Comment résoudre le problème de couverture dynamique avec des mesures de risque convexes ?

La solution à ce problème repose sur des hypothèses très spécifiques concernant la fonction φ et la mesure de risque λ. Nous commençons par supposer que φ est une fonction définie pour chaque c ≥ c0, où c0 est une valeur minimale déterminée par l’équation $\tilde{v} = E[ \phi ; \phi > c0 ]$ . Selon le théorème 8.26, une solution à notre problème peut être trouvée dans la classe $\{ Z_r(c) | c \geq c0 \}$ , ce qui implique qu'il nous faut minimiser l'expression suivante sur $c \geq c0$ :

1 \, \lambda_{AV@R_{\lambda}}(-Z_r(c)) = \int q_Z(s) \, ds = \lambda r(c) + (1 - r(c)) \int_1^r \{ q(c) \phi(s) > c \} ds

Cette minimisation est effectuée sous des contraintes spécifiques, et le calcul peut être simplifié davantage en utilisant la reparamétrisation $c = q\phi(t)$ , qui est injective selon nos hypothèses. Par conséquent, nous devons minimiser la fonction $R(t)$ suivante :

R(t) := \lambda_{AV@R_{\lambda}}(-Z_{\rho(t)}) = \lambda \rho(t) + (1 - \rho(t)) \int_1^{(t,1]}(s) \, ds

La minimisation de cette fonction se fait sur $t \geq t0 := F\phi(c0)$ . Si $t \leq 1 - \lambda$ , alors $R(t) = \lambda$ , ce qui ne peut être optimal. Nous montrons ensuite que la fonction $\Psi(t - 1 + \lambda) := \Phi(t)$ admet un maximiseur unique $t_\lambda \in (1 - \lambda, 1]$ , qui définit la solution dès que $t_\lambda \geq t0$ , et à condition que $t_0$ ne donne pas un meilleur résultat.

En continuant cette analyse, nous démontrons que la solution optimale est définie par :

t^* := t_0 \vee t_\lambda

Il est important de noter que cette solution $t_\lambda$ est indépendante de $\tilde{v}$ , tandis que $t_0$ varie de 1 à 0 lorsque $\tilde{v}$ varie de 0 à 1. Ainsi, en prenant $\tilde{v}^*$ comme niveau de capital pour lequel $t_\lambda = t_0$ , nous obtenons une solution optimale sous la forme :

Z^* = 1_{\{\phi > q \phi(t_0)\}} \text{ pour } \tilde{v} \leq \tilde{v}^*, \quad \{ r^* + (1 - r^*) 1_{\{\phi > q\phi(t_\lambda)\}} \} \text{ pour } \tilde{v} > \tilde{v}^*

Cette solution indique que pour des valeurs de $\tilde{v}$ inférieures à un certain seuil $\tilde{v}^*$ , le capital est alloué selon $t_0$ , tandis qu'au-delà de ce seuil, la solution s’adapte à $t_\lambda$ .

Enfin, nous pouvons établir une connexion avec la théorie des tests statistiques robustes. En effet, si nous considérons le problème de maximisation suivant :

\text{maximize } E^*[\psi] \quad \text{subject to } \psi \in R \text{ et } \sup_{Q \in Q_\lambda} E_Q[\psi] \leq \alpha

où $R$ est l'ensemble des fonctions mesurables et $Q_\lambda$ est un ensemble de mesures de probabilité, alors la solution $\psi^*$ à ce problème est un test aléatoire optimal. Ce test peut être réécrit sous la forme d'un test de Neyman-Pearson standard, ce qui est d’un grand intérêt pour la modélisation et l’analyse des risques dans un cadre dynamique.

L'importance de cette approche réside dans la capacité à ajuster les stratégies de couverture sous des contraintes de capital tout en maintenant une minimisation efficace du risque. Elle permet de traiter les problèmes de couverture dans des marchés où des limitations sont imposées sur les investissements, et ce type de solution est crucial pour la gestion des portefeuilles dans des contextes de risques complexes.

Comment peut-on garantir une représentation numérique continue des préférences et quelle est la portée de la représentation de von Neumann–Morgenstern ?

