Comment la métrique de Robertson-Walker a façonné la cosmologie moderne

La métrique de Robertson-Walker, qui a émergé des travaux de Friedmann, Robertson et Walker, est un pilier fondamental de la cosmologie moderne. Elle fournit une description mathématique précise de l'univers en expansion, en prenant en compte des symétries qui ont été cruciales pour le développement de la théorie cosmologique. Cette forme métrique est une généralisation de la géométrie de l'espace-temps de la relativité générale, adaptée à un univers homogène et isotrope.

La métrique de Robertson-Walker est exprimée sous la forme suivante :

où $R(t)$ est une fonction arbitraire du temps et $k$ est une constante qui détermine la courbure de l'univers. Cette métrique repose sur l'idée que l'univers, à grande échelle, présente une homogénéité et une isotropie qui sont conservées au fil du temps.

L’importance de cette métrique, mise en évidence pour la première fois par Friedmann dans les années 1920, réside dans le fait qu’elle permet de décrire un univers en expansion, un concept qui allait jouer un rôle central dans les développements ultérieurs de la cosmologie. Cependant, à l'époque de Friedmann, ses travaux ont été en grande partie ignorés, et il a fallu attendre que d'autres chercheurs, tels que Robertson et Walker, en explorent les implications. Les travaux de ces deux chercheurs, publiés dans les années 1920 et 1930, ont rigoureusement validé la forme de la métrique et ont établi les bases de la cosmologie moderne.

La métrique de Robertson-Walker est cruciale non seulement pour son aspect mathématique, mais aussi pour sa capacité à représenter un large éventail de modèles cosmologiques. En fonction de la valeur de $k$, l'univers peut être courbé positivement, négativement ou être plat, ce qui a des conséquences profondes sur son évolution et son avenir. Le cas où $k = 0$ représente un univers plat, tandis que $k > 0$ et $k < 0$ correspondent respectivement à des univers sphériques et hyperboliques.

Il est également important de souligner que la découverte de cette métrique a ouvert la voie à une compréhension plus profonde des symétries de l'univers. Les générateurs de symétrie, associés à cette métrique, peuvent être reliés à l'algèbre de Lie $O(3)$, ce qui suggère que l'univers, à grande échelle, conserve des propriétés symétriques similaires à celles des sphères et des espaces homogènes. Ces symétries ont conduit à des résultats majeurs en cosmologie théorique, notamment la classification des modèles de l'univers basée sur les groupes de Lie, comme les algèbres de Bianchi.

Dans un contexte plus vaste, ces symétries sont liées à la classification des espaces homogènes, en particulier à travers les algèbres de Bianchi, qui fournissent un cadre pour comprendre les géométries possibles de l'univers à différentes époques de son histoire. Les Bianchi algebras, qui classifient les solutions possibles aux équations de Einstein pour des espaces homogènes, sont essentiels pour comprendre la diversité des modèles cosmologiques.

À partir de ces fondements, la métrique de Robertson-Walker a permis des prédictions clés sur l'évolution de l'univers. L'un des résultats les plus célèbres issus de cette métrique est la prédiction de l'expansion de l'univers, qui a été confirmée par des observations de décalage vers le rouge des galaxies, établissant ainsi le modèle du Big Bang. La reconnaissance de cette expansion a radicalement transformé notre conception de l'univers, passant d'un modèle statique à un modèle dynamique, en évolution constante.

Cependant, il est crucial de comprendre que la métrique de Robertson-Walker, bien qu'elle soit extrêmement utile pour décrire un univers homogène et isotrope, ne s'applique pas à tous les modèles cosmologiques. Par exemple, elle ne prend pas en compte les effets locaux de la gravité, comme ceux produits par des structures telles que les galaxies ou les amas de galaxies. Ces effets peuvent être mieux décrits par d'autres solutions aux équations d'Einstein, telles que celles associées à la métrique de Schwarzschild pour un trou noir ou la solution de Kerr pour un trou noir en rotation.

L'autre aspect fondamental de cette métrique est la dépendance du facteur d’échelle $R(t)$, qui gouverne l’expansion de l’univers. Ce facteur d’échelle, qui peut être fonction du temps, représente la manière dont les distances entre les objets dans l’univers évoluent au fil du temps. L’étude de cette fonction est centrale pour déterminer l’histoire de l’univers, son âge, ainsi que son futur. En effet, les observations actuelles suggèrent que l’expansion de l’univers s’accélère, ce qui a conduit à la théorie de l'énergie noire et a donné un nouvel élan à la cosmologie moderne.

