Méthode de la matrice de transfert pour les milieux anisotropes : Calcul de la réflectance et de la transmittance des structures multicouches

La méthode de la matrice de transfert permet d'analyser les structures multicouches en tenant compte des propriétés anisotropes des matériaux. Cette approche est particulièrement utile pour les films minces constitués de plusieurs couches de matériaux dielectriques et métalliques, comme le dioxyde de titane (TiO2) et l'argent (Ag), qui présentent des comportements optiques distincts en fonction de la longueur d'onde. La capacité à modéliser ces matériaux à l'aide de fonctions de permittivité permet de simuler et de comprendre les interactions complexes entre la lumière et ces structures.

Dans le cas des films multicouches, comme illustré dans la figure 1.12, la réflexion et la transmission dépendent de la structure de ces couches, notamment de la position de la couche métallique par rapport à la couche diélectrique. Le calcul des propriétés optiques de ces films multicouches implique de prendre en compte non seulement la structure géométrique, mais aussi les constantes diélectriques spécifiques de chaque matériau à différentes longueurs d'onde.

Lorsque l'angle d'incidence de la lumière change, comme pour un angle de 45°, les propriétés optiques des structures multicouches et des milieux effectifs commencent à se différencier davantage. Cependant, pour des longueurs d'onde supérieures à 450 nm, les modèles de milieux effectifs (EMA) et multicouches (ML1 et ML2) se rejoignent presque complètement, ce qui suggère une tendance vers des comportements optiques similaires à mesure que la longueur d'onde augmente. La différence de réflexion entre les structures multicouches et le milieu effectif est également notable à des longueurs d'onde plus courtes, mais elle reste relativement faible.

La complexité de ces calculs réside dans la nécessité d'utiliser des modèles qui prennent en compte l'anisotropie des matériaux. Par exemple, les fonctions de permittivité du TiO2 et de l'Ag, qui dépendent de la longueur d'onde, sont utilisées pour déterminer les indices de réfraction et les constantes diélectriques effectives dans les directions parallèles et perpendiculaires à la surface. Les équations de permittivité du TiO2 et de l'Ag sont exprimées comme suit :

Pour obtenir une représentation visuelle de ces constantes diélectriques, des programmes Python tels que celui montré dans le programme 1.11 peuvent être utilisés pour calculer et tracer les valeurs de la permittivité dans les deux directions principales. La représentation graphique de ces permittivités montre des variations intéressantes, où la partie réelle de la permittivité parallèle ($\varepsilon_{\parallel}$) devient négative pour les longueurs d'onde longues, ce qui suggère que le matériau se comporte comme un métal à ces longueurs d'onde. En revanche, la permittivité dans la direction perpendiculaire ($\varepsilon_z$) présente un comportement opposé, ce qui est typique des matériaux anisotropes.

Le programme fourni dans l'annexe montre également comment les spectres de réflectance et de transmittance sont calculés à différentes longueurs d'onde et à différents angles d'incidence. Ces calculs permettent de simuler les performances optiques des films multicouches en fonction des variations de la structure et des propriétés des matériaux.

Dans l'optique de ces calculs, il est crucial de comprendre que les propriétés des matériaux changent non seulement avec la longueur d'onde de la lumière, mais aussi avec l'angle d'incidence. À faible angle, la lumière interagit principalement avec la surface des matériaux, tandis qu'à des angles plus élevés, la lumière pénètre plus profondément dans les couches, ce qui peut modifier la manière dont elle est réfléchie et transmise.

En somme, la méthode de la matrice de transfert est un outil puissant pour analyser les structures multicouches, notamment celles composées de matériaux anisotropes. Elle permet de simuler avec précision les comportements optiques complexes de ces systèmes, fournissant ainsi des informations essentielles pour la conception de dispositifs optiques avancés, comme des filtres, des revêtements antireflets et des capteurs optiques.