Il est essentiel, dans l'étude des préférences, de comprendre les conditions sous lesquelles une relation d'ordre continue sur un espace topologique peut être représentée numériquement par une fonction continue. L'absence de densité ordinale dans certains sous-ensembles souligne que la connexité topologique joue un rôle fondamental. En effet, dans un espace topologique X, la propriété que tout intervalle contient un élément de l'ensemble dense Z est cruciale ; sans elle, on ne peut espérer que Z soit densément ordonné dans X. Cette observation met en lumière l'importance de l'hypothèse de connexité dans la proposition relative à l'existence d'une représentation numérique continue des préférences.

La théorie générale, établie sans démonstration ici, affirme que si un espace X possède une base dénombrable d'ouverts ou s'il est à la fois séparable et connexe, alors toute préférence continue sur X admet une représentation numérique continue. Cette assertion offre un cadre solide pour construire des fonctions d'utilité cohérentes avec des préférences topologiquement bien structurées.

Plus spécifiquement, lorsqu’on dispose d’une fonction continue U définie sur X et dont la restriction à un sous-ensemble dense Z représente numériquement la préférence restreinte à Z, alors U représente aussi la préférence sur tout X. La démonstration repose sur une double implication entre la préférence et l’ordre strict sur les valeurs de U, exploitant la densité de Z, la continuité de U et la connexité de X. Par l’usage d’arguments de convergence et de transitivité négative, on établit que la fonction U traduit fidèlement la relation d’ordre sur l’ensemble complet.

Dans le contexte économique, lorsque les choix correspondent à des distributions de probabilités sur un espace mesurable, le problème devient celui de caractériser les préférences sur un ensemble convexe M de ces distributions, dites "lotteries". Une représentation numérique U est dite de von Neumann–Morgenstern si elle s’écrit comme l’intégrale d’une fonction u sur la mesure μ : U(μ) = ∫ u(x) μ(dx). Cette forme garantit une affinité d’U sur M, c’est-à-dire que U préserve la structure convexe de M.

Deux axiomes fondamentaux sous-tendent cette représentation. Le premier, appelé axiome d’indépendance, impose que la préférence relative entre deux distributions μ et ν soit maintenue même dans un mélange convex avec une troisième distribution λ, traduisant ainsi une cohérence dans les préférences vis-à-vis de compositions probabilistes. Le second, l’axiome archimédien, affirme qu’entre trois distributions μ ≻ λ ≻ ν, il existe des combinaisons convexes qui "approximent" λ par des mixtures entre μ et ν. Cette condition, qui traduit une forme de continuité dans la préférence, est analogue à un principe archimédien en analyse réelle et permet d’éviter des "sauts" discontinus dans la structure des préférences.

L’axiome d’indépendance se justifie par une interprétation probabiliste simple : un mélange à deux étapes d’un jeu aléatoire est équivalent à un tirage direct d’une distribution composée. Cette cohérence intuitive explique pourquoi si μ est préféré à ν, ce choix doit se maintenir dans tout contexte combinatoire où ces distributions sont impliquées.

La représentation affine qui découle de ces axiomes est unique à une transformation affine positive près, assurant ainsi une normalisation possible sans perte d’information. Toutefois, affinité n’implique pas nécessairement forme de von Neumann–Morgenstern. Néanmoins, pour l’ensemble des distributions simples, celles composées finiment de masses de Dirac, cette forme est assurée, ce qui est crucial pour la modélisation pratique des préférences sous risque.

Cette formalisation rigoureuse établit un pont essentiel entre la topologie, la théorie des probabilités et la théorie économique des choix sous incertitude, offrant une base solide à la modélisation des comportements rationnels.

Il est important de considérer que la continuité des préférences n’est pas seulement une condition technique mais reflète une cohérence comportementale : des préférences discontinues sont souvent difficiles à justifier empiriquement. De plus, l’axiome d’indépendance, bien que fondamental, a fait l’objet de débats quant à sa validité dans des situations réelles, notamment en raison de paradoxes observés en économie comportementale. L’axiome archimédien souligne quant à lui l’importance de l’"approchabilité" des préférences, impliquant que les décisions peuvent être comprises comme des limites de combinaisons de choix extrêmes. Enfin, la structure convexe de l’ensemble des lotteries garantit la pertinence des outils analytiques continus et affines, offrant une compréhension profonde des mécanismes de prise de décision sous incertitude.

Pourquoi les individus violent-ils l’axiome d’indépendance dans leurs choix économiques ?