Une autre réflexion qui se pose à partir de ces bases est la manière dont ces résultats ont évolué au fil du temps. La cosmologie moderne, en particulier après l’introduction de la relativité générale et des concepts associés à l’astrophysique, a connu un bouleversement radical dans la manière dont nous percevons l’univers. Il est donc nécessaire de comprendre que bien que la métrique de Robertson-Walker et les premiers travaux de Friedmann aient jeté les bases de cette discipline, la cosmologie contemporaine inclut maintenant des éléments qui n’étaient même pas imaginés à cette époque. L'énergie noire, les trous noirs supermassifs et la matière noire sont autant de concepts qui s'ajoutent aux équations fondamentales pour enrichir et compléter notre modèle de l'univers.

Quelle est la véritable structure de l’espace-temps de Schwarzschild ?

L’étude de la métrique de Schwarzschild à l’aide des coordonnées classiques révèle une singularité apparente à $r = 2m$, connue historiquement comme l’« horizon des événements ». Pourtant, cette singularité n’est qu’un artefact de la mauvaise coordonnée temporelle $t$, qui cesse d’être physique à l’approche de cette valeur. Pour surmonter cette difficulté et révéler la structure complète de l’espace-temps, plusieurs changements de coordonnées sont nécessaires, menant à la représentation maximale de Schwarzschild à l’aide des coordonnées de Kruskal–Szekeres.

En partant de la fonction $\xi = r + 2m \ln |r/(2m) - 1|$, on obtient une extension de l’espace-temps qui sépare les domaines $r > 2m$ et $r < 2m$, mais sans fournir une inversion globale unique de $\xi(r)$ pour tout $r > 0$. On introduit ensuite une transformation exponentielle de coordonnées, $(p, q) = (e^{\tilde{p}/a}, e^{ -\tilde{q}/a})$, inversible pour $p, q > 0$, permettant d’écrire la métrique sous une forme simplifiée dans ces nouvelles variables. En posant $a = 4m$, les termes responsables de la singularité en $r = 2m$ s’annulent, révélant une métrique lisse en ce point.

L’introduction des coordonnées $u$ et $v$, définies par des combinaisons hyperboliques des variables $p$ et $q$, permet alors une description sans singularité à travers la région $r = 2m$. Dans ces coordonnées, la métrique devient manifestement régulière pour tout $r \geq 2m$, bien que les dérivées $\partial v/\partial r$ et $\partial u/\partial r$ tendent vers l’infini à l’approche de $r = 2m$, ce qui explique l’échec de la représentation précédente.

Lorsque cette nouvelle métrique est étendue à $r < 2m$, $r$ devient une coordonnée temporelle tandis que $t$ devient spatiale. Ce renversement des rôles mène à une solution de type Kantowski–Sachs pour l’intérieur de l’horizon, une région souvent négligée dans les présentations traditionnelles, bien que sa pertinence soit majeure dans l’analyse complète de la géométrie.

L’équation $u^2 - v^2 = (r/2m - 1) e^{r/2m}$ montre que les surfaces $r = \text{constante}$ sont des hyperboles dans le plan $(u, v)$, et que la surface $r = 2m$ correspond aux droites $u = \pm v$, les horizons. Le diagramme de Kruskal (Fig. 14.8) en est l’illustration géométrique la plus claire : il divise l’espace-temps en quatre régions distinctes. Les coordonnées de courbure classiques ne couvrent que la région I (ou III), tandis que les régions II et IV se trouvent au-delà de l’horizon.

La singularité réelle se situe en $r = 0$, où les composantes du tenseur de Riemann deviennent infinies. Contrairement à $r = 2m$, cette singularité ne peut être supprimée par un changement de coordonnées : elle est physique. Les géodésiques nulles et temporelles dans la représentation de Kruskal ne rencontrent cette singularité qu’en des conditions bien définies, et ne sont plus tronquées arbitrairement comme dans les coordonnées initiales.

