A kvantummechanika világában az energia, az impulzus és a hullámhossz közötti kapcsolatok gyakran ellentétben állnak az intuícióval. A klasszikus fizikában azt feltételezhetjük, hogy bármilyen mérést végezhetünk, anélkül hogy azok zavarnák egymást. A kvantumfizikában azonban, amikor konjugált változókat mérünk, az Heisenberg-féle bizonytalansági elv miatt probléma adódik, amely határozza meg, hogy milyen mértékben mérhetjük meg egy-egy változó értékét. Ezt az elvet alkalmazva, az energia és a hullámhossz közötti kapcsolatot is megértettük, például a harmonikus oszcillátor nullponti energiájában, ami a hν/2 formában jelentkezik.

A konjugált változók definíciójában az első dolog, amit észlelünk, hogy a változók szorzata az energia és az idő mértékegységét adja. Ez felveti a kérdést: vajon az energia és az idő is konjugált változók? Igen, valóban így van. Az előzőekben említett páros, mely talán ismertebb, a hely és az impulzus: a hely, amelyet az adott dimenzió mentén határozunk meg, és az impulzus, ami az adott dimenzió mentén a hely változását reprezentálja. Ha a helyet méterben, az impulzust pedig kg·m/s-ban mérjük, akkor az eredő szorzat valóban energia × idő egységet ad: kg·m²/s = energia × idő.

A Heisenberg-féle elvet szemléltetve vegyük például egy részecske helyének mérését mikroszkóppal, amely fényt használ. A mikroszkóp felbontása nem jobb, mint a fény hullámhossza egy negyede. Ez meghatározza a hely meghatározásában mutatkozó bizonytalanságot (∆x). Azonban, mint láttuk, a fénynek van energiája, így impulzusa is van. Az impulzus mértéke h/λ, ami azt jelenti, hogy a foton által a részecskének adott impulzus nagysága is változó, a legnagyobb érték h/λ. Ebből következően a hely és impulzus közötti szorzat ∆x∆p ≈ h/4, ha a ∆p merőleges a ∆x-re.

Azonban, ha egyre rövidebb hullámhosszokat próbálunk alkalmazni a térbeli felbontás javítására, akkor az impulzus bizonytalansága arányosan nő. A kvantummechanikában egyfajta szimmetria van a részecskék és a hullámok között: ha a fényhullámnak impulzusa lehet, miért ne lehetne a részecskéknek is hullámhossza? Louis de Broglie javasolta, hogy a részecskéknek is lehet hullámhossza, ami p = h/λ formában kifejezhető, és ezt kísérletileg is igazolták Davisson és Germer munkájával, akik az elektronok hullám természetét mutatták be.

A hullámhossz egy elektron esetében az impulzusával arányos, és minél kisebb a részecske tömege és sebessége, annál nagyobb a hullámhossza. Az elektron esetében, amely a szobahőmérsékletnél kb. 4 × 10–21 J hőenergiával rendelkezik, az impulzus p ≈ 10–25 kg·m/s, és így λ ≈ 6 nm, ami sokkal nagyobb, mint egy atom. Ugyanezt elvégezve egy proton esetén, amely 1800-szor nehezebb, és ugyanekkora energiát visel, az eredmény λ ≈ 0.15 nm lesz, ami már az atom méretével is közel esik.

A részecskék valóban elterjednek a kvantummechanikában, és minél kisebb a tömegük és minél nagyobb a sebességük, annál inkább hullámszerűek. Azonban fontos észben tartani, hogy bár a kvantummechanikai jelenségek az atomos és molekuláris szinten kulcsfontosságúak, a mindennapi, makroszkopikus tárgyak, mint egy autó, nem mutatják ugyanazokat a viselkedési jellemzőket. Az autó hullámhossza olyan parányi, hogy az gyakorlatilag megfigyelhetetlen a kvantummechanikai hatások szempontjából. Például egy autó, amely 2000 kg tömegű és 75 km/h sebességgel halad, hullámhossza λ ≈ 10–30 m, ami rendkívül kicsi ahhoz, hogy bármilyen kvantummechanikai hatásokat vizsgálhassunk vele.