Le paradoxe d’Allais constitue l’une des critiques les plus profondes et empiriquement fondées du modèle classique de l’utilité espérée tel que formulé par von Neumann et Morgenstern. Ce paradoxe repose sur une simple expérience de choix entre différentes loteries monétaires, dans lesquelles les préférences déclarées par une majorité significative de participants s’avèrent incompatibles avec l’axiome d’indépendance. Maurice Allais fut le premier à observer que de nombreux individus, lorsqu’on leur présente les choix entre μ₁ et ν₁, puis entre μ₂ et ν₂, préfèrent successivement μ₁ à ν₁, mais aussi ν₂ à μ₂. Or, cette double préférence est logiquement incohérente avec le cadre de l’utilité espérée.

David Kahneman et Amos Tversky ont validé empiriquement cette observation : 82 % des participants préféraient μ₁ à ν₁, tandis que 83 % préféraient ν₂ à μ₂. Cela implique que plus de 65 % des individus effectuaient les deux choix simultanément, démontrant une violation explicite de l’axiome d’indépendance. Cet axiome stipule que si un individu préfère un certain résultat à un autre, il devrait conserver cette préférence même lorsque les deux résultats sont mélangés de manière identique avec une troisième alternative. Mathématiquement, cela signifie que si μ₁ ≻ ν₁, alors, pour tout α ∈ (0,1), la combinaison αμ₁ + (1−α)μ₂ devrait être préférée à αν₁ + (1−α)μ₂. Mais si dans le second choix l’individu préfère ν₂ à μ₂, la structure logique s’effondre : une contradiction apparaît dès lors que l’on applique les règles de composition linéaire des distributions.

Ce paradoxe révèle non seulement une limite descriptive de la théorie de von Neumann–Morgenstern, mais aussi une faille normative, si l’on suppose que cette théorie doit modéliser une rationalité idéale. En réalité, l’humain manifeste une rationalité contingente, souvent dépendante du contexte, de l’émotion, du cadre de référence. C’est précisément cette rationalité observée qui a mené Kahneman et Tversky à élaborer la théorie des perspectives, où l’utilité espérée est remplacée par une fonction de valeur centrée sur un point de référence, souvent influencée par les gains ou les pertes récents.

Dans le cadre théorique classique, on suppose que les distributions de résultats monétaires sont connues et décrites par une mesure de probabilité sur un intervalle de ℝ. On définit alors une relation de préférence ≻ sur l’ensemble des mesures, et on suppose qu’elle admet une représentation par une fonction d’utilité espérée U(μ) = ∫u(x)μ(dx), où u est continue, strictement croissante et, dans le cas de l’aversion au risque, strictement concave. Cela permet d’expliquer pourquoi un agent rationnel préfère une somme certaine à une loterie avec une même espérance, mais comportant un risque : c’est l’effet de l’aversion au risque, formalisé par l’inégalité de Jensen.

Cette aversion au risque est quantifiée par le concept de prime de risque, soit la différence entre la valeur espérée m(μ) et l’équivalent certain c(μ), ce dernier étant la somme monétaire certaine telle que l’agent est indifférent entre celle-ci et la loterie μ. Ainsi, la prime de risque ϱ(μ) = m(μ) − c(μ) mesure combien un individu est prêt à sacrifier pour éliminer le risque inhérent à une distribution donnée.

Cependant, cette représentation normative est contredite par de nombreux résultats empiriques : les agents économiques ne suivent pas une seule fonction d’utilité, m

Comment les modèles continus de prix des options convergent-ils vers la solution de Black-Scholes ?

L’étude des modèles continus en finance mathématique, en particulier pour les options européennes, repose sur une compréhension précise de la dynamique des actifs risqués et des techniques d’évaluation des options. L'un des concepts clés dans l’évaluation des options est la volatilité, qui influence directement le prix des options. La fonction Vega, qui mesure la sensibilité du prix d'une option aux changements de volatilité, se définit comme suit :

\frac{\partial V}{\partial \sigma} = x \sqrt{t} \phi(d^+(x, t)), \quad \text{où} \quad \phi(d^+(x, t)) \text{ est la densité de la distribution normale standard.}

L’importance de cette fonction réside dans son rôle dans la gestion des risques liés à la volatilité des actifs sous-jacents aux options. En finance, les "Grecs", qui incluent des mesures comme Δ (Delta), Γ (Gamma), Θ (Théta), ρ (Rho), et V (Vega), sont des outils cruciaux pour comprendre et gérer la sensibilité des prix des options par rapport à différentes variables du marché.