Une conséquence fondamentale de cette extension est la structure causale complexe : un observateur dans la région I peut recevoir des signaux venant de la région IV, mais ne peut jamais répondre — tout signal envoyé au-delà de $r = 2m$ est inéluctablement absorbé par la singularité future. Cette asymétrie est irréductible, ancrée dans la topologie de l’espace-temps lui-même. Inversement, un observateur en IV peut encore recevoir une réponse s’il se déplace vers II, mais son destin est scellé : il ne pourra jamais quitter le piège gravitationnel.

Cette structure se généralise au cas chargé (Reissner–Nordström) ou en rotation (Kerr), où les espaces-temps s’étendent en chaînes infinies de régions liées par des horizons multiples. L’apparente simplicité du trou noir statique s’effondre face à cette complexité géométrique insoupçonnée.

Le diagramme de Kruskal révèle également une duplication inattendue de la singularité $r = 0$, avec deux branches temporelles distinctes, $S_1$ et $S_2$, correspondant respectivement aux singularités future et passée. Cette duplication implique que certaines géodésiques lumineuses émergent d’une singularité passée, traversent l’horizon et s’échappent vers l’infini, tandis que d’autres tombent inévitablement dans la singularité future après avoir traversé l’horizon.

L’espace-temps de Schwarzschild ne peut donc être compris dans sa globalité qu’à travers ces coordonnées étendues. Le temps de Schwarzschild, bien qu’intuitif, masque la véritable causalité du système. Ce qui était interprété comme une barrière infranchissable se révèle être une surface parfaitement régulière dans la géométrie complète. La métrique de Kruskal–Szekeres constitue donc l’extension maximale, causalement complète, de l’espace-temps décrit initialement par Schwarzschild, sans artéfact de coordonnées.

Cette représentation impose une redéfinition des notions de passé et de futur, de causalité et d’observabilité. Elle force à abandonner les intuitions classiques sur le temps et l’espace. Elle démontre enfin que la géométrie, dans sa forme la plus pure, dépasse les limites de nos repères usuels et exige de nouveaux outils pour être appréhendée.

La compréhension de cette construction suppose aussi d’admettre que le concept de « trou noir » n’est pas uniquement une idée d’effondrement gravitationnel, mais une réalité topologique et géométrique irréversible. Cela implique notamment que certains événements sont fondamentalement inobservables depuis certaines régions de l’espace-temps. La perte d’information à travers l’horizon, la séparation irréductible des régions, et l’existence de singularités dans le futur comme dans le passé, tout cela bouleverse la vision déterministe de la relativité classique.

Comment le mouvement d'un fluide relativiste est-il influencé par les transformations géométriques de l'espace-temps ?

Le comportement d'un fluide relativiste dans un espace-temps courbé est complexe, car il implique non seulement la dynamique des particules dans l'espace, mais aussi la géométrie de l'espace-temps elle-même. Dans ce contexte, plusieurs concepts mathématiques et physiques entrent en jeu, comme les vecteurs et les tenseurs associés aux flux et à la structure de l'espace-temps. L'un des aspects cruciaux est la décomposition du vecteur vitesse du fluide et son comportement dans les hypersurfaces orthogonales à la trajectoire des particules.

Considérons d'abord le vecteur $B^\alpha$, une composante de vecteur dans un espace-temps relativiste. Le terme $B^\alpha_\perp = h^{\beta}B_\beta$ représente la composante de ce vecteur perpendiculaire à la direction de $u^\alpha$, le vecteur vitesse du fluide. L'expression $g_{\alpha \beta} B^\alpha_\perp B^\beta_\perp = h_{\alpha \beta} B^\alpha_\perp B^\beta_\perp$ nous indique que cette projection est stable même lorsque nous manipulons des coordonnées adaptées. Le tenseur $h_{\alpha \beta}$, qui est le tenseur de la métrique dans les hypersurfaces orthogonales à $u^\alpha$, joue ici un rôle fondamental pour décrire la dynamique de ces composantes dans l'espace-temps.

