Hogyan működik a kernel-regresszió és a kernel alapú SVM a gépi tanulásban?

A kernel-módszerek a gépi tanulás különféle problémáira kínálnak hatékony megoldásokat. Az alapötlet az, hogy az adatok nemlineáris struktúráit úgy tudjuk kezelni, hogy egy olyan, magasabb dimenziós térbe mapeljük őket, ahol az adatok lineárisan elkülöníthetők. Ennek érdekében a kernel-módszerek egy kernel függvényt alkalmaznak, amely lehetővé teszi számunkra, hogy közvetlenül a térben végezzük el a számításokat anélkül, hogy expliciten kiszámolnánk az adatpontok új koordinátáit.

A kernel-regresszió egy olyan módszer, amely lehetővé teszi számunkra, hogy az adatokat a megfelelő kernel segítségével regressziós problémákra alkalmazzuk. A ridge-regresszióval párhuzamosan, amely az adatok lineáris kapcsolatait próbálja megtalálni, a kernel-ridge regresszió figyelembe veszi a nemlineáris kapcsolatokat is. Az alapvető cél az, hogy a minimális hibaterméket találjuk meg, miközben egy szabályozási tényezőt alkalmazunk, hogy elkerüljük a túlilleszkedést.

A kernel-regresszióban a következő formát alkalmazzuk a veszteségfüggvényre:

Ahol a $K$ a kernel-mátrix, és $c$ a regresszió paramétereit tartalmazó vektor. A kernel mátrix a következőképpen építhető fel:

Ez a kifejezés biztosítja, hogy a kernelfüggvény a megfelelő távolságokat és hasonlóságokat tartalmazza az egyes adatpontok között, amelyek szükségesek a predikciókhoz. A megoldás a minimális normát adó vektor $c$-t adja, és ha $K$ invertálható, akkor ez az egyedi megoldás.

A kernel SVM (Support Vector Machine) alapú módszerek a klasszikus SVM algoritmuson alapulnak, de a kernel használatával képesek kezelni a nemlineáris adatokat. A kernel SVM alkalmazásakor az SVM problémát egy kernel függvénnyel formulázzuk, amely lehetővé teszi a nemlineáris elválasztófelület megtalálását. A legfontosabb elem az úgynevezett „soft margin” SVM, amely lehetőséget ad arra, hogy egyes adatpontok túlléphetnek a margón, de az SVM mégis képes megtalálni az optimális elválasztót.

A kernel SVM problémát a következőképpen fogalmazzuk meg:

Ahol a $\varphi(x_i)$ a választott jellemző térbe való leképezést jelöli, és a cél az, hogy megtaláljuk az optimális $w$ és $b$ paramétereket, amelyek a legjobban elválasztják a két osztályt. A kernel módszer itt a jellemző tér helyett közvetlenül a kernel mátrixot használja.

A kernel-alapú megközelítések tehát nemcsak hogy lehetővé teszik a bonyolult, nemlineáris kapcsolatok modellezését, hanem sokkal nagyobb rugalmasságot kínálnak, mint a hagyományos lineáris módszerek.

Ezen kívül fontos megérteni, hogy a kernel SVM és a kernel-regresszió eredményei erősen függenek a kernelválasztástól és annak paraméterezésétől, például a $\gamma$-tól, ami meghatározza a kernel "szélességét". A kis $\gamma$ értékek kevésbé érzékenyek a lokális változásokra, míg a nagy $\gamma$ értékek a modell számára lehetővé teszik, hogy nagyon pontosan illeszkedjenek az adatokhoz, de ugyanakkor nagyobb túllilleszkedési kockázatot is jelenthetnek. A kernel-paraméterek finomhangolása, mint a $\lambda$ és a $\gamma$ értékek, kulcsfontosságú a modell teljesítménye szempontjából.

Hogyan működik a grafikon-alapú félig felügyelt tanulás és hogyan alkalmazható a képadatok zajmentesítésére?

