Les équations d'Einstein, qui gouvernent la gravité dans le cadre de la relativité générale, sont souvent perçues comme une extension de la théorie newtonienne de la gravitation. Cependant, bien que les deux théories visent à expliquer les phénomènes gravitationnels, elles diffèrent fondamentalement dans leur structure et leur approche.

En théorie newtonienne, la gravité est décrite comme une force agissant à distance, qui dépend de la masse des objets et de la distance entre eux. Dans ce cadre, la trajectoire d'un objet en mouvement, ou géodésique, est déterminée par le champ gravitationnel, qui est une fonction linéaire de la masse des corps et de la distance entre eux. Ce champ est représenté par une fonction scalaire, le potentiel gravitationnel, et la dynamique des objets en mouvement est régie par la première dérivée de ce potentiel.

Cependant, dans le contexte de la relativité générale, la gravité est interprétée différemment : elle résulte de la courbure de l'espace-temps elle-même. Les composants de la métrique, qui déterminent cette courbure, jouent le rôle de l'analogue du potentiel gravitationnel dans la théorie newtonienne. Mais contrairement à cette dernière, les équations d'Einstein sont non linéaires et comportent des termes de dérivées d'ordre supérieur. Cela rend la structure des équations plus complexe, et leur dérivation ne suit pas un raisonnement direct à partir de simples analogies avec la mécanique newtonienne.

Le tenseur de Riemann, qui mesure la courbure de l'espace-temps, est un objet mathématique de rang 4, tandis que le tenseur énergie-impulsion, qui représente la distribution de la matière, est de rang 2. Si l'on cherchait à relier directement le tenseur de Riemann à une fonction construite à partir du tenseur énergie-impulsion, cela entraînerait une dépendance quadratique de la densité de matière, ce qui compliquerait le passage à la gravité newtonienne dans la limite des faibles champs gravitationnels. C'est pourquoi il est plus judicieux d'identifier un autre objet, plus adapté à ce rôle : le tenseur de Ricci.

Le tenseur de Ricci, défini comme une contraction du tenseur de Riemann, est linéaire par rapport aux dérivées secondes de la métrique. C'est un candidat idéal pour la formulation des équations du champ, car il satisfait la condition de symétrie et obéit à une identité, connue sous le nom d'identité de Bianchi, qui permet de maintenir la cohérence des équations avec les lois de la conservation de l'énergie et de la matière. C'est ainsi que l'on arrive à la forme la plus simple et la plus élégante des équations d'Einstein : Rαβ−12gαβR=κTαβR_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R = \kappa T_{\alpha\beta}, où RαβR_{\alpha\beta} est le tenseur de Ricci, RR la courbure scalaire, et TαβT_{\alpha\beta} le tenseur énergie-impulsion. Cette formulation, bien que très différente des lois newtoniennes, coïncide avec elles dans la limite des faibles champs gravitationnels, lorsque les effets relativistes sont négligeables.

La propagation de la courbure de l'espace-temps, ou des ondes gravitationnelles, n'est pas capturée par le tenseur de Ricci, qui disparaît dans le vide (là où il n'y a pas de matière). En revanche, la partie de la courbure liée à la propagation des ondes gravitationnelles est décrite par le tenseur de Weyl, qui est une combinaison du tenseur de Riemann et d'autres termes relatifs à la symétrie de l'espace-temps. Le tenseur de Weyl représente ainsi la partie du champ gravitationnel qui se propage dans le vide, indépendamment de la présence de sources matérielles.

Cette structure, quoique théoriquement élégante, n'est pas simple à appréhender. En effet, Einstein a mis près de dix ans pour développer ces équations. Le raisonnement qui l’a mené à leur formulation, bien que clair dans son abstraction, a également fait l’objet de révisions et d’interprétations multiples. Il est important de noter que la relativité générale, bien qu’étant une théorie géométrique de la gravitation, n’est pas la seule à pouvoir découler des principes de la relativité restreinte et de la mécanique newtonienne. D’autres théories géométriques de la gravité peuvent être construites en modifiant certaines hypothèses intuitives de départ, donnant ainsi lieu à des équations alternatives. Toutefois, la relativité générale s’est imposée par son succès expérimental, validé par les tests observationnels, alors que les autres théories ont soit été réfutées, soit conduisent à des corrections marginales par rapport aux prédictions de la relativité générale.

Les développements qui suivirent la publication des équations d’Einstein ont montré que cette théorie, bien qu'extrêmement puissante et élégante, ne repose pas sur une méthode déductive absolue et formelle. David Hilbert, qui travaillait en parallèle sur le même sujet, a également abouti à une formulation correcte des équations d'Einstein, mais par une approche différente, fondée sur un principe variationnel. Hilbert a postulé que la gravité devait être décrite par un principe d'action, où la fonctionnelle à minimiser dépendrait des dérivées de la métrique de l’espace-temps. Ce programme axiomatique a permis de formaliser les équations d’Einstein en les rendant compatibles avec la structure logique des théories physiques modernes. Cependant, comme pour l’approche d’Einstein, de nombreuses questions demeurent ouvertes quant à l’interprétation physique de ces postulats.

Il est crucial de noter que bien que les équations d'Einstein aient été proposées par intuition et ont été corroborées par des tests expérimentaux, leur déduction formelle repose sur des principes qui, bien que logiquement cohérents, demeurent en partie ouverts à l'interprétation. L’idée même que la gravité puisse être une manifestation de la courbure de l’espace-temps, plutôt qu’une force agissant à distance, est l’un des éléments les plus révolutionnaires de la théorie d’Einstein.