Dans ce contexte, la dérivation des formules associées à des paramètres comme le Rho, le Vanna, le Charm, et la Volga permet une compréhension approfondie de la façon dont les prix des options réagissent aux variations dans différentes conditions de marché. Par exemple, pour une option call européenne, ces dérivées offrent une vue d'ensemble essentielle pour une stratégie de couverture dynamique en fonction des variations des prix des actifs sous-jacents et des paramètres de volatilité.

Le modèle de Black-Scholes repose sur l'idée que le prix d’un actif risqué suit un mouvement brownien géométrique. L’équation fondamentale qui décrit ce processus est la suivante :

dS_t = \sigma S_t dW_t + r S_t dt,

où $S_t$ est le prix de l’actif risqué à un instant donné $t$ , $\sigma$ est la volatilité, et $r$ est le taux sans risque. Cette équation stochastique est fondamentale pour la construction du modèle Black-Scholes, qui permet de déterminer les prix des options en utilisant la stratégie de couverture dynamique.

En particulier, une stratégie de couverture dynamique implique de détenir un portefeuille composé d’une position dans l’actif risqué et dans l’actif sans risque. La stratégie de couverture idéale, dans le cadre de Black-Scholes, permet de répliquer le prix de l'option de manière exacte. Ce portefeuille est constitué de $\Delta(S_t, T-t)$ unités de l'actif risqué et $\xi_0(t)$ unités de l’actif sans risque. La valeur totale de ce portefeuille évolue dans le temps de manière à suivre la dynamique du prix de l'option, ce qui permet de neutraliser le risque associé aux fluctuations du prix de l'actif risqué.

Dans un cadre continu, l’évaluation d’une option devient un problème d’intégration stochastique, où l’on modélise l’évolution des prix des actifs à l'aide de processus de Wiener. L’intégrale d’Itô, utilisée pour représenter la dynamique des portefeuilles de couverture, montre que le portefeuille ne nécessite pas d’apport supplémentaire de capital si les ajustements sont faits de manière continue. L’intégrale d’Itô est utilisée pour représenter l’évolution du prix du portefeuille par rapport aux changements dans les prix des actifs risqués et sans risque. La formulation continue du modèle Black-Scholes permet donc une couverture parfaite dans un cadre idéal.

L'approximation des prix des options dans un modèle discret, lorsque le temps est subdivisé en périodes finies, converge vers la solution continue dans le cadre de la théorie des limites fonctionnelles. Cette convergence est exprimée dans le théorème de convergence faible, qui montre que les distributions de prix des actifs dans un modèle discret convergent vers celles obtenues dans un modèle continu, selon un mouvement brownien géométrique. Cela donne une base mathématique robuste pour la compréhension des modèles stochastiques en finance, reliant les dynamiques des prix dans des cadres continus et discrets.

Un aspect clé de cette convergence est la notion de mesure équivalente de martingale. La mesure sous laquelle le prix de l’actif risqué suit un mouvement brownien géométrique est appelée la mesure de Wiener. Cette mesure est essentielle pour garantir la complétude du modèle et la possibilité de réplication parfaite des options. En termes simples, un actif est dit « martingale » sous une mesure donnée si la valeur attendue de son prix, conditionnellement à l’information disponible à un moment donné, est égale à son prix actuel. Cela implique que le modèle est complet et que les prix des options peuvent être déterminés sans ambiguïté.

En résumé, la convergence des modèles discrets vers les modèles continus, comme le modèle de Black-Scholes, permet de simuler des stratégies de couverture idéales et d’évaluer les options dans un cadre plus précis et mathématiquement rigoureux. L’utilisation de la volatilité comme paramètre clé, combinée à l’analyse des "Grecs", fournit une boîte à outils puissante pour les praticiens de la finance cherchant à optimiser la gestion des risques associés aux options.

Comment les stratégies de couverture pour les réclamations américaines sont-elles définies dans un modèle de marché complet?

Les options américaines, ou réclamations conditionnelles américaines, représentent des contrats qui obligent le vendeur à payer une somme déterminée Cτ ≥ 0 si l'acheteur choisit d'exercer l'option à un moment donné τ. Le choix du moment d'exercice est entièrement laissé à l'acheteur, bien que l'option soit automatiquement exercée à la date d'expiration. L'option ne peut être exercée qu'une seule fois : elle devient invalide dès que l'acheteur en réclame le paiement. Ce concept peut être formalisé comme suit.