Lorsque l'on considère la dynamique d'un fluide en relativité, il devient nécessaire de traiter les vecteurs de manière différente en fonction de leur appartenance à des hypersurfaces spécifiques. Supposons que l’on choisisse comme coordonnée temporelle $x^0$, et définissons un repère spatial $x^I$ (avec $I = 1, 2, 3$) qui reste orthogonal à une ligne de monde donnée $P$. Le vecteur $B^\alpha$ doit être perpendiculaire à $u^\alpha$ dans cette situation. Ainsi, la relation $g_{\alpha \beta} u^\alpha B^\beta = 0$ est respectée. Cela nous permet de déterminer les comportements des particules à partir de leurs positions relatives dans l'espace-temps et de comprendre comment leurs coordonnées évoluent au fil du temps, en prenant en compte les effets relatifs entre les différentes lignes de monde.

Prenons un exemple où une particule occupe une position $P_0$ dans l'espace-temps à un instant $s$, et une autre particule occupe une position $Q_0$. Le vecteur $\delta x^\alpha$ reliant $P_0$ et $Q_0$ décrit la séparation entre ces deux points. Après un certain temps $\Delta s$, la position de la particule $P_0$ évolue selon la loi $x'^\alpha = x^\alpha + u^\alpha \Delta s$. Cependant, la particule $Q_0$, qui est affectée par la dynamique relativiste, se déplace également mais selon une évolution différente. Le calcul de cette évolution relative nécessite de considérer les effets de transport parallèle, et de comprendre comment les vecteurs de vitesse et de déplacement sont interconnectés dans l’espace-temps.

Une fois que l'on a défini la position relative de ces particules, la vitesse de la particule à la position $P_0$, notée $v^\alpha$, est liée à la vitesse à la position $Q_0$ par un terme de transport parallèle, comme décrit par l'équation intégrale du mouvement. Ce terme est donné par $v^\alpha = u^\alpha(x^\beta) + u^\alpha,_\rho (x^\beta) \delta x^\rho + \Gamma^\alpha_{\sigma \rho} u^\sigma(x) \delta x^\rho + O(\delta x^2)$. Cette équation nous montre comment les différentes corrections liées à la courbure de l'espace-temps doivent être prises en compte pour obtenir l'évolution exacte de la position des particules à des instants successifs.

Les équations obtenues à partir des relations de transport parallèle et de déformation du fluide permettent d'explorer des quantités dynamiques cruciales telles que la vitesse de l'expansion, le rotation tensorielle, et la déformation en cisaillement du fluide. Par exemple, la déformation de type expansion est décrite par le scalaire $\theta$, qui est obtenu par $u^\alpha,_\alpha$, et il représente l'étirement ou la compression du fluide dans l'espace. Le tensor de rotation $\omega_{\alpha \beta}$, qui représente la vorticité du fluide, peut être exprimé par la relation $\omega_{\alpha \beta} = u_{[\alpha; \beta]} - \dot{u}[\alpha u_\beta]$, où $u^\alpha$ est la vitesse du fluide et $\dot{u}^\alpha$ est l'accélération.

Il est important de noter que ces quantités jouent un rôle crucial dans les applications de la dynamique des fluides relativistes, notamment dans l'étude des ondes gravitationnelles et de l'évolution des systèmes astrophysiques. En particulier, la déformation du fluide, son expansion, sa rotation, et les effets d'accélération sont intimement liés à la courbure de l'espace-temps, ce qui signifie que l'étude de ces phénomènes est essentielle pour comprendre les comportements des fluides dans des conditions extrêmes, telles que celles rencontrées autour des trous noirs ou des étoiles à neutrons.

Les relations dérivées dans cette section, notamment les équations de Raychaudhuri, qui relient la géométrie de l'espace-temps et les propriétés du fluide, sont fondamentales pour la compréhension des comportements de la matière relativiste. Ces équations permettent de relier les différentes quantités comme $\theta$, $\omega_{\alpha \beta}$, $\sigma_{\alpha \beta}$ et $u^\alpha$, et d’étudier comment elles interagissent avec la courbure de l’espace-temps.

Ces concepts sont non seulement importants pour la physique des fluides relativistes, mais aussi pour la cosmologie et la compréhension des phénomènes astrophysiques où l'interaction entre la matière et la géométrie de l'espace-temps devient manifeste. Un fluide relativiste se comporte donc différemment d'un fluide classique, non seulement à cause de ses propriétés internes, mais aussi en raison des effets de la relativité générale.