Ezeket a különbségeket fontos megérteni, mivel a kvantummechanika világában a részecskék viselkedése alapvetően különbözik a klasszikus mechanikai törvényektől, és csak atomos vagy molekuláris szinten válik észlelhetővé. Ha a részecskék sebessége nagyobb, mint a szokásos, akkor a hullámhossz jelentős mértékben csökken. Ez az alapvető különbség abban rejlik, hogy mi tekinthető "makroszkopikus" és mi "mikroszkopikus" világként, és hogyan kell értelmeznünk a hullámrészecske dualizmust.

A kémiai kötések energiahatárainak mérséklődése a kvantummechanikában figyelembe kell, hogy vegye a lemezkötések közötti távolságot is, mivel az elektronok terjedése közvetlen hatással van a gerjesztési energiákra. Az atomon belüli elektronok közötti átmenetek gyakran az ultraibolya tartományba esnek, míg az elektronok a magtól távolabb kerülve kisebb energiát igényelnek, és ezáltal az átmenetek az alacsonyabb energia- tartományba csökkennek. Az apróbb molekulák, amelyek konjugált kettős kötésekben léteznek, a látható fényben is absorbálhatnak. A molekulák méretének növekedésével a szintek közötti távolságok csökkennek, ami más típusú energiaátmeneteket eredményez, amelyeket az infravörös tartományban figyelhetünk meg.

Hogyan határozzuk meg a fotonok energiáját és a fotoelektromos effektust?

A foton energiájának meghatározása egyszerű matematikai lépéseken keresztül lehetséges. A foton energiáját az E=hνE = h \nu képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol hh a Planck-állandó, amelynek értéke 6.626×10−346.626 \times 10^{ -34} J·s, ν\nu pedig a foton frekvenciája. Ha például egy foton frekvenciája 8.51×10148.51 \times 10^{14} Hz, akkor a foton energiáját a következőképpen számíthatjuk ki:

E=(6.626×10−34)×(8.51×1014)=5.64×10−19 J/fotonE = (6.626 \times 10^{ -34}) \times (8.51 \times 10^{14}) = 5.64 \times 10^{ -19} \, \text{J/foton}

A második fontos tényező, amit figyelembe kell venni, a másodpercenként érkező energia mennyisége. Az adott esetben, ha a fotonok másodpercenként 1.79 × 10<sup>–18</sup> J energiát hoznak, akkor a fotonok száma, amit a rendszer másodpercenként képes elnyelni, a következő módon számítható ki:

Fotonok szaˊma/maˊsodperc=1.79×10−185.64×10−19≈3.17 foton/maˊsodperc\text{Fotonok száma/másodperc} = \frac{1.79 \times 10^{ -18}}{5.64 \times 10^{ -19}} \approx 3.17 \, \text{foton/másodperc}

Ez az érték egy átlagos mérés eredménye, és természetesen nem szükséges egész számnak lennie, mivel hosszabb időszakokban az energia eloszlása is folyamatosan változhat.

A fenti számítások csak egy egyszerűsített megközelítést jelentenek. Az ilyen típusú problémák megoldása során az alapprobléma gyors becslése nagyon hasznos lehet, mivel segít abban, hogy az értékek helyességét gyorsan ellenőrizhessük. Az ilyen becslések hasznosak lehetnek, például asztronómiai megfigyelések során, amikor a fény gyenge, és a fotonok száma másodpercenként rendkívül alacsony lehet.