Une réclamation conditionnelle américaine est un processus non négatif et adapté C = (Ct)t=0,...,T sur l'espace filtré (Ω, (Ft)t=0,...,T). À chaque instant t, la variable aléatoire Ct représente le paiement de la réclamation conditionnelle si celle-ci est exercée en t. L'horizon temporel T sert de date d'expiration de l'option. Contrairement aux options européennes où le temps d'exercice est fixé à T, le choix du moment d'exercice est plus flexible dans le cas des options américaines. Ainsi, l'acheteur peut exercer l'option à tout instant t ∈ {0, ..., T} en fonction de l'évolution du marché.

Les stratégies d'exercice pour une réclamation conditionnelle américaine sont également flexibles. Un processus de stratégie d'exercice est défini par une variable aléatoire τ, mesurable par rapport à la filtration FT, et prenant des valeurs dans l'ensemble {0, ..., T}. Le paiement obtenu à partir de cette stratégie est Cτ(ω) := Cτ(ω)(ω), où ω ∈ Ω est un élément de l'espace des probabilités.

Prenons un exemple concret. Supposons une option de vente américaine sur un actif i avec un prix d'exercice K > 0. Cette option donne à son détenteur le droit, mais non l'obligation, de vendre l'actif sous-jacent au prix K à tout moment avant l'expiration. L'exercice de l'option à un instant t correspond à un paiement Cput+t := (K − Sit), où Sit est le prix de l'actif au temps t. Inversement, une option d'achat américaine permet à son détenteur d'acheter l'actif au prix K, et si elle est exercée à l'instant t, son paiement est Ccall+t := (Sit − K).

Il est évident que ces deux types d'options sont souvent exercés à des moments différents, notamment parce qu'une option de vente américaine est "dans la monnaie" lorsque l'option d'achat américaine est "hors de la monnaie". De ce fait, il n'existe pas de parité de put-call pour les options américaines, contrairement aux options européennes.

De manière générale, les options américaines peuvent être considérées comme une généralisation des options européennes. Une réclamation conditionnelle européenne peut être convertie en une réclamation américaine en prenant CAt = CE si t = T, et CAt = 0 sinon. Cette transformation simplifie le modèle et permet de mieux comprendre les différences entre ces deux types d'options.

Une autre variante d'option est l'option "Bermuda", qui se situe entre l'option américaine et européenne. L'option Bermuda peut être exercée à des moments spécifiques d'un sous-ensemble déterminé 𝕋 ⊆ {0, ..., T}, par exemple à des dates fixes t ∈ 𝕋. Cela permet à l'acheteur de choisir une fenêtre d'exercice limitée, contrairement à une option américaine où l'exercice peut se faire à tout moment.

Dans un modèle de marché complet, l'objectif pour le vendeur d'une réclamation conditionnelle américaine est de trouver une stratégie de couverture adaptée. Cela signifie qu'il doit prévoir le paiement de la réclamation à tout moment t et être capable de se préparer à tout événement qui pourrait survenir avant l'échéance de l'option. La couverture doit également inclure la possibilité que l'acheteur exerce l'option à tout moment entre t et T. Pour ce faire, une stratégie de couverture de type "Snell envelope" est utilisée.

Le Snell envelope est un processus défini par une récurrence qui permet de déterminer le montant minimal de capital Ut nécessaire à chaque instant t pour couvrir les paiements futurs. Ce processus est défini par la relation suivante :

$U_t = \max(H_t, E[U_{t+1} | F_t])$

où Ht représente le paiement futur de l'option à l'instant t. Le processus de couverture est itéré de manière régressive, et à chaque étape, la couverture doit être suffisante pour prendre en compte les paiements futurs de l'option. À la maturité T, le capital Ut correspond simplement au paiement HT de la réclamation, ce qui est la condition de couverture de base.

Un exemple simple d'application de cette méthode serait celui d'une réclamation européenne. Dans ce cas, le Snell envelope associé à la réclamation américaine sera équivalent à la valeur actuelle de la réclamation européenne. En d'autres termes, la couverture nécessaire pour une option américaine peut être calculée en utilisant la méthode du Snell envelope, qui reflète la valeur attendue de la réclamation en fonction de la filtration des informations disponibles à chaque instant.

Il est essentiel de comprendre que, dans un marché complet, les réclamations américaines peuvent être couvertes efficacement grâce à des stratégies de couverture fondées sur des processus de martingales et de supermartingales. Ces stratégies permettent de minimiser le risque pour le vendeur en ajustant constamment la couverture à l'évolution du marché.

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