Comment la mécanique quantique redéfinit la relation entre la physique et les mathématiques : le débat Einstein-Bohr

Dans la physique classique, la théorie qui représente mathématiquement les objets individuels et leur comportement est la mécanique classique. En revanche, dans la mécanique quantique (QM), qui s'intéresse aux objets quantiques et à leur comportement, les mathématiques jouent un rôle fondamentalement différent, surtout dans les interprétations RWR (Relationnaliste, Variables cachées, Réaliste). Comme Bohr l'a formulé dans son article Atomic Theory and Mechanics, « contrairement à la mécanique ordinaire [classique], la nouvelle mécanique quantique ne traite pas d'une description espace-temps du mouvement des particules atomiques » [4, vol. 1, p. 48].

Cet énoncé a fait l'objet de critiques, particulièrement de la part d'Einstein, qui n'a jamais accepté ce que lui considérait comme une limitation. Son rejet de cette vision a alimenté une longue controverse, où il s'opposait non seulement à l'imprécision inhérente à l'utilisation des probabilités dans la mécanique quantique, mais aussi à l'absence de réalisme quant au fondement ultime de la nature. Pour Einstein, il était inacceptable qu'une théorie fondamentale de la physique repose sur des probabilités plutôt que sur une représentation déterministe de la réalité.

En effet, le recours à la probabilité dans la mécanique quantique, en particulier dans la méthode de Heisenberg, est vu par Einstein comme une impasse épistémologique. Pour lui, une théorie physique ne pouvait pas se limiter à fournir des probabilités sur des événements futurs, elle devait, en principe, décrire les éléments constitutifs de la nature de manière plus réaliste. En revanche, Bohr défendait une vision opposée : il considérait que l'irréductibilité de la probabilité dans la mécanique quantique n'était pas une « renonciation arbitraire à une analyse plus détaillée », mais plutôt « une reconnaissance qu'une telle analyse est, en principe, exclue ».

Einstein, de son côté, voyait dans cette impasse une fatalité qui ne pourrait qu'être transitoire. Il ne croyait pas que la mécanique quantique représenterait un point de départ pour une théorie plus fondamentale, mais pensait plutôt que cette théorie pourrait émerger d'un cadre plus géométrique, à l'instar de la théorie de Maxwell en électromagnétisme ou de la relativité générale. Cependant, il n'envisageait pas que cette théorie puisse naître de la mécanique quantique ou de la théorie quantique des champs, en raison de l'absence de description géométrique de la réalité que celle-ci proposait.

Ainsi, pour Einstein, la mécanique quantique, bien qu'elle ait révélé une part importante de vérité, n'était qu'une étape intermédiaire vers une conception plus complète de l'univers. Il était convaincu que les probabilités, loin d'être une caractéristique intrinsèque de la nature, étaient simplement une limitation de la théorie actuelle. Contrairement à Bohr, qui les acceptait comme un aspect inéluctable de notre interaction avec la nature à l'échelle atomique, Einstein voyait dans cette indéterminité un obstacle à la compréhension profonde de l'univers.

Le débat entre Einstein et Bohr n'était pas simplement une question de fondements théoriques, mais touchait à la manière même dont la physique doit aborder la nature de la réalité. Einstein, tout en acceptant le rôle de la probabilité dans des théories de la physique appliquées à des systèmes complexes, ne pouvait concevoir que la physique fondamentale repose sur une telle indétermination. Il restait convaincu que, bien qu'une théorie comme la mécanique quantique puisse offrir des résultats probants dans des situations particulières, elle ne pourrait jamais offrir une vision réaliste et complète de la structure de l'univers.

Bohr, quant à lui, soutenait que cette approche probabiliste était nécessaire et ne représentait en aucun cas une perte de réalisme, mais plutôt un passage à un niveau de description plus profond et plus adapté aux phénomènes quantiques. Il considérait que les débats sur le réalisme en physique étaient finalement liés à des attentes dépassées, qui ne tenaient pas compte des particularités propres aux objets quantiques et aux relations d'observation.

Ce qui doit être compris ici, c'est que ce conflit de visions entre Einstein et Bohr n'était pas seulement une question de préférence personnelle, mais une réflexion sur la manière dont la science doit évoluer pour rendre compte de la réalité. Einstein et Bohr représentaient deux attitudes fondamentales envers la science : l'une cherchant à garder un lien avec la réalité physique sous-jacente (Einstein), l'autre acceptant les limites imposées par les observations et les résultats expérimentaux, tout en redéfinissant ce que signifie une description complète de la nature (Bohr). La question demeure : cette tension entre indétermination et réalisme pourra-t-elle un jour être résolue, ou devons-nous simplement accepter que la science quantique, telle qu'elle est formulée aujourd'hui, constitue la meilleure description possible des phénomènes à l'échelle atomique et subatomique ?