Comment calculer la réponse optique d'une structure à cylindre cœur-enveloppe en tenant compte du retard ?

Le calcul de la réponse optique d'une structure à cylindre cœur-enveloppe, prenant en compte les effets de retard, repose sur l'analyse des coefficients de diffusion et des sections efficaces, telles que la diffusion, l'extinction et l'absorption. Une telle approche permet de mieux comprendre les phénomènes optiques complexes associés aux nanostructures, en particulier lorsque ces dernières sont composées de matériaux à haute permittivité, tels que l'argent ou l'or.

Pour cette structure à cylindre cœur-enveloppe, les relations de polarisation transverse magnétique (TM) et transverse électrique (TE) s'appliquent, menant à un ensemble d'équations couplées qui décrivent l’interaction des ondes électromagnétiques avec la structure. Ces équations prennent la forme suivante :

• TM polarisation :

  $$m_1 J_n(m_1 x_1) a_n = m_2 J_n(m_2 x_1) b_n - m_2 H_n(m_2 x_1) c_n \quad (3.17)$$
  $$m_2^2 J_n'(m_1 x_1) a_n = m_2^2 J_n'(m_2 x_1) b_n - m_2^2 H_n'(m_2 x_1) c_n \quad (3.18)$$
  $$m_2 J_n(m_2 x_2) b_n - m_2 H_n(m_2 x_2) c_n = m_3 J_n(m_3 x_2) - m_3 H_n(m_3 x_2) d_n \quad (3.19)$$
  $$m_2^2 J_n'(m_2 x_2) b_n - m_2^2 H_n'(m_2 x_2) c_n = m_2^3 J_n'(m_3 x_2) - m_2^3 H_n'(m_3 x_2) d_n \quad (3.20)$$

• TE polarisation :

  $$m_2^2 J_n(m_1 x_1) a_n = m_2^2 J_n(m_2 x_1) b_n - m_2^2 H_n(m_2 x_1) c_n \quad (3.21)$$
  $$m_1 J_n'(m_1 x_1) a_n = m_2 J_n'(m_2 x_1) b_n - m_2 H_n'(m_2 x_1) c_n \quad (3.22)$$
  $$m_2^2 J_n(m_2 x_2) b_n - m_2 H_n(m_2 x_2) c_n = m_2^3 J_n(m_3 x_2) - m_2^3 H_n(m_3 x_2) d_n \quad (3.23)$$
  $$m_2 J_n'(m_2 x_2) b_n - m_2 H_n'(m_2 x_2) c_n = m_3 J_n'(m_3 x_2) - m_3 H_n'(m_3 x_2) d_n \quad (3.24)$$

Les sections efficaces sont liées à la réponse optique de la structure, où la diffusion $Q_{\text{sca}}$ est calculée à partir des coefficients de diffusion, tandis que l'extinction $Q_{\text{ext}}$ et l'absorption $Q_{\text{abs}}$ sont reliées à la somme de la diffusion et de l'absorption.

Application aux cylindres en argent

Un exemple pratique de cette méthode est l’étude de cylindres en argent, utilisée pour vérifier que les calculs rigoureux, prenant en compte les effets de retard, donnent une longueur d'onde de résonance autour de 330 nm, comme prévu sous l'approximation de longueur d'onde longue. En utilisant un programme de calcul, on peut observer les différentes efficacités de diffusion en fonction de la longueur d'onde pour des cylindres ayant différents rayons, comme le montre la figure suivante.

Les résultats de ces calculs, présentés dans la figure 3.3, montrent que l’efficacité de diffusion pour la polarisation TE présente un pic à 335 nm, dû à la résonance plasmonique localisée, tandis que la polarisation TM n'affiche qu'une augmentation monotone sans pic de résonance. Lorsque le rayon du cylindre en argent passe de 10 nm à 50 nm, le pic de résonance se décale vers 350 nm et la largeur du pic devient plus large. Cela est dû aux effets de retard, qui deviennent non négligeables à mesure que le rayon du cylindre augmente.