Comment percevoir un rayon lumineux dans un système de référence accéléré ?

Lorsqu'un rayon lumineux traverse un véhicule spatial en mouvement, la perception de sa trajectoire varie en fonction de la vitesse et de l'accélération du véhicule. Supposons un véhicule spatial traversant un rayon lumineux qui entre par la fenêtre W et se projette sur un écran situé de l'autre côté du véhicule. Si ce véhicule est au repos, le rayon lumineux entrant par W frapperait l'écran au point A. Cependant, puisque le véhicule est en mouvement, avant que le rayon n'atteigne l'écran, le véhicule aura légèrement déplacé sa position, et le point lumineux sur l'écran apparaîtra alors au point B.

Dans cette situation, l'observateur qui se trouve dans un référentiel au repos percevra le rayon lumineux comme se déplaçant en ligne droite. Toutefois, lorsque le véhicule se déplace avec une vitesse constante, le trajet entre W et B restera une droite. En revanche, si le véhicule subit une accélération, la trajectoire du rayon lumineux ne sera plus rectiligne, mais courbe. Ainsi, la courbure observée dans la trajectoire du rayon lumineux pourrait être interprétée comme étant similaire à l'effet observé sous l'influence d'un champ gravitationnel. En effet, la courbure des trajectoires des corps célestes pourrait être expliquée non pas par l'existence de forces gravitationnelles spécifiques, mais par une modification de la géométrie de l'espace en raison de la présence de gravité. Cette interprétation conduit à l'idée que la géométrie de l'espace, dans un tel cadre, devient non euclidienne.

Dans cette optique, si nous abandonnons l'idée traditionnelle de forces gravitationnelles qui courbent les trajectoires des corps, nous pouvons envisager que la gravité soit une manifestation de la déformation de l'espace lui-même. En d'autres termes, les trajectoires des objets en mouvement sont dictées par une géométrie modifiée de l'espace-temps, qui n'est plus celle de l'espace euclidien que l'on connaissait. La théorie qui permet de modéliser cette géométrie complexe est la géométrie différentielle, qui constitue la base mathématique de la relativité générale. La géométrie différentielle offre un cadre qui permet d'analyser les propriétés d’espaces non euclidiens, et c'est dans ce cadre que nous devons chercher à comprendre les phénomènes liés à la gravité.

Le défi qui se pose ici est d’accepter que les notions fondamentales qui sous-tendent la physique classique, comme la notion de ligne droite, ne sont plus valables dans des espaces où la géométrie est déformée. Cela nous invite à abandonner les concepts de forces invisibles et à comprendre la gravité comme une propriété intrinsèque de la structure de l'espace-temps lui-même. La géométrie différentielle, à travers les courbes géodésiques et le transport parallèle, permet de formaliser cette déformation et d’en comprendre les implications physiques.

Les géodésiques, dans un espace courbe, sont les analogues des lignes droites dans un espace plat. Ce sont les trajectoires les plus courtes entre deux points, et ce sont elles que les objets suivent lorsqu'ils évoluent dans un champ gravitationnel. Ainsi, comprendre comment ces géodésiques se comportent permet de saisir la manière dont la gravité influence le mouvement des corps. Sur une surface courbée, le transport parallèle d’un vecteur permet d’explorer comment les directions se déplacent tout en maintenant un certain angle constant par rapport à la surface. Cela illustre l’idée fondamentale de la relativité générale : l’espace-temps n’est pas plat, mais courbe, et cette courbure affecte la trajectoire des objets qui y évoluent.

Le concept de transport parallèle prend une importance cruciale lorsqu'il s'agit de comprendre les déformations de la trajectoire d'un rayon lumineux sous l'effet d'un champ gravitationnel. Par exemple, si l'on imagine un rayon lumineux se déplaçant sur une sphère, comme celle de la Terre, la direction du rayon change constamment à mesure qu'il suit une géodésique, en fonction de la courbure de la surface. Ce phénomène, que l’on peut visualiser en traçant un vecteur tangent au rayon lumineux et en le transportant parallèlement, montre comment la courbure de l'espace-temps influe sur la trajectoire de la lumière.

Il est important de noter que la manière dont ces déformations de l'espace-temps sont perçues varie selon la présence de mouvement accéléré ou de champs gravitationnels. Ce que la relativité générale met en lumière, c’est que la gravité ne doit pas être vue comme une force agissant sur un objet, mais plutôt comme une manifestation de la manière dont l’espace-temps lui-même est courbé par la présence de masse et d'énergie. En ce sens, comprendre la gravité devient une question de comprendre comment l'espace-temps réagit aux objets qui y évoluent et comment cette interaction façonne les trajectoires de ces objets.

Ainsi, la relativité générale nous incite à repenser des concepts fondamentalement ancrés dans la physique classique, et à adopter une vision de l'univers où la géométrie elle-même est dynamique et influence le mouvement des objets. La relativité générale nous permet d’aller au-delà des forces invisibles pour envisager un univers où les objets suivent des trajectoires dictées par la structure même de l’espace-temps. Cela implique une reconfiguration complète de notre vision de l'univers, passant de la simple mécanique newtonienne à une vision beaucoup plus complexe et profondément interconnectée des phénomènes physiques.

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