La continuité et la nature de la réalité quantique : émergence et discontinuité

La question de la continuité dans la physique moderne, notamment à travers la relativité restreinte et la mécanique quantique, se trouve au cœur des débats actuels. Les théories récentes suggèrent que la continuité de l’espace-temps, loin d’être une caractéristique fondamentale de la réalité, pourrait être un phénomène émergent, une propriété qui résulte d’interactions à une échelle subatomique. Selon ces théories, la continuité de l’espace-temps est rompue à l’échelle de Planck, où les lois classiques de la physique ne s’appliquent plus et où la structure discrète de la réalité pourrait émerger. Toutefois, cette rupture n’implique pas une violation de la localité, principe selon lequel les systèmes physiques ne peuvent être influencés que par leur environnement immédiat. En d’autres termes, la discontinuité de l’espace-temps à cette échelle ne remet pas en cause l’idée que l’information se déplace à une vitesse finie et locale.

Dans ce contexte, les théories récentes en géométrie algébrique et en topologie, comme l’utilisation de la théorie des groupes géométriques, offrent des perspectives novatrices. Ces objets mathématiques, qui jusque-là étaient considérés comme discrets, peuvent être interprétés comme des entités géométriques et analysés à l’aide des techniques géométriques et topologiques développées pour les objets continus. Cette approche remet en question la domination de la pensée continue en mathématiques et en physique, qui a façonné la science pendant des siècles, mais aussi l’idée même de la continuité comme une caractéristique de la nature. À travers ces nouvelles théories, comme la topologie étale de Grothendieck, la discontinuité apparaît non pas comme une rupture, mais comme un nouveau cadre d’analyse.

Dans cette optique, les interprétations RWR (Relational Quantum Mechanics) de la mécanique quantique et de la théorie quantique des champs (QFT) vont plus loin en suggérant que la réalité sous-jacente aux phénomènes quantiques n’a ni une nature discrète ni continue, mais est radicalement inconcevable. La constitution ultime de la réalité, qui génère les phénomènes quantiques observés, ne peut être saisie par les catégories habituelles de continuité ou de discontinuité. Par conséquent, que l’on parle d’une théorie continue ou discrète, cela n’a aucune importance tant qu’elle parvient à prédire les probabilités et les statistiques des phénomènes observés, qui eux sont intrinsèquement discrets.

Les mathématiques de la mécanique quantique et de la théorie quantique des champs, tout en reposant sur un formalisme continu, permettent néanmoins d’interpréter des phénomènes qui sont perçus comme discrets. Par exemple, l’utilisation des espaces de Hilbert en mécanique quantique permet de relier les fonctions continues de la physique classique à des opérateurs qui prédisent les valeurs des observables comme la position ou la quantité de mouvement, sans jamais les mesurer simultanément en raison des relations d’incertitude. Ce changement de paradigme, introduit par Heisenberg et développé par des figures comme Dirac, constitue une avancée décisive dans la manière dont les concepts géométriques et algébriques sont utilisés ensemble pour comprendre les phénomènes quantiques.

Dirac, en particulier, a joué un rôle crucial en combinant l’algèbre et la géométrie dans la formulation de la QED (quantum electrodynamics). Ses travaux ont permis de lier la puissance formelle de l’algèbre à l’intuition géométrique nécessaire pour saisir les phénomènes quantiques. Dans ce cadre, les espaces de Hilbert, bien que continus, permettent une représentation géométrique des systèmes quantiques à travers des variables continues, mais toujours dans un espace abstrait, infiniment plus dense que celui de la relativité classique. Ainsi, plutôt que de considérer les phénomènes quantiques comme une simple abstraction mathématique, la méthode de Dirac ouvre la voie à une description géométrique, tout en préservant la rigueur de l’algèbre.

Les propriétés des particules élémentaires, telles qu’elles sont définies dans la mécanique quantique, sont également sujettes à une distinction subtile : bien que les particules de même type soient indiscernables, leur localisation, leur énergie, leur moment et d’autres propriétés observables peuvent les rendre distinctes. Cette idée, bien que paradoxale à première vue, s’explique par le fait que ces propriétés ne sont jamais attribuées aux particules en tant qu’entités indépendantes, mais sont plutôt le résultat des effets mesurés dans un appareil expérimental. Par conséquent, la notion de particule élémentaire n’est pertinente que lors de l’observation, et l’identification d’un même électron, par exemple, dans deux mesures successives reste une idéalisation statistique.

