A manifolds közötti leképezések és tenzorok átalakításának témaköre alapvetően fontos része a differenciálgeometriának, amely különösen az elméleti fizika, például a relativitáselmélet és a szálak elméletében, valamint a geometriai topológiai kutatásokban található alkalmazásokban nyújt kulcsfontosságú eszközöket. A manifolds között végzett leképezések segítenek megérteni, hogyan lehet átvinni a geometriai struktúrákat és más matematikai objektumokat egyik térbeli rendszerből egy másikba. Az ilyen típusú leképezésekkel kapcsolatos vizsgálatok során egy alapvető matematikai fogalom, az antiszimmetrizálás is szóba kerülhet, amely a tenzorok viselkedését befolyásolja, különösen, ha a manifolds dimenziója meghaladja a leképezés dimenzióját.

A manifolds közötti leképezések a koordináta-rendszerekkel kapcsolatos alapvető kérdéseket is felvetnek. Két tetszőleges, differenciálható manifoldot, Mn-t és Pm-t tekinthetünk, amelyek dimenziói n és m, és az egyes manifoldeken egy-egy koordináta-rendszert {xα} és {ya} rendelhetünk hozzá. Az F : Mn → Pm leképezés az egyik manifoldot (Mn) a másikra (Pm) viszi, és ezekhez a leképezésekhez C1 típusú leképezéseket rendelhetünk, amelyek általában a folytonosan differenciálható leképezések, azaz olyan függvények, amelyek a megfelelő dimenziójú manifoldeken végbemennek. Azonban a manifolds közötti leképezés fogalma bonyolultabb annál, hogy pusztán a koordináták átvitelét tekintsük. A leképezés nemcsak a manifoldeken lévő pontokat, hanem a különböző típusú matematikai objektumokat is átvitelheti, mint például a függvényeket, vektorokat vagy formákat.

Egy másik fontos szempont, amelyet a manifolds közötti leképezés során figyelembe kell venni, a tenzorok viselkedése, amelyek a leképezés során különböző módon átalakulnak. Amikor egy függvényt Pm-ről Mn-re, vagy egy vektort vektorrá alakítunk a két manifold között, az általános konvenciók és szabályok szerint a leképezéseket úgy kell tekinteni, mint az adott objektumok átvitelét a manifoldeken. Az ilyen típusú átalakítások legjobb módja a pullback és pushforward operátorok használata, amelyek segítségével a vektorok és a formák, illetve más tenzor típusú objektumok átvitele az egyik manifoldról a másikra realizálható.

A pullback operátorok az objektumok irányát az ellenkező irányba fordítják, tehát például, ha egy függvényt a Pm manifoldról a Mn manifoldra szeretnénk visszavinni, akkor a pullback operátor segít ezen függvények átvitelében. Ugyanígy a pushforward operátorok segítségével az objektumokat az irányukban visszük át. Ez a különbség jól illusztrálja a vektorok és formák közötti különböző átalakításokat, amelyek a geometriai és differenciálgeometriai analízis szempontjából kiemelten fontosak.

A manifolds közötti leképezések alapvetően akkor válnak igazán fontossá, ha a két manifold dimenziója különbözik egymástól, és a leképezés nem mindig injektív, vagyis nem mindig biztosítja, hogy minden egyes pont a másik manifoldon egyedülálló képet kapjon. Amikor a manifoldeknél a dimenziók eltérnek, például ha dimPm < dimMn, akkor előfordulhat, hogy a pontok nem egy-egy helyet képeznek, hanem egy-egy görbét, és ezek a görbék visszakerülnek a megfelelő dimenziókba, vagy éppen nullára redukálódnak.

Amikor a manifolds közötti leképezés nem szigorúan invertálható, például amikor a leképezés nem egy homeomorfizmus, akkor a kevert tenzorok nem átvitelhetők, és így a megfelelő típusú átalakítások nem alkalmazhatók. A leképezés szingularitása nem teszi lehetővé a kevert tenzorok megfelelő átalakítását, míg a diffeomorfikus (invertálható) leképezés esetén az objektumok mindkét irányban átválthatók.

A továbbiakban érdemes figyelembe venni, hogy a koordináta-transzformációk tulajdonképpen semmi mások, mint az ℝn önmagába való leképezései. Mivel a koordináta-patch-ek az ℝn részei, és a manifoldeken végzett átalakítások lényegében a koordináták újrarendezését jelentik, a koordináta-transzformációk során a manifolduk közötti leképezés visszavezethető az önálló térbeli transzformációk alkalmazására.

