Hogyan határozzuk meg a valódiságot az elsőrendű logikában?

Az elsőrendű logikában a valódiság fogalmának meghatározása jelentősen bonyolultabb, mint a propozicionális logikában. Míg a propozicionális logikában a formulák logikai szimbólumokat használnak (¬, ∨, ∧, →, ↔), amelyeknek fix jelentésük van, és a változók értékei csak két lehetséges értékre korlátozódnak, addig az elsőrendű logikában a formulák a fenti logikai szimbólumok mellett az egyenlőség jelet (=) is tartalmazzák, és a változók a valóság különböző objektumai fölött értelmezhetőek. Mielőtt tehát egy elsőrendű formula valódiságát meghatározhatnánk, először is meg kell határoznunk az objektumok halmazát, amelyeken a változók értelmezve lesznek, és az összes állandó, függvény és predikátum szimbólumhoz rendelt értékeket.

A struktúrák definíciója A. Tarski híres 1933-as munkájáig vezethető vissza, ahol a valódiságot egy három lépésből álló folyamatban definiálta. Először is, definiálni kell a kifejezések értékeit mint objektumokat az egyedek tartományában. Ehhez az interpretációkat és a változók valamint az állandó szimbólumok hozzárendelt értékeit használjuk. Másodszor, szükséges az atomformulák valódiságának meghatározása, ami a predikátum szimbólumok értelmezésén alapul. Harmadszor, egy rekurzív definíció segítségével meghatározhatjuk az általános formula valódiságát a logikai összekötők hagyományos jelentései segítségével.

A „struktúra” fogalma tehát kulcsfontosságú a valódiság meghatározásához. A struktúra, vagy modell a következőkből áll:

• Egy nem üres halmaz, amelyet az A univerzumának hívunk, és amely tartalmazza azokat az objektumokat, amelyeken a változók értelmezve vannak.

• Minden állandó szimbólumhoz rendelünk egy objektumot az univerzumból.

• Minden k-áris predikátum szimbólumhoz rendelünk egy k-tuplet az univerzumból.

• Minden k-áris függvény szimbólumhoz rendelünk egy függvény értelmezést, amely az univerzum egy részhalmazán végzett műveleteket tartalmaz.

Mindezek az információk lehetővé teszik, hogy a kifejezéseket értelmezzük az adott struktúrában, és így meghatározzuk azok valódiságát.

A valódiság meghatározása során figyelembe kell venni, hogy a szintaxis és a jelentés közötti kapcsolat is alapvető. A megfelelő szintaktikai formák biztosítják, hogy az interpretációk és azok műveletei egységesen és következetesen használhatók legyenek, amit a logikai kapcsolók helyes alkalmazása garantál. A valódiság tehát nem csupán egy statikus elméleti fogalom, hanem egy dinamikus és struktúrált módon alkalmazott eszköz, amely lehetővé teszi, hogy az egyes logikai kifejezéseket az adott világban helyesen értelmezzük és használjuk.

A különböző típusú struktúrák példái, mint például a számelméletben használt N (a nemnegatív egész számok halmaza), vagy a Z (az összes egész szám halmaza), kiemelik, hogy ugyanazok a formulák más-más struktúrákban különböző igazságtartalmúak lehetnek. A különböző struktúrák közötti különbségek alapvetőek lehetnek, ha például a csoportelmélet vagy más algebrai rendszerek logikai jellemzőit vizsgáljuk. Például, ha az LPA (arimmetikai nyelv) használatában két különböző struktúrát veszünk, akkor azok eltérő eredményeket adhatnak, még ha az alapul vett formulák azonosak is.

A strukturák világos és precíz meghatározása lehetővé teszi, hogy ne csupán elméleti szinten beszéljünk a logikai formulák valódiságáról, hanem gyakorlati alkalmazásokat is kiépíthessünk, legyen szó matematikai rendszerekről vagy más formális logikai rendszerekről.

Hogyan definiálhatók objektumok és függvények egy struktúrában?

A definíciók fontossága a matematikai logikában és modellelméletben kiemelkedő szerepet játszik. Egy objektum, függvény vagy predikátum definíciója egy struktúrában az adott matematikai struktúra elemeit és kapcsolatait határozza meg, lehetővé téve, hogy egy adott struktúrában más fogalmakat is bevezessünk. Ez a folyamat nem csupán alapvető eszközként szolgál a matematikai elméletek kibővítésére, hanem a struktúrák közötti kapcsolatokat is világosan meghatározza.

