permutációs mértéket a statisztikai fizikában és az entrópiát a klasszikus termodinamikában, és alternatív megközelítéseket biztosít számos termodinamikai kérdéshez. Mindazonáltal Boltzmannnak kezdetben védekeznie kellett elméletével szemben, számos ellenvetéssel szemben. A legismertebb talán a Loschmidt által tett visszafordíthatósági ellenvetés, aki az atomos gáz mechanikai egyenleteinek idő szimmetriájával érvelt, miszerint minden mozgás—mint például amikor egy gáz beáramlik egy szobába—az is fizikailag megfigyelhető kell, hogy legyen visszafelé, ami azt jelenti, hogy a permutációs mérték (vagy entrópia) csökkenne. Boltzmann ezt az érvet úgy válaszolta meg (pl. a 42. oldalon [113]), hogy bár ez nem alapvetően kizárt, rendkívül valószínűtlen, mivel minden molekulának pontosan meghatározott módon kellene ütköznie másokkal. Természetesen ennek a valószínűsége a rendszer méretétől függ; nagyon kis rendszerek (például egyetlen fehérje kibontásának tanulmányozása esetén) esetén az entrópia csökkenését lehetővé tevő folyamatok előfordulhatnak. Ahogy később, a 7. fejezet 5.3.2-es szakaszában látni fogjuk, a mai fluktuációs tételek lehetővé teszik az entrópia-csökkentő folyamatok valószínűségének előrejelzését.

Az entrópia statisztikai leírását most már más rendszerekre is alkalmazni lehet, nem csupán gázokra, mint például a polimerekre, mint a DNS, gumi, műanyagok vagy aminosav láncok. A 1930-as években Werner Kuhn volt az első, aki Boltzmann entrópia fogalmát alkalmazta a hosszú, fonalszerű polipeptidláncok különböző állapotaira, és kiszámította a megfelelő entrópiát és az ilyen molekulák összecsavarodott alakját oldatokban [249]. Ez a publikáció egyben szemléletes bevezetést is ad az egy dimenziós véletlen lánc entrópiájába, ahogy azt korábban leírtuk.

Hogyan határozza meg a hidrolyzist és a polimerek depolimerezációját a mikrotubulusok dinamikája?

A polimerek depolimerezációjának gyakori, hirtelen változásait a mikrotubulusok dinamikájával kapcsolatban az egyik legérdekesebb kérdés, amely szoros kapcsolatban áll a biokémiai és mechanikai kölcsönhatásokkal. Az egyenlet, amelyet analitikusan meg lehet oldani, a következő formában átalakítható: ∂²P = − ∂/∂x² P + D ∂P/∂x − rₓ P. A kifejezés bal- és jobb oldalán az x-től ∞-ig terjedő integrálok találhatók, és bevezetésre kerül egy új függvény, P = ∫ₓ∞ p(x, t). Az így kapott differenciálegyenlet p'' + xp = γ² formájú, amelynek megoldása ismert a kvantummechanika területéről, különösen az egydimenziós potenciálkúpból, ahol az energia lineárisan növekvő. A matematikailag összetett, de elegáns megoldásokat [569] és [570] adja, amelyeken keresztül az Airy-függvény kifejezi a valószínűségi eloszlás x függőségét, míg a Poisson-eloszlás a P(t) időbeli függőségét.

A leírás lehetővé teszi a hirtelen depolimerezációs kataklizmák gyakoriságának meghatározását, mind normál polimerezációs körülmények között, mind pedig hígítási kísérletek után. Az első megközelítésben a modell viszonylag jól illeszkedik a kísérleti adatokhoz, mint az ábrán (5.64) látható. Két évvel később a szerzők finomították a modell illeszkedését, ugyanazzal a megközelítéssel és pontosabb kísérleti paraméterekkel [570]. A későbbi, kiterjedtebb mérések [567] arra mutatnak, hogy a modell, bár jól alkalmazható, tovább fejleszthető. Különösen ígéretes a többállapotos modell, amely többféle átmenetet foglal magában a hidrolyzis leírására, nem csupán egyetlen, állandó sebességű lépést.

A modell egyik legfontosabb kiterjesztése, hogy nemcsak egyetlen lépésben, hanem több átmeneti fázisban történik a hidrolyzis, amelyet szépen kifejtettek a legújabb publikációk [568]. Az eredmények azt mutatják, hogy a mikrotubulusok dinamikája több különböző mechanikai és biokémiai kölcsönhatás hatására alakul ki, és a mikrotubulusokkal kapcsolatos fehérjék (MAP-ok) szerepe ebben kiemelt jelentőséggel bír.

Emellett figyelembe kell venni a polimerezációs sebesség és az erő közötti kapcsolatot is, amely kísérletileg meghatározható azáltal, hogy mikrotubulusok egy merev falnak ütköznek és ott polimerizálódnak [571]. Ezzel kiszámítható elméletileg a mikrotubulusok polimerezációjának és kataklizmás sebességének erőfüggése [572]. A mikrotubulusok és a mechanikusan befolyásolt biokémia kölcsönhatása tehát továbbra is izgalmas biofizikai kutatásokat indít, amely az egyik legfontosabb kutatási területe lesz a jövőben [573]. Különösen érdekes, hogy a közelmúltban olyan kis mikrotubulus-szerű struktúrákat találtak baktériumokban, amelyek képesek kataklizmás depolimerezációra, hasonlóan az eukarióta mikrotubulusokhoz [574].

Az eukarióta sejtekben a mikrotubulusok szerepe a sejtosztódásban, amely a rákban abnormálisan megnövekszik, lehetővé teszi, hogy a mikrotubulusokat és a hozzájuk kapcsolódó fehérjéket sikeresen alkalmazzák különböző kemoterápiás szerek célpontjaiként [575]. Ugyanakkor különböző ráksejtek képesek módosítani a mikrotubulus dinamikájának szabályozását, így kevésbé lesznek érzékenyek egyes kemoterápiás szerekkel szemben [576].

A mikrotubulusok dinamikájának alapvető megértése és a különböző modellek finomítása tehát kulcsfontosságú szerepet játszik abban, hogy pontosabban előrejelezzük a mikrotubulusok viselkedését különböző biológiai rendszerekben, és hozzájáruljon a fejlettebb kemoterápiás kezelési módok kifejlesztéséhez.

Hogyan vált Donald Trump az első médiagyártotta elnökké?
Hogyan segíti a digitális iker a hibadiagnosztikát a hidraulikus rendszerekben?
Miért a patriotizmus politikai eszközként való használata az Egyesült Államokban a Republikánusok előnyét szolgálja?
Hogyan alkalmazzuk a Kronecker-szorzatot és a tenzorszorzatot a lineáris algebrai problémákban?
A határokon alkalmazott kényszer és a migráció jogai
A Kerr téridő szingularitásainak és eseményhorizontjainak vizsgálata