A végső felismerés, hogy egy koordináta-transzformáció éppen egy leképezést jelent a manifold önmagába, alapvetően segíti a tenzorok átalakításának megértését és azok viselkedését különböző koordináta-rendszerekben. Az ehhez kapcsolódó matematikai törvényszerűségek segítenek egy átfogóbb képet alkotni a manifoldeken végzett műveletek és leképezések logikájáról, és arról, hogyan alakíthatóak át a tenzorok ezekben a rendszerekben.

Milyen feltételek szükségesek és elegendőek ahhoz, hogy Vn beágyazható legyen UN-be?

A Vn beágyazhatósága UN-ben alapvetően egy sor szükséges és elegendő feltételtől függ. Ha N > n+1, akkor a (7.89) – (7.90) egyenleteket kiegészíteni kell az (7.87) integrálhatósági feltételeivel: XBS^;Bβγ−XS^;γβ=0X B Ŝ ; B βγ - XŜ ;γβ = 0. Az (7.87) és (7.90) egyenletek alkalmazásával, a Y A második deriváltjainak kiküszöbölésével (7.71) és azzal a megfontolással, hogy a μ-sok antiszimmetrikusak latin indexeikre nézve, az alábbi kiegészítő feltételek adódnak:

∑N(εBP^XP^μ[P^S^]β;γ−μ[P^S^]γ;βP^)\sum_{N} \left( \varepsilon B P̂ X P̂ μ[P̂ Ŝ]β;γ - μ[P̂ Ŝ]γ;β P̂ \right)
+εP^εBR^XR^μ[P^S^]βμ[R^P^]γ−μ[P^S^]γμ[R^P^]βP^=n+1+ \varepsilon P̂ \varepsilon B R̂ X R̂ μ[P̂ Ŝ]β μ[R̂ P̂ ]γ - μ[P̂ Ŝ]γ μ[R̂ P̂ ]β P̂ = n+1
+gμνεBP^XP^Ω(S^)μγΩ(P^)νβ−Ω(S^)μβΩ(P^)νγ+RACD(G)YC,βYD,AγXS^=0.+ gμν \varepsilon B P̂ X P̂ \Omega(Ŝ)μγ \Omega(P̂)νβ - \Omega(Ŝ)μβ \Omega(P̂)νγ + R ACD(G) Y C,β Y D,A γ X Ŝ = 0.

A korábbiakban említett módon ezek a feltételek a {Y A,α} és {X A B̂} szettek projekcióira redukálhatók. Azonban a {Y A,α} projekció nulla, így a másik teljesen reprezentálja az (7.91)-et. Ha az (7.91)-et G Q BQ XT̂-vel szerződtetjük, akkor az alábbi egyenletet kapjuk:

∑N(μ[T^S^]β;γ−μ[T^S^]γ;β+εP^μ[P^S^]βμ[T^P^]γ−μ[P^S^]γμ[T^P^]βP^=n+1)\sum_{N} \left( μ[T̂ Ŝ]β;γ - μ[T̂ Ŝ]γ;β + \varepsilon P̂ μ[P̂ Ŝ]β μ[T̂ P̂ ]γ - μ[P̂ Ŝ]γ μ[T̂ P̂ ]β P̂ = n+1 \right)
+gμνΩ(S^)μγΩ(T^)νβ−Ω(S^)μβΩ(T^)νγ+RQACD(G)XQYCT^,βYD,AγXS^=0.+ gμν \Omega(Ŝ)μγ \Omega(T̂)νβ - \Omega(Ŝ)μβ \Omega(T̂)νγ + RQACD(G) X Q Y C T̂ ,β Y D, A γ X Ŝ = 0.

A relativitáselméletben (7.89), (7.90) és (7.92) egyenletek szinte mindig az N = n+1 speciális esetben jelennek meg, különösen N = 4 és n = 3 esetén, azaz a téridő hiperszíneiben. Ebben az esetben az egyenletek egyszerűsödnek. Az (7.92) egyenletek automatikusan teljesülnek, mert ebben az esetben μ[R^S^]β=0μ[R̂ Ŝ]β = 0, és az indexek csak egyetlen értéket vesznek fel: N=n+1N = n + 1. Az összes kifejezés (7.92)-ben antiszimmetrikus a [T̂ Ŝ] szerint. Ekkor a Gauss-Codazzi egyenletek a következőképpen egyszerűsödnek:

Rδαβγ(g)=RQMNP(G)YQ,δYM,αYN,βYP,γ+ε(ΩαγΩδβ−ΩαβΩδγ).Rδαβγ(g) = RQMNP(G) Y Q,δ Y M,α Y N,β Y P,γ + \varepsilon (\Omegaαγ \Omegaδβ - \Omegaαβ \Omegaδγ).