Comment les équations de Raychaudhuri et les singularités influencent la dynamique des fluides parfaits en relativité générale

Dans l'étude de la relativité générale, les équations différentielles qui décrivent l'évolution des champs de matière et d'énergie sont fondamentales. En particulier, les équations d'évolution de Raychaudhuri jouent un rôle central dans l'étude de la dynamique des fluides parfaits dans un espace-temps courbe. Ces équations se basent sur la géométrie différentielle, les propriétés du tenseur de Riemann et l'utilisation des symétries antisymétriques pour simplifier les termes.

En considérant un fluide parfait, l'une des approches consiste à exprimer l'évolution de certaines grandeurs géométriques liées au fluide, telles que l'expansion, la rotation et le cisaillement. Par exemple, l'équation de Raychaudhuri, dérivée par Ehlers en 1961, relie ces grandeurs à des termes de pression, d'énergie et de courbure, donnant ainsi une vue d'ensemble de l'évolution d'un fluide parfait dans un espace-temps courbe. Cette équation est une relation clé pour comprendre l'évolution des particules dans un fluide relativiste, tout en tenant compte de l'effet de la gravité et des interactions internes du fluide.

Le processus de contraction des équations avec le métrique $g^{\alpha \beta}$ et l'introduction des termes de torsion et de rotation (vorticité) permet de développer des équations plus spécifiques. Par exemple, les équations de propagation de la vorticité et du cisaillement, qui découlent de la décomposition de la déformation du fluide en termes de symétrie, peuvent être obtenues à partir de l'équation de Raychaudhuri. Ces résultats sont essentiels pour la compréhension de l'évolution de la structure interne d'un fluide parfait sous l'effet de la gravité.

L'une des caractéristiques importantes dans ce cadre est la prise en compte de la contribution de la courbure de l'espace-temps, qui est capturée par le tenseur de Weyl. Les termes électriques et magnétiques du tenseur de Weyl, définis dans les équations (15.47) et (15.48), sont essentiels pour décrire la façon dont la géométrie de l'espace-temps influence le comportement du fluide. Cette description est particulièrement pertinente pour l'étude des singularités, ces points dans l'espace-temps où certaines quantités physiques deviennent infinies.

Les solutions particulières des équations d'Einstein pour un fluide parfait peuvent mener à la formation de singularités, comme le montre l'analyse de l'évolution de la fonction $\ell(x)$, qui représente une sorte de facteur d'échelle dans l'évolution du fluide. Lorsque cette fonction devient nulle, cela signifie qu'une singularité est atteinte, où la densité de matière ou la pression diverge. Cela se produit soit dans le passé, soit dans le futur, selon la dynamique du fluide. Par conséquent, les configurations de fluides parfaits qui ne présentent pas de singularité à un moment donné de l'évolution doivent en contenir une à un autre instant.

L'un des résultats les plus importants tirés de cette analyse est que les théorèmes de singularité, comme ceux établis par Penrose, Hawking et Ellis, prévoient que les singularités ne sont pas simplement des artefacts de modèles idéalisés mais une caractéristique inévitable des configurations physiques à grande densité de matière. Ces théorèmes ont eu une profonde influence sur la compréhension de la relativité, en suggérant que la relativité générale pourrait ne pas être une théorie ultime de l'espace et du temps, en particulier à des densités de matière extrêmement élevées où les effets quantiques dominent.

Les théorèmes de singularité montrent que toute tentative d’éviter les singularités dans un modèle basé sur la relativité générale nécessite de considérer des théories plus générales, capables de décrire les effets quantiques sous des conditions extrêmes. Toutefois, il existe des solutions spécifiques des équations d’Einstein pour lesquelles la singularité est absente, comme celles étudiées par Senovilla et ses collaborateurs, bien que ces solutions n'aient pas encore trouvé de correspondance avec des situations astrophysiques observées. Leur existence démontre que les singularités ne sont pas inhérentes à la relativité générale elle-même, mais dépendent des hypothèses spécifiques formulées dans les théorèmes de singularité.

Une étude plus approfondie de ces équations et de leurs implications pour la dynamique des fluides parfaits pourrait dévoiler des comportements intéressants dans des contextes astrophysiques, notamment dans l’étude des noyaux stellaires ou des modèles cosmologiques. En particulier, l’étude de la vorticité, du cisaillement et de l’expansion dans des fluides parfaits permet de mieux comprendre la structure de l’univers à grande échelle et les comportements extrêmes des objets gravitationnels, comme les trous noirs et les étoiles à neutrons.