Importances supplémentaires

Il est essentiel de noter que ces calculs sont particulièrement pertinents dans le contexte des nanostructures métalliques, où les effets de retard et les phénomènes de résonance plasmonique peuvent avoir un impact significatif sur les propriétés optiques. Ces structures peuvent être utilisées dans divers domaines, notamment en optique nanométallique, dans la conception de capteurs optiques et dans le développement de dispositifs photoniques à l’échelle nanométrique.

L'impact des paramètres tels que le matériau, la taille du cylindre et les conditions de polarisation doit être bien compris. Le matériau utilisé dans la structure (par exemple, argent, or) influence fortement la longueur d'onde de résonance et la largeur du pic de diffusion. De plus, les effets de retard sont plus marqués à mesure que la taille de la structure augmente, ce qui doit être pris en compte lors de la conception de dispositifs optiques à haute performance.

Comment les matrices et les coefficients de la méthode RCWA sont utilisés pour modéliser les grilles bidimensionnelles et leurs effets optiques

La méthode RCWA (Rigorous Coupled-Wave Analysis) est une technique fondamentale pour l'analyse des structures périodiques dans les matériaux optiques. Cette méthode repose sur l'approximation de la solution des équations de Maxwell dans un milieu périodique par des séries de Fourier. Dans un tel cadre, les matériaux sont divisés en plusieurs couches qui peuvent avoir des indices de réfraction complexes. Le cœur de l'algorithme consiste à résoudre un système d'équations linéaires pour obtenir les coefficients de réflexion et de transmission des ondes électromagnétiques incidents sur la structure.

Les matrices jouent un rôle central dans ce processus, et chacune a une fonction spécifique. Prenons l'exemple de la matrice K. Cette matrice est une représentation discrète des interactions entre les ondes électromagnétiques et la structure périodique de la grille. L'élément matrixKlist[i,k,j] est défini comme une fonction du champ électrique incident, normalisé par une somme des permittivités, et multiplié par un terme qui dépend de l'index du vecteur d'onde. Cela permet de calculer les contributions spécifiques des différentes modes à chaque élément de la grille.

Les matrices L, M, N, et P suivent des principes similaires. Par exemple, matrixLlist contient des coefficients qui modélisent les effets de la couche dans la direction perpendiculaire à la surface de la structure, avec des valeurs fixes pour certaines conditions spécifiques, comme matrixLlist[i,k] = -4/3 lorsque k == 0, et nulles dans les autres cas. Ce type de modélisation permet de capturer l'interaction des ondes avec des structures régulières, comme les grilles, et de comprendre les comportements de réflexion et de transmission dans des systèmes stratifiés.

Les solutions obtenues à partir de ces matrices permettent de calculer des grandeurs physiques importantes, telles que les coefficients de diffusion (Csca_A, Csca_B) et d'absorption (Cabs_A, Cabs_B). Ces quantités sont ensuite utilisées pour évaluer les sections efficaces de diffusion (Qsca_A, Qsca_B) et d'absorption (Qabs_A, Qabs_B) des structures périodiques. Ces coefficients sont essentiels dans les études optiques, notamment pour les applications en optique nanostructurée et dans les dispositifs à base de grilles métalliques ou diélectriques.

Enfin, il est crucial de mentionner que les résultats obtenus avec RCWA, bien que très précis, dépendent fortement des paramètres d'entrée tels que l'ordre de diffraction, la longueur d'onde, la polarisation et la géométrie de la structure. Une précision plus grande dans les calculs nécessite l'utilisation de matrices de plus grande taille et un nombre élevé de termes dans les séries de Fourier, ce qui peut rendre le calcul numériquement intensif. Cependant, cette complexité est souvent nécessaire pour décrire correctement les phénomènes optiques dans les matériaux à structure périodique.