A fotoelektromos hatás megértése szintén fontos az atomfizikai jelenségek és a kvantummechanika területén. A fotoelektromos jelenség akkor következik be, amikor egy fémet fény éri, és a fotonok energiája elég magas ahhoz, hogy elektronokat lökjön ki az anyagból. Az ejected elektron kinetikus energiáját a következő képlet határozza meg:

Ekinetikus=hν−φE_{\text{kinetikus}} = h \nu - \varphi

Ahol ν\nu a fény frekvenciája, hh a Planck-állandó, és φ\varphi a fém munkafunkciója. Ha a foton energiája meghaladja a fém munkafunkcióját, akkor elektronok szabadulnak fel, és ezek az elektronok egyfajta mozgási energiával rendelkeznek. Ha például a magnézium munkafunkciója 3.67 eV3.67 \, \text{eV}, és a fény hullámhossza 180.3 nm180.3 \, \text{nm}, akkor a következőket kérhetjük:

  1. Kihullanak-e az elektronok?

  2. Mekkora lesz az elektronok kinetikus energiája?

  3. Milyen lesz az elektronok de Broglie hullámhossza?

A válaszok megértéséhez először az energiákat kell ugyanabban az egységben kezelni. Az ilyen számítások elvégzésekor érdemes észben tartani, hogy a gyakorlati alkalmazásokban a pontos számítások mellett az egyszerűsített közelítések is nagy segítséget nyújtanak a gyors ellenőrzéshez.

Például, ha a foton energiája meghaladja a munkafunkciót, akkor a kibocsátott elektronok energiája hozzávetőlegesen 3.5 eV3.5 \, \text{eV} lesz, ami megfelelően megfelel a becsült értékeknek. A de Broglie hullámhossz meghatározása egyszerű matematikai műveletekkel történhet, és az elektron impulzusának kiszámítása is egy jó gyakorlat arra, hogy biztosítsuk az eredmények helyességét.

A bohr-atom modellje is fontos szerepet játszik az atomok kvantummechanikai viselkedésének megértésében. Az 1911-es évben Niels Bohr dolgozta ki a hidrogénatom spektrumát, ami az egyik első erős bizonyíték volt arra, hogy a kvantummechanika alapvető szerepet játszik az atomfizikai jelenségek magyarázatában. A Bohr-modellben az energiaátmeneteket szigorú kvantált szintek jellemzik, és az átmenetek energiáját a következő képlettel számíthatjuk ki:

E=R(1n22−1n12)E = R \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)

Ahol RR a Rydberg-állandó, n1n_1 és n2n_2 pedig a két energiaállapot. Az átmenetek az ultraviolens fény spektrumába esnek, de ha az átmenet az n=2n=2 szintről történik, akkor az látható fényben történik. Ezért az atomok elektronjainak mozgása és a fotonok elnyelése vagy kibocsátása rendkívül hasznos információkat nyújt a kvantummechanikai rendszerek működésének megértésében.

A látható fény tartományában a hidrogénatom spektrumát a Balmer-sorozat jellemzi, amelyben az átmenetek n=2n=2-ről magasabb szintekre történnek. Az ezen szintekhez tartozó energiaértékek a látható fény spektrumába esnek, és segítenek megérteni a színképek kialakulását, például a vörös, zöld vagy kék színek megjelenését.

Bár a Bohr-modell sokkal egyszerűbb, mint a későbbi kvantummechanikai megközelítések, jelentős mérföldkő volt a fizika fejlődésében. A kvantummechanika alapjainak megértése, valamint az olyan fizikai jelenségek, mint a fotoelektromos hatás vagy a hidrogénatom spektrumának magyarázata, kulcsfontosságúak a modern fizikai elméletek és alkalmazások szempontjából.

Miért elkerülhetetlenek a shell crossing-ek a Ruban modellben?
Miért fontos a Starlink internet szolgáltatás indítása Indiában?
Hogyan örökíthetjük meg a fény és árnyék drámai táncát?
Miért a félelem és a propagandák irányítják a modern politikát?
Miért volt Marcus Aurelius az ellentéte Lucius Verusnak, és hogyan vált Commodus a Római Birodalom egyik legrosszabb császárává?