Az objektumok és függvények definíciója a logikai formulák segítségével történik, amelyek az adott objektumra vagy függvényre vonatkozó tulajdonságokat rögzítenek. Mielőtt részletesebben megvizsgálnánk, hogyan történik az ilyen definíciók megadása, fontos megérteni, hogy mit jelent az, hogy egy objektum, predikátum vagy függvény definálható egy adott struktúrában.

Ha egy függvényt szeretnénk definiálni, akkor egy hasonló megközelítést alkalmazunk. A függvény definíciója egy olyan formula segítségével történik, amely meghatározza annak értelmét az adott struktúrában. Például, ha a természetes számok halmazán szeretnénk definiálni a négyzetgyök függvényt, akkor az alábbi formulával tehetjük azt meg: $x_2 \cdot x_2 \leq x_1 \land x_1 < S(x_2) \cdot S(x_2)$. Ez azt jelenti, hogy a négyzetgyök olyan szám, amely a négyzetével kisebb vagy egyenlő az adott számnál, és a négyzete a következő szám négyzeténél kisebb.

A definíciók segítségével nemcsak egyedi objektumokat, hanem új függvényeket és predikátumokat is bevezethetünk egy struktúrába. Az ilyen definíciók biztosítják, hogy az új fogalmak bevezetése nem változtatja meg a meglévő struktúrák lényegi tulajdonságait, csupán kiegészíti azokat. Az új fogalmak bevezetése mindig "konzervatív", mivel nem növeli meg a struktúra erejét, hanem csupán finomítja a meglévő relációk és funkciók értelmezését.

Amikor egy függvényt definiálunk egy elméletben, fontos biztosítani, hogy a definíció megfeleljen a teljes és egyedülálló feltételeknek. A teljesítmény biztosítja, hogy minden bemenethez egyértelmű kimenet tartozik, míg az egyedülállóság feltétele garantálja, hogy nincs két különböző kimenet egy adott bemenethez. Az ilyen függvények definícióját a következőképpen fejezhetjük ki: $\forall x_1 \dots \forall x_n \exists! x_{n+1} B(x_1, \dots, x_n, x_{n+1})$. Ez a forma biztosítja, hogy minden bemeneti értékhez pontosan egy kimenet tartozik.

A definíciók kulcsfontosságúak a matematikai logika és a modellelmélet fejlődésében, mivel lehetővé teszik a bonyolultabb fogalmak bevezetését és a meglévő struktúrák újragondolását anélkül, hogy azok alapvető tulajdonságai megváltoznának. Az új definíciók révén a matematikai modellek rugalmasan bővíthetők, és a logikai következtetések pontosabbá és átláthatóbbá válhatnak.

Hogyan lehet Turing-gépek kódolásával és sokszalagos Turing-gépekkel számításokat végezni?

A Turing-gépek alapvető szerepe a számításteoriában abban rejlik, hogy minden algoritmus, amely megoldható a számítógép segítségével, lényegében leírható egy Turing-gép működésével. Azonban a Turing-gépek konfigurációja és működési elve is rugalmas, lehetővé téve számukra, hogy különféle formátumokban és különböző bemenetekkel végezzenek el számításokat. A Turing-gépek e rugalmasságát egyes konstrukciók segítségével különböző típusú gépekké alakíthatjuk át, amelyek képesek más formátumú adatok kezelésére vagy akár más típusú gépek emulálására.

Egy másik érdekes lehetőség, hogy a Turing-gépeket olyan módon is korlátozhatjuk, hogy azok csak a {1, #} ábécét használják. Ilyen típusú gépek gyakran úgy vannak elképzelve, hogy nem negatív egész számokon dolgoznak. Az input vagy output sorozatok, mint például 1^n, az n egész számot reprezentálják. Az elmélet szerint bármely olyan Turing-gép, amely {1} ábécét használ, szimulálható egy olyan Turing-géppel, amely a {1,#} ábécét használja. Ez gyakorlatilag ugyanúgy történik, mint az előző konstrukció, ahol a kódszavak 0 és 1 helyett a # és 1 szimbólumokat használják.

A Turing-gépek ezen lehetőségei kulcsfontosságúak, amikor a számítási elméletben különféle predikátumok és függvények számíthatóságát vagy eldönthetőségét vizsgáljuk. Az ezen alapuló tétel azt mondja ki, hogy ha egy k-ary predikátum eldönthető, akkor létezik olyan Turing-gép, amely ezt a predikátumot eldönti a bemenetek unary kódolásával. Hasonlóképpen, ha egy k-ary függvény számítható, akkor létezik olyan Turing-gép, amely ezt a függvényt számítja ki a bemeneti és kimeneti értékek unary kódolásával.