Ez egy másik, ha N = n+1, hasznos, bár nem kovariáns formájává redukálódik. Az (7.75) egyenlet adaptált koordinátákban a következő egyszerűsödik:

Ωαβ=−Xα;β.Ωαβ = -Xα;β.

Bár az (7.95) egyenlet az hiperszín második alapvető formájának definíciójaként szerepel egyes tankönyvekben, elég félrevezető lehet, mivel úgy tűnik, hogy teljesen kovariáns definíciót ad, miközben valójában nem az. Ez csak az adaptált koordinátákra érvényes, és a pontosabban értelmezett pontosított szemikolon az (7.95)-ben nem a Vn-ben vett kovariáns deriváltat, hanem az UN-ben vett kovariáns derivált Vn komponensét jelenti.

A Gauss-Codazzi egyenletek másik alkalmazása a relativitáselméletben az adott téridő beágyazása egy sík Riemann-térbe. Ebben az esetben (7.89), (7.90) és (7.92) egyenleteknek teljesülniük kell RABCD=0RABCD = 0-val. Ezzel az egyszerűsíthető GAB-tel, (7.65) egy n(n+1)/2 differenciálegyenlet sorozatot ad, amely N ismeretlen függvényt tartalmaz. Az egyszerű számolások azt sugallják, hogy ha N = n(n+1)/2, akkor ennek a rendszernek kell lennie megoldása (n = 4, N = 10). Azonban ez nem veszi figyelembe azokat a finomabb lehetőségeket, mint például, ha GAB pozitív meghatározott, míg gαβ nem, ekkor a (7.65) sorozat nem lesz megoldható semmilyen N esetén. Nem ismert, hogy milyen aláírású GAB-nak kell lennie, így az aláírások a GAB kanonikus formájában további diszkrét ismeretleneket jelentenek.

Azonban a különböző speciális esetekben a beágyazásokat explicite számolták ki, és gyakran UN dimenziója lényegesen kisebb, mint n(n+1)/2. Az adott Riemann-tér beágyazásához szükséges legkisebb N számát a Riemann-tér osztályának nevezzük. Például minden konformálisan sík Riemann-tér beágyazható egy sík Riemann-térbe n+2 dimenzióval (Plebański, 1967), így az osztály 2; a négy dimenziós Riemann-tér, amely a spherikus szimmetrikus gravitációs mezőt reprezentálja vákuumban, beágyazható egy 6 dimenziós sík térbe (lásd a 14.10-es szakaszt), tehát szintén osztály 2.

A megfelelő koordinátákban, ahol N = n + 1, az (7.75) egyenlet egy másik hasznos, de nem kovariáns formájává egyszerűsödik. Ezekben a koordinátákban XB csak az (n+1)-edik komponenst tartalmazza, tehát Xα=0Xα = 0. Mivel Y α = xα a Vn-en, az (7.75) első tagja nulla lesz, így az egyenlet:

Ωαβ=−gαβXn+1.Ωαβ = -gαβ X n+1.

Ez azt jelenti, hogy az Ωαβ a mérőszám irányú deriváltjával arányos a normál vektor mentén Vn-en.

Hogyan alakultak ki az üregek és más struktúrák az Univerzumban a Lemaître-Tolman geometriában?

Az Univerzumban lévő üregek a galaxisok közötti terekben elhelyezkedő nagy, szinte üres térfogatok, amelyek átmérője jellemzően 15 és 100 Mpc között mozog. Az ilyen üregek az intergalaktikus térben találhatóak, és az átlagos anyagsűrűségük nem haladja meg a nagy skálájú átlag 0,2-es értékét (Sutter et al., 2012). Az üregek megfigyelése meglepetést okozott, mivel ellentétben állt azzal az akkori univerzális hiedelemmel, miszerint a galaxisok eloszlása az Univerzumban egyenletes. A valóságban azonban az első olyan publikációk, amelyek az üregek mindenütt jelenlévő mivoltát jelezték, már az 1930-as években megjelentek, de akkor még nem értették meg teljesen ezt a jelenséget. Az első ilyen előrejelzést Tolman (1934) és Sen (1934) tették.