Ainsi, au-delà des calculs mathématiques et des formalismes algébriques, il est essentiel de comprendre que la nature de la réalité quantique échappe à une catégorisation simple en termes de continuité ou de discontinuité. Ce n’est qu’au niveau de l’observation que les concepts de particules et de phénomènes quantiques prennent sens, et cela fait partie d’un cadre théorique plus large, qui transcende les frontières entre géométrie, algèbre et physique quantique. Les théories modernes remettent en question notre intuition habituelle sur la nature de la réalité et nous invitent à repenser les bases de notre compréhension du monde quantique.

Comment la physique théorique moderne redéfinit-elle les relations entre mathématiques et physique ?

Les théories de la physique moderne, telles que la théorie des cordes et la M-théorie, sont souvent accusées de s'éloigner des racines de la physique expérimentale et de se transformer en pure mathématique. Ces théories sont parfois critiquées pour leur manque de vérification expérimentale et la difficulté de les relier à des données observables. Cependant, cette critique néglige certains aspects essentiels du développement de ces théories. En réalité, la frontière entre la physique théorique et les mathématiques s’est devenue de plus en plus floue, ce qui soulève des questions profondes sur la nature même de la recherche scientifique.

L’un des exemples les plus frappants de cette évolution est la médaille Fields attribuée à Edward Witten en 1990, qui a suscité un débat intense, car il n’a jamais prouvé de théorème formel. Pourtant, il a introduit des concepts mathématiques novateurs qui ont profondément influencé la théorie des cordes et la M-théorie. Cette situation soulève un point crucial : les mathématiques ne se réduisent pas à des démonstrations formelles, et les théoriciens des cordes, comme Witten, ont contribué à enrichir le domaine mathématique, même si cette contribution ne peut pas toujours être qualifiée de "preuve" au sens strict.

Les relations entre physique et mathématiques dans le cadre de la théorie des cordes ne sont pas simplement abstraites, mais servent à générer de nouvelles intuitions physiques. Par exemple, bien que les théories de la gravité quantique n'aient pas encore été validées expérimentalement, elles ont ouvert des perspectives fascinantes, comme l’idée de la discrétisation de l’espace-temps. Ces théories, bien que principalement hypothétiques à ce stade, ont déjà permis de formuler des concepts qui pourraient être utiles dans des recherches futures, même si leur pertinence physique reste à prouver.

Dans ce contexte, la physique théorique moderne diffère profondément des approches traditionnelles. Alors que la physique classique ou la relativité se basaient sur la représentation mathématique des objets physiques, la physique quantique, et notamment la mécanique quantique (QM) et la théorie quantique des champs (QFT), privilégie la construction de modèles mathématiques abstraits capables de prédire les résultats des expériences. Cette approche a transformé la nature même des mathématiques en physique, car ces mathématiques ne visent plus à représenter directement la réalité, mais à fournir des prédictions probabilistes sur les phénomènes observés.

Ce changement de paradigme trouve ses racines dans l'invention de la mécanique quantique par Heisenberg. En effet, la physique théorique moderne, et en particulier la théorie quantique, s’éloigne de l’idée d’une représentation fidèle de la nature au profit de la création de structures mathématiques permettant de prédire les événements physiques à travers des probabilités. Cela soulève une question fondamentale : si les mathématiques sont désormais divorces de la représentation directe de la réalité physique, que reste-t-il de l’essence même de la physique ?

Une autre facette de cette évolution est la manière dont les théories physiques, une fois développées, peuvent devenir une partie intégrante des mathématiques modernes. C’est le cas, par exemple, de la théorie de Yang-Mills, qui, bien qu'initialement issue de la théorie quantique des champs, a été transformée par des mathématiciens comme Donaldson et Atiyah en objets d'étude purement mathématiques, indépendants de leur origine physique. Ainsi, certains travaux qui utilisent des concepts de physique, comme la théorie de Yang-Mills, s’éloignent tellement de leur base physique qu’ils deviennent des objets d’analyse mathématique autonomes, comme le montre l’ouvrage de Donaldson.

Ce processus met en lumière la question complexe de la frontière entre la physique et les mathématiques. Alors que certains chercheurs, comme Seiberg et Witten, continuent à explorer la viabilité physique des théories des cordes et des branes, il est possible que d'autres approches plus éloignées de la physique, comme certaines branches des mathématiques discrètes, offrent des solutions inattendues aux défis posés par la théorie quantique et la gravité quantique.

Le rôle des mathématiques dans ces théories est d’autant plus crucial que la physique moderne cherche à intégrer la gravité quantique et, potentiellement, à unifier les quatre forces fondamentales de la nature. L’un des défis les plus ardus est de développer une théorie mathématique adéquate des relations entre la topologie continue des variétés quadridimensionnelles et les invariants algébriques discrets. Ce problème, qui semble presque insoluble, pourrait bien nécessiter une approche nouvelle des mathématiques discrètes, en particulier si l'on prend en compte l’idée que l’espace-temps lui-même pourrait être discret à l’échelle quantique, comme le suggérait Riemann bien avant que la mécanique quantique n’émerveille les physiciens.