Fontos hangsúlyozni, hogy a számításteoriában a számíthatóság és az eldönthetőség nem függ attól, hogy az egész számokat bináris vagy unary kódolásban reprezentáljuk. A Turing-gépek a bináris és az unary kódolás között könnyen konvertálhatók, így a fenti tétel segíthet abban, hogy bármely eldönthető predikátum vagy számítható függvény kezelhető legyen Turing-gépek segítségével.

Ez a rugalmasság azt is lehetővé teszi, hogy Turing-gépek képesek legyenek egymás Gödel-számait manipulálni és számításokat végezni ezen kódok alapján. Ez az ötlet kulcsfontosságú, ha önreferenciális algoritmusokat vagy bonyolultabb logikai konstrukciókat kívánunk létrehozni, amelyek a Turing-gépeken alapulnak. A Turing-gépek kódolásának manipulálhatósága tehát egy új dimenziót nyit a számítási elméletekben, ahol a Turing-gép szintjén végzett műveletek lehetővé teszik a gépek közötti kölcsönhatásokat és azok összetettebb viselkedéseinek leírását.

Milyen módon reprezentálhatók a relációk és függvények a Robinson-aritmetikában?

A reprezentálhatóság fogalma alapvető szerepet játszik a formális aritmetikai elméletek struktúrájának és kifejezőerejének megértésében. Az R elmélet — vagyis a Robinson-aritmetika — olyan minimális axiomarendszert jelent, amely elegendő bizonyos számelméleti relációk és függvények reprezentálásához, még ha nem is elégséges a teljes Peano-aritmetika erősségéhez. A reláció vagy függvény reprezentálhatósága azt jelenti, hogy létezik egy formula a formális nyelvben, amely a természetes számokra vonatkozó viselkedésüket pontosan tükrözi. Ez a fogalom a meta-matematikai objektumok formális világba való leképezésének egyik legfontosabb eszköze.

A kisebb-egyenlő reláció (x ≤ y) formalizálása már egy fokkal összetettebb. Az A≤(x, y) formulával, ahol A≤(x, y) := ∃z(z + x = y), azt kívánjuk kifejezni, hogy létezik olyan z, amelynek hozzáadásával x-ből y-t kapunk. A reprezentálhatóság bizonyításához két feltételnek kell teljesülnie: (a) minden m ≤ n esetén R ⊢ m ≤ n, illetve (b) minden m > n esetén R ⊢ ¬(m ≤ n). Az első állítás igazolható a VII.11 tétel egyik részével, míg a második a következő módon vezethető le: ha m > n, akkor R⊢ m ≠ m′ minden olyan m′ ≤ n esetén. Ez alapján következik, hogy R⊢ ¬(m ≤ n).

A függvények esetében a reprezentálhatóság definíciója még szigorúbb. Egy k-változós függvény f reprezentálható egy elméletben T, ha létezik egy formula Af(x₁, ..., xk, y), amely minden n₁, ..., nk ∈ ℕ esetén és m = f(n₁, ..., nk) mellett teljesíti, hogy T ⊢ ∀y (Af(n₁, ..., nk, y) ↔ y = m). Ez azt jelenti, hogy az Af formula pontosan akkor igaz, ha y megegyezik a függvényértékkel.

Néhány egyszerű példa mutatja, hogyan működik ez a gyakorlatban. Az utódfüggvény, amely n-t n+1-re képez le, az S(x) = y formulával reprezentálható. Ezt az igazolás az egyenlőség axiómákból következik: S(n) és n+1 azonos alakkal rendelkeznek. Az összeadás x₁ + x₂ = y és a szorzás x₁ ⋅ x₂ = y formulák segítségével reprezentálhatók, hasonló logikával: R képes bizonyítani az azonos értékeket és kizárni a téveseket.

Ha T ⊇ R, és T egy konzisztens elmélet, akkor ha egy reláció vagy függvény reprezentálható T-ben, az pontosan akkor igaz, ha a megfelelő formula is igaz, és hamis, ha annak negáltja bizonyítható. Ez közvetlen következménye a reprezentálhatóság definíciójának. Ebből következik, hogy ha valami reprezentálható R-ben, akkor az T-ben is reprezentálható minden T ⊇ R esetén. Ez lehetővé teszi a reprezentálás átvitelét erősebb rendszerekbe.