A grafikon-alapú félig felügyelt tanulásban az adatok osztályozása és a címkézett pontok felismerése kiemelt szerepet kap. A legfontosabb dolog, amit figyelembe kell venni, az a címkézett adatpontok közötti "szomszédság", amely a gráf szerkezetét képezi. A grafikon-alapú tanulás egyik fő előnye, hogy képes a címkézett adatok között lévő összefüggéseket, mintákat és a különböző osztályok közötti határokat tisztábban kezelni a gráfok segítségével. Az optimizálási szempontból nézve minden egyes címkét tartalmazó vektor, az ui, minimalizálja az energiát, amely a következő egyenlet formájában van megadva:

Ezzel a módszerrel a gráf strukturált kapcsolatait kihasználva lehet optimalizálni a címkézett adatpontok és az azokkal összefüggő ismeretlen (nem címkézett) adatok osztályozását. A cél itt az, hogy az osztályozás minél pontosabb legyen, miközben biztosítjuk, hogy a gráfban lévő összes adatpont egyenletesen és zökkenőmentesen kapcsolódjon össze az osztályok között.

A folyamat során a gráfon belépő új címkézéskor egy közel optimális energiát kell elérni. A címkézett adatok számára az energia minimalizálása történik a megadott képlettel, amely nemcsak a címkék közötti eltéréseket veszi figyelembe, hanem a grafikon struktúrájából fakadó koherenciát is, mely segít abban, hogy a címkék a legjobban illeszkedjenek az ismeretlen adatpontokhoz is. A formulázott energia kifejezi a címkék közötti különbséget és a gráf határokat, így biztosítva, hogy a címkék ne "szivárogjanak" egymásba a gráfon.

A gyakorlati alkalmazásokban, mint a MNIST képek osztályozása, egy k = 10 szomszédos csúcsot tartalmazó gráfot használhatunk, amely a képpontok közötti távolságok alapján épül fel. A k-nearest neighbor (k-NN) gráf és a difúziós térképek segítségével különböző osztályozási pontosságokat érhetünk el. Az ilyen típusú tanulás, különösen ha kevesebb címkézett adat áll rendelkezésre, jelentős előnyt kínál, mivel még minimális címkés adatokkal is képes megfelelő pontosságú eredményeket nyújtani.

A zajmentesítéshez alkalmazott energia kifejezés:

Itt Y az eredeti, zajos képet tartalmazó mátrix, és U a denoised, vagyis zajmentesített kép mátrixa. A grafikon súlyozásában, mint a képszegmentációban, használt módszert alkalmazva a zaj minimalizálása céljából a szomszédos képpontok közötti hasonlóságokat figyeljük. A kifejezett energia és az egyenlet segítségével a gráf struktúrája a zaj eltávolítását hatékonyan végzi, ugyanakkor az éles képrészletek megőrzésére is figyel.

A grafikon-alapú félig felügyelt tanulás alkalmazása nem csupán osztályozási problémákra, hanem különböző regressziós feladatokra is ideális, ahol a cél az ismeretlen adatpontok értékeinek meghatározása a címkézett példák alapján. A különböző címkék közötti kapcsolatok és az azokhoz tartozó energia minimalizálása egy hatékony módszert kínál a felhasználók számára, hogy a legpontosabb eredményeket érjék el a valós adathalmazokon, legyen szó képek denoising-járól, vagy más, hasonló típusú feladatokról.

Mi a teljesen összekapcsolt neurális hálózat, és hogyan működik?

A teljesen összekapcsolt neurális hálózat, más néven több rétegű perceptron, olyan függvénykompozíciók sorozata, amely L rétegből áll, és egy $F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ leképezést valósít meg. Minden egyes réteg, jelöljük $F_k$-val, egy paraméterezett transzformáció, amely egy súlymátrixból $W_k$, egy eltolásvektorból $b_k$, és egy aktivációs függvényből $\sigma_k$ áll össze. A rétegek száma és szélessége, vagyis a neuronok száma rétegenként, valamint az aktivációs függvények kiválasztása együtt határozza meg a hálózat kapacitását és kifejezőerejét.

Az aktivációs függvények kiválasztásánál fontos, hogy azok megfelelően ne legyenek sem affínok, sem alacsony fokú polinomok, mivel ezek sem biztosítanak elegendő kifejezőerőt a bonyolult, nemlineáris adatkapcsolatok modellezéséhez. Emiatt gyakran alkalmaznak például ReLU vagy sigmoidos függvényeket, amelyek képesek gazdagabb funkciótér leképezésére.

Az edzés során a hálózat paramétereit úgy hangolják, hogy minimalizálják a tanulási feladathoz rendelt veszteségfüggvényt. Ez a veszteség általában az előrejelzett és a valódi kimenet közötti eltérést méri. A paraméteroptimalizálás leggyakoribb módszere a gradiens alapú iteratív algoritmusok alkalmazása, amelyek közül a legismertebb a gradiens leszállás. Itt minden iterációban a paraméterek irányított módosítása történik, hogy csökkenjen a veszteség értéke.