Il est encore incertain si une telle approche sera fructueuse, mais elle laisse ouverte la possibilité d’une réconciliation entre la continuité et la discontinuité dans la description de l’univers à des échelles extrêmes. Les mathématiques continues utilisées en physique quantique et celles employées en physique classique devront peut-être coexister, chacune avec ses propres méthodes, pour décrire un univers où la granularité de l’espace-temps à très petites échelles reste à découvrir.

L'importance de la géométrie absolue dans les espaces non euclidiens

L'étude de la géométrie absolue dans des espaces non euclidiens permet d'élargir notre compréhension des propriétés géométriques au-delà du cadre traditionnellement euclidien. Les théorèmes qui sont généralement démontrés dans un contexte euclidien trouvent souvent des échos dans des géométries plus générales, comme celles qui émergent des axiomes d'Ahrens. Ces axiomes, bien que n'étant pas systématiquement validés par des démonstrations formelles dans ce cadre, semblent offrir une structure suffisamment robuste pour traiter des résultats déjà connus dans des géométries plus classiques. Le théorème de Commandino, par exemple, pourrait bien être valable dans un cadre absolu si l'on ajoute à ce système l'existence et l'unicité des points médians, un concept clé qui enrichit l'approche géométrique.

Cependant, bien que les théorèmes euclidiens trouvent parfois des prolongements naturels dans ces géométries plus larges, la démonstration de tels résultats reste, pour la plupart, hypothétique dans ce cadre plus général. Cette situation laisse place à de nombreux défis ouverts, et plusieurs problèmes géométriques, classiques ou contemporains, restent encore sans réponse dans le contexte des géométries absolues. Parmi ces questions non résolues, certaines se rapportent à des propriétés spécifiques des triangles et des constructions géométriques, telles que la congruence des bissectrices internes ou l'existence de certains points particuliers sur le plan.

Par exemple, une question ouverte dans cette géométrie est celle de savoir si, pour deux triangles ayant des bissectrices internes congruentes, ces triangles sont nécessairement congruents, une propriété qui a été démontrée dans le cadre euclidien. De même, la possibilité d'identifier un point P tel que l'angle ∠APB soit de 120 degrés entre deux points A et B demeure un problème sans réponse définitive dans ce cadre plus large.

Dans ce contexte, il est essentiel de noter que certains résultats géométriques simples en géométrie euclidienne, comme ceux relatifs aux propriétés des triangles équilatéraux, peuvent ne pas s'appliquer de manière triviale dans une géométrie absolue. Cela est dû à la nature de ces espaces, où les propriétés des figures géométriques peuvent varier considérablement en fonction des axiomes sous-jacents et des transformations qui y sont permises.

Il est également intéressant de noter que la géométrie absolue, qui se distingue par son absence de référence à des objets spécifiques tels que les mesures d'angles ou de distances, pourrait offrir une alternative potentielle aux méthodes algorithmiques traditionnelles qui dominent aujourd'hui l'enseignement des mathématiques. Les géométries absolues offrent en effet un cadre qui valorise une approche plus intuitive et créative de la géométrie, loin de l'automatisation des processus algébriques.

Cela est particulièrement pertinent dans le contexte éducatif, où la géométrie a souvent été reléguée à un rôle secondaire ou transformée en une forme de géométrie analytique, basée sur des outils algébriques. Dans cette perspective, la géométrie absolue pourrait jouer un rôle important dans la réhabilitation de l'enseignement de la géométrie, en permettant aux élèves de développer une pensée géométrique plus abstraite et plus rigoureuse. Cependant, cela nécessiterait un changement radical dans la manière dont les mathématiques sont enseignées, loin des approches strictement procédurales qui cherchent à obtenir des réponses précises et rapides, au lieu de favoriser une compréhension plus profonde des structures mathématiques.

Il est également crucial de souligner que la géométrie absolue n'est pas une fin en soi, mais un outil puissant qui permet de reformuler et d'explorer des concepts géométriques dans des contextes plus généraux et plus flexibles. Par exemple, des résultats liés à la géométrie hyperbolique et d'autres formes de géométrie non euclidienne peuvent être compris dans ce cadre, en particulier lorsqu'il s'agit de discuter des limites et des propriétés fondamentales des objets géométriques.

De plus, une caractéristique essentielle de la géométrie absolue est sa capacité à aborder des problèmes de manière plus synthétique et moins dépendante des calculs, en offrant ainsi un terrain fertile pour la recherche et la découverte. Cette approche ouvre la voie à de nouvelles explorations théoriques et pratiques, qui pourraient bien redéfinir les limites de notre compréhension de la géométrie au-delà des paradigmes classiques.