A reprezentációk hatékonysága szempontjából kritikus, hogy az R elmélet — noha nagyon gyenge axiomatikus rendszer — elégséges ahhoz, hogy minden Turing-kiszámítható függvényt és Turing-dönthető relációt reprezentálni lehessen benne. Ez az összefüggés képezi a Gödel-féle első nemtelj

Hogyan definiálhatók a Gödel-számok a formális rendszerekben és miért fontosak?

A Gödel-számok egy alapvető eszközként jelennek meg a formális rendszerek logikai struktúráinak kezelésében, és lehetővé teszik számítógépes algoritmusok számára a matematikai kifejezések manipulálását. A Gödel-számok meghatározása, különösen, ha a {0,1} bináris alfabetikus szimbólumait használjuk, lehetőséget ad arra, hogy az egyes kifejezéseket és bizonyításokat formálisan és algoritmikusan kezeljük. A következőkben egy lehetséges módját mutatjuk be a Gödel-számok alkalmazásának a PA (Peano-aritmetikai) elsőrendű nyelvben, amely lehetővé teszi a számításokban való további alkalmazásokat.

A karakterláncok bináris számokká alakításához egy rögzített hosszúságú, 4 bites bináris kódolást alkalmazunk, amely minden szimbólumot egyedi 4 bites kóddal reprezentál. Például a "¬" szimbólumot a "0001" kóddal, a "→" szimbólumot a "0010" kóddal kódoljuk. Egy formula, mint például a "x2 = 0", így a karakterlánc ∆∗ formájában "x10/=0"-ként kódolódik, amely a bináris "0110 1000 0111 1101 1001" számmá alakul. Ez a szám a Gödel-szám, amely a "x2 = 0" kifejezés numerikus reprezentációja.

Ez a kódolási módszer lehetővé teszi, hogy a kifejezések Gödel-számait algoritmusok (például Turing-gépek) segítségével hatékonyan manipuláljuk és elemezzük. A Gödel-számokkal kapcsolatos legfontosabb tulajdonság, hogy léteznek algoritmusok, amelyek képesek felismerni és elemezni a PA-ban megjelenő kifejezésekhez tartozó Gödel-számokat. Ez azt jelenti, hogy a PA kifejezéseihez tartozó Gödel-számok dönthetők, azaz létezik algoritmus, amely képes eldönteni, hogy egy adott szám megfelel-e egy PA-ban szereplő kifejezés Gödel-számának.

Ezen kívül különféle számítható függvények is léteznek, amelyek a Gödel-számokkal dolgoznak. Például a "Sub" nevű függvény, amely egy formula, egy változó és egy kifejezés Gödel-számait veszi inputként, és egy új Gödel-számot ad vissza, amely a formula változójának adott kifejezéssel való helyettesítését reprezentálja. Továbbá, a "Num" függvény is elérhető, amely egy számot konvertál a megfelelő Gödel-szám formájába. A "Proof T" és "Prf T" függvények, amelyek a valid T-érvek és az azokhoz tartozó kifejezések Gödel-számait kezelik, szintén fontos szerepet játszanak az algoritmusok hatékony működésében.

Mindezek a számítható függvények és algoritmusok alapvető fontosságúak, mert lehetővé teszik a matematikai logikai rendszerek formális, mechanikus kezelését, és biztosítják, hogy minden egyes lépés pontosan nyomon követhető és ellenőrizhető legyen. Azonban, míg egyes fogalmak, mint a "valid proof" vagy a "decidable relations" jól kezelhetők és kiszámíthatók, mások, mint a "theorem set" vagy a "Gödel number of a valid proof" esetében a dönthetőség nem garantálható. Például egy axiomatizálható elmélet érvényes bizonyításainak halmaza nem feltétlenül dönthető el, és csak számíthatóan felsorolható.

Ez a megközelítés lehetőséget ad arra, hogy megértsük a formális rendszerek logikai struktúráját és azok működését a számítógépes algoritmusok szintjén. Fontos azonban, hogy a Gödel-számokkal végzett számítások során is szem előtt tartsuk a rendszerek alapvető határait, mint például a dönthetetlenség kérdése, amely a számítástechnika és a logikai rendszerek közötti kapcsolatot befolyásolja. A következő szakaszokban azt is látni fogjuk, hogy a valódi aritmetikai elméletek, mint a PA kiterjesztései, nemcsak a számíthatóság határain, hanem az igazi matematikai igazságok megértésében is korlátokkal szembesülnek.