Mivel a veszteségfüggvény nem feltétlenül konvex, a tanulási folyamat során csak helyi minimumokat lehet elérni, globális minimum biztosítása nem garantált. Emellett a nagy adatállományok kezelésekor az úgynevezett mini-batch vagy stochasztikus gradiens leszállás terjedt el, amely a teljes adathalmaz helyett véletlenszerűen kiválasztott részhalmazon számítja a gradiens irányt, így csökkentve a számítási igényt és javítva a hálózat általánosítási képességét.

Az utóbbi években számos új architektúra jelent meg, amelyek megpróbálják leküzdeni a mély hálózatok tanulásával járó nehézségeket. A ResNet például a rétegek között "ugrásokat" (skip connections) vezet be, amelyek segítenek megelőzni a gradiens eltűnés problémáját, és így mélyebb hálózatok képzését teszik lehetővé. Egy másik ilyen fejlesztés a DenseNet, amely minden réteg között összeköttetést biztosít, még tovább növelve a hálózat tanulási kapacitását.

Fontos megérteni, hogy a teljesen összekapcsolt hálózatok elméleti kifejezőereje nagy, de gyakorlati alkalmazásuk során több tényezőt is figyelembe kell venni: a hálózat mélységét, szélességét, az aktivációs függvények típusát és a tanulási algoritmus paramétereit. A tanítási folyamat nem csupán matematikai optimalizáció, hanem a gyakorlati implementáció során előforduló problémák megértését és kezelését is igényli, mint például a túltanulás, az adathalmaz mérete vagy a számítási kapacitás korlátai.

Endtext

Hogyan befolyásolja a stochasztikus gradiens-leszállás konvergenciáját a variancia?

A stochasztikus gradiens-leszállás (SGD) a modern optimalizáció egyik legfontosabb eszköze, amely a nagy dimenziós problémák esetén lehetővé teszi a hatékony paraméter-illesztést. Azonban amikor a bemeneti adatokban zaj (vagyis sztochasztikus tényezők) van jelen, a hagyományos gradiens-alapú módszerek nem működnek annyira hatékonyan, mint tiszta, zajmentes környezetben. Ahhoz, hogy teljes mértékben megértsük, hogyan befolyásolja a zaj a konvergenciát, elengedhetetlen figyelembe venni a gradiens kifejezésére vonatkozó különféle összetevőket.

Mivel az SGD az iterációk során véletlenszerű sztochasztikus vektorokat alkalmaz, amelyek hatása az optimalizálás sebességét és pontosságát befolyásolhatja, az ilyen típusú algoritmusokat nem lehet egyszerűen a determinisztikus gradiens-alapú módszerekhez hasonlóan kezelni. A zaj hatása különösen akkor válik észrevehetővé, amikor a gradiens nagyon kicsi vagy éppen nullához közelít, például kritikus pontok vagy minimális pontok környezetében.

A lépésköz αk függősége alapvetően meghatározza a konvergenciát. A túl nagy αk értékek gyors előrehaladást biztosíthatnak a kezdeti fázisokban, de a zaj hamarabb "elnyomja" a gradiens hatását, így a módszer nem képes tovább javítani a közelítést. Ezzel szemben a túl kicsi αk értékek lassabb konvergenciát eredményezhetnek, de azok jobban kontrollálják a zaj hatásait. Ennek a jelenségnek az oka, hogy a variancia, amely a zaj szintjét jelzi, és amely az SGD-ben ξk vektor formájában jelentkezik, közvetlen hatással van az optimalizálás eredményére.

A variancia σ2 egy olyan paraméter, amely megadja, hogy az iterációk során milyen mértékben szóródnak a gradiens irányai a különböző iterációk között. Ha a variancia kicsi, akkor a gradiens-irányok meglehetősen stabilak, és a keresési folyamat sokkal gyorsabb lehet. Azonban, ha a variancia nagyobb, akkor az algoritmus "fel-le" mozoghat a célfüggvény felszínén, és így az optimális minimizálás sokkal nehezebbé válik.

A konvergencia elemzése az SGD esetében nemcsak a gradiens és a lépésköz függvényében történik, hanem a várható értékek figyelembevételével is. Az egyes iterációk várható értékei alapján, valamint a különböző lépésköz-szabályok alkalmazásával az optimalizálás kimenetele előre jelezhető. Az elemzés egyik alapvető következménye, hogy a sztochasztikus zűrzavarok jelenléte lelassíthatja a konvergenciát, és az algoritmus nem biztos, hogy a legjobb eredményeket hozza egy fix lépésköz választása mellett.