Tolman fő eredménye az volt, hogy bizonyította, hogy az Einstein- és Friedmann-modellek instabilak a különböző inhomogenitások növekedésével szemben. Az elmélet alapját az adja, hogy egy kezdeti állapotot feltételezve, ahol a Lemaître-Tolman (L-T) modell szerint a tágulási paraméterek megegyeznek a Friedmann-modell kezdeti állapotával, egy olyan rendszert kapunk, amely a perturbonálás következtében eltávolodik a háttér Friedmann-modelltől. Ez a felfedezés már a korai időkben előrevetítette, hogy a Friedmann-modellek instabilak, ha kondenzációk és üregek keletkezéséről van szó.

Az üregek kialakulása tehát egy olyan dinamikus jelenség, amely során az Univerzumban meglévő anyagfelhalmozódások és ritkulások különböző időszakokban, különböző módon alakulhatnak ki. A tolmani modell matematikai hátterét a különböző kozmológiai paraméterek közötti kapcsolat adja. Ez az instabilitás alapja a különböző struktúrák, például a galaxisok és üregek formálódásában.

A voidok (üregek) nemcsak egyszerűen üres terek, hanem a gravitációs térben létrejövő szerkezetek, amelyek hosszú távon képesek a galaxisok eloszlását befolyásolni. Az üregek növekedése az anyag sűrűségének eltéréseivel és az időbeli fejlődéssel jár együtt. Az üregek tehát nem statikus jelenségek, hanem folyamatosan változó struktúrák, amelyek a galaxisok és más kozmikus objektumok eloszlását is formálják.

Tolman elmélete szerint azokon a területeken, ahol a sűrűség eltér a Friedmann-modell által leírt sűrűségtől, a különbségek idővel növekedni fognak, és az instabilitás mértéke is egyre erősödik. A kezdeti kondenzációk, vagy akár üregek is, az idő múlásával egyre inkább eltávolodnak a Friedmann-modelltől, megerősítve ezzel a kozmológiai modell instabilitásának elképzelését. Ez azt jelenti, hogy az Univerzumban az anyag sűrűségének eloszlása nemcsak egyszerű véletlenek következménye, hanem a kozmikus dinamika alapvető jelensége.

A galaxisok keletkezésének kérdése, amelyet először Lemaître (1933b) fogalmazott meg, szintén szoros kapcsolatban áll a voidok fejlődésével. Lemaître azt feltételezte, hogy az anyag eloszlásának kezdeti feltételezése olyan konfigurációkat eredményezhet, amelyekben egyes terek összehúzódnak, míg más területek örökké tágulni fognak. Az ilyen típusú kezdeti feltételezésekkel szemben a gravitációs vonzás és a kozmológiai állandó együttes hatására a galaxisok formálódása lehetséges. Azonban Bonnor (1956) modellezéséből kiderült, hogy a galaxisok keletkezése nem egyszerű statisztikai fluktuációk eredménye, hanem a kezdeti dinamikai feltételezések is szerepet játszanak a fejlődésükben.

Az elméletek és modellek folyamatos fejlődése azt mutatja, hogy az Univerzumban az üregek és más struktúrák nem csupán a sűrűségfluktuációk következményei, hanem az anyagi eloszlás kezdeti sebességi feltételezései is meghatározó szerepet játszanak. A Krasiński és Hellaby (2002, 2004a) által kifejlesztett új megközelítések azt mutatják, hogy a sűrűségfluktuációk önmagukban nem elegendőek a struktúrák keletkezésének magyarázatára. Az alapvető mechanizmusokat figyelembe kell venni, amelyek az anyag mozgásához és az Univerzum fejlődéséhez vezetnek.

A mai tudományos gondolkodás szerint az Univerzum fejlődése során az infrastrukturális struktúrák, mint a galaxisok és üregek, nem csupán a kezdeti sűrűség- és sebességfluktuációk következményei, hanem egy sor kozmológiai tényező és dinamikai hatás összjátéka. Az üregek keletkezése és növekedése mindezek tükrében a modern kozmológia egyik fontos kutatási területe marad.

Hogyan érhetjük el a kívánt eredményeket a 2D félvezető anyagok előállítása során?
Hogyan kezdjünk el használni a Terraformot a felhőinfrastruktúra kezelésére?
Hogyan hatottak a detektívtörténetek a filmekre és az irodalom fejlődésére?
Hogyan értelmezzük a múltat, ha a tudatunk újraformálódik?