A legfontosabb konklúzió tehát az, hogy az SGD hatékonysága és gyorsasága szoros összefüggésben van a lépésköz megfelelő választásával. A variancia figyelembevételével biztosítható, hogy az iterációk során a sztochasztikus hatások minimalizálódjanak, miközben a konvergencia biztosított marad. Ezt a szabályt adaptív αk használatával érhetjük el, amely csökkenti a lépésköz nagyságát, ahogy a gradiens egyre kisebb lesz.

A gyakorlatban, amikor az SGD algoritmust alkalmazzuk, fontos figyelni a különböző időlépések hatását a konvergenciára. A kísérletek és példák szerint a kisebb időlépések lassabb konvergenciát, de stabilabb eredményeket hoznak, míg a nagyobb időlépések gyors kezdeti haladást biztosítanak, de nagyobb ingadozásokkal. Az optimális megoldás gyakran a dinamikusan változó időlépések alkalmazása, amelyek az iterációk során csökkennek, és így biztosítják a konvergenciát.

Az SGD hatékony alkalmazásához tehát kulcsfontosságú a variancia és a lépésköz szabályozása. A stabil konvergencia érdekében biztosítani kell, hogy a lépésköz az iterációk előrehaladtával csökkenjen, így az algoritmus képes lesz jobban illeszkedni a célnak megfelelően.

Hogyan minimalizáljuk a többváltozós kvadratikus függvényeket?

A többváltozós kvadratikus függvények minimalizálásának problémája alapvetően egy lényeges matematikai kérdés, amely sok különböző tudományágban és alkalmazásban jelenik meg. Az ilyen típusú függvények minimizálása gyakran szükséges optimalizálási feladatokban, például gépi tanulásban, gazdasági modellezésben vagy mérnöki alkalmazásokban. Ebben a fejezetben a kvadratikus függvények minimalizálásának módszereit, különös tekintettel a többváltozós esetekre, fogjuk áttekinteni.

A kvadratikus függvények olyan polinomok, amelyek nemcsak kvadratikus, hanem lineáris és konstans tagokat is tartalmaznak. Egy n változótól függő kvadratikus polinom formája az alábbiak szerint adható meg:

ahol $x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$, és a $h_{ij}$, $f_i$, valamint $c$ valós számok. A kvadratikus kifejezésben a $h_{ij}$ egy szimmetrikus mátrixot alkot, vagyis $h_{ij} = h_{ji}$. Fontos megjegyezni, hogy ez a függvény nemcsak kvadratikus formát, hanem lineáris és konstans tagokat is tartalmaz, így egy általánosabb típusú kvadratikus függvényt képvisel.

Amennyiben a kvadratikus mátrix $H$ nem pozitívan definit, de csak pozitívan féldefinit, akkor a megoldás nem egyedi, és a minimális értéket többféleképpen is elérhetjük. Ilyen esetben a függvény minimuma az összes olyan $x$ értékre érvényes, amely megfelel az $Hx = f$ egyenletrendszernek, és $x + z$ is minimális, ahol $z$ az $H$ kerneléből származik. Fontos tehát, hogy ha $H$ nem pozitívan definit, a kvadratikus függvények nem mindig rendelkeznek globális minimumokkal.

Egy egyszerű példán keresztül szemléltethetjük ezt a fogalmat. Tekintsük a következő kvadratikus függvényt:

Ezt a kifejezést a következő mátrixformában is kifejezhetjük:

A mátrix $H$ itt szimmetrikus, és a minimális pont megtalálásához szükséges lineáris egyenletet a következő módon oldhatjuk meg:

A megoldás segítségével könnyedén meghatározhatjuk az optimális $x_1$ és $x_2$ értékeket.

A kvadratikus függvények minimálása nemcsak tisztán elméleti érdeklődésre tarthat igényt, hanem számos gyakorlati alkalmazásban is kulcsfontosságú szerepet játszik. A legkisebb négyzetek módszere például elengedhetetlen a nem kompatibilis lineáris rendszerek megoldásában, mint ahogy azt a következő fejezetben részletesebben tárgyaljuk. A kvadratikus problémák és azok megoldása az optimalizálás szerves részét képezik, amely az alapvető gépi tanulási és statisztikai módszerek egyik sarokköve.