Comment prouver l'absence d'opportunités d'arbitrage dans un modèle de trading

Dans le contexte d'un processus de stratégie de trading, il est essentiel d'étudier la condition selon laquelle la valeur du processus $V_T$ à la date finale $T$ doit être supérieure ou égale à 0, presque sûrement, sous une probabilité $P$ . La proposition 9.6 montre que, dans ce cadre, $V$ constitue un supermartingale sous $P$ . Ce fait implique que $V_0 \geq \mathbb{E}[\tilde{V}_T]$ , ce qui exclut que $V$ puisse être le processus de valeur d'une opportunité d'arbitrage.

L'absence d'opportunités d'arbitrage dans le modèle de trading $S$ est une condition cruciale, que nous pouvons relier à l'absence d'opportunités d'arbitrage dans chaque modèle à une période. Cela signifie qu'il n'existe pas de stratégie $\xi_t \in S_t$ telle que $\xi_t \cdot (X_t - X_{t-1})$ produise un gain positif non trivial. Ce raisonnement permet d'appliquer les techniques de la section 1.6. Pour clarifier ce point, définissons l'ensemble $S^\infty$ , constitué de toutes les stratégies $\xi \in S$ qui sont bornées. De la même manière, nous définissons $S^\infty_t$ comme l'ensemble des stratégies $\xi_t$ à une période donnée.

La première proposition essentielle est la suivante : les opportunités d'arbitrage sont absentes dans $S$ si et seulement si, pour chaque $t$ , il n'existe pas de stratégie $\xi_t$ telle que $\xi_t \cdot (X_t - X_{t-1}) \geq 0$ presque sûrement, et avec une probabilité strictement positive pour que ce produit soit strictement positif. Ceci constitue une condition équivalente aux propriétés de $S^\infty$ , ce qui nous amène à une conséquence importante : pour une mesure de probabilité $\tilde{P} \approx P$ , la valeur de chaque stratégie dans $S^\infty$ doit être un supermartingale sous $\tilde{P}$ .

La structure de ces mesures de probabilité se complexifie davantage lorsque nous analysons les ensembles convexes $K_S$ associés à chaque $t$ , définis comme l'ensemble des produits $\xi_t \cdot (X_t - X_{t-1})$ , où $\xi_t \in S_t$ . La condition d'absence d'arbitrage implique que l'intersection de ces ensembles avec $L_0^+$ , l'ensemble des variables aléatoires non négatives, ne contient que le vecteur nul. Cette condition géométrique est liée à la convexité de l'ensemble $S$ , ce qui est au cœur de la théorie de l'arbitrage.

Lorsque cette condition est vérifiée, la suite des processus de valeur associée à chaque stratégie peut être manipulée via une construction inductive, en utilisant la méthode de la récursion arrière. Cela nous permet de définir des mesures $\tilde{P}_t$ qui sont équivalentes à la mesure $P$ et qui possèdent des densités bornées par rapport à $P$ . Ces densités jouent un rôle central dans le cadre de l'absence d'arbitrage, car elles assurent que les stratégies optimales peuvent être calculées et les opportunités d'arbitrage exclues de manière formelle.

Une fois que nous avons établi l'existence de ces mesures de probabilité équivalentes, nous pouvons poursuivre en prouvant que la condition $K_S \cap L_0^+ = \{0\}$ garantit l'absence d'arbitrage dans $S$ . Cela implique également que pour chaque période $t$ , il existe une stratégie $Z_t \in L^\infty$ telle que $Z_t > 0$ presque sûrement et que l'espérance conditionnelle de $Z_t \cdot (X_t - X_{t-1})$ soit inférieure ou égale à zéro. Ce résultat est fondamental dans la démonstration de l'absence d'arbitrage dans un modèle de trading sous contraintes.

L'approfondissement de cette approche théorique passe par la reconnaissance que la condition d'absence d'arbitrage n'est pas seulement liée à la structure des prix ou à la dynamique des processus de trading, mais également aux choix de mesures probabilistes et à la manière dont ces mesures modèlent le comportement des actifs financiers. Ces éléments sont essentiels pour comprendre que, même dans des marchés complexes ou sous des contraintes spécifiques, l'absence d'opportunité d'arbitrage est un principe robuste qui garantit l'efficience du marché.

Les mesures $\tilde{P}_t$ permettent d'analyser les évolutions futures du marché de manière probabiliste, en contrôlant à chaque étape les stratégies potentielles qui peuvent émerger sous des conditions de non-arbitrage. Cela fournit non seulement un cadre théorique pour la gestion des risques, mais aussi une méthode pour détecter et prévenir les déviations susceptibles de conduire à des arbitrages.

Comment le Marché Équilibré Fait Face à la Diversité des Préférences des Agents Économiques ?

Dans une économie de marché, l'équilibre est atteint lorsque l'offre et la demande se rencontrent de manière à ce que tous les agents économiques puissent maximiser leur utilité sous les contraintes budgétaires données. Cette notion fondamentale, cependant, devient bien plus complexe lorsque les agents présentent des préférences variées. Les préférences des agents, représentées par des fonctions d’utilité, peuvent être structurées de façon à refléter différents niveaux d'aversion au risque, ce qui, à son tour, modifie la nature de l'équilibre de marché.

Dans ce contexte, imaginons une situation où un agent $a$ choisit d'investir dans un portefeuille composé d'options d'achat (call options) avec différents prix d'exercice, notés $c_i$ . Ce portefeuille peut être vu comme une combinaison linéaire d'options d'achat ayant des prix d'exercice successifs, ce qui permet de prendre une position longue sur une option d’achat avec un strike $c_{i-1}$ tout en prenant une position courte sur une option avec un strike $c_i$ . Ces stratégies sont représentées par des partages de portefeuilles qui, selon les préférences de l'agent, maximisent son utilité en fonction de son aversion au risque.

Prenons un exemple simple. Supposons que tous les agents aient des fonctions d’utilité HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), spécifiées comme suit :

I^+_a(y) = \frac{y}{1 - \gamma_a} \quad \text{avec} \quad 0 \leq \gamma_a < 1.

Sous cette hypothèse, pour une densité de prix donnée $\phi$ , la demande optimale de l'agent prendra la forme :

X_a = I^+_a(c_a \phi) = b_a \phi^{1 - \gamma_a},

où $b_a$ est une constante positive. Dans le cas où tous les agents ont la même aversion au risque, i.e., $\gamma_a = \gamma$ pour tous $a \in A$ , la condition de marché équilibré se traduit par la relation suivante :

W = \sum_{a \in A} X_a = \left( \sum_{a \in A} b_a \right) \phi^{1 - \gamma}.

Cela implique que la densité de prix d'équilibre $\phi^*$ doit avoir la forme :

\phi^* = Z W^{\gamma - 1},

où $Z$ est une constante de normalisation.

Cependant, lorsque l'aversion au risque varie d'un agent à l'autre, la structure de l'équilibre devient plus complexe. Dans ce cas, la demande des agents $X_a$ n'est plus simplement linéaire, mais elle dépend de manière non linéaire du portefeuille de marché $W$ . Cela peut se traduire par des fonctions concaves ou convexes, selon l'agent considéré. Par exemple, dans un scénario où $A = \{1, 2\}$ et où les fonctions d’utilité des agents sont respectivement $u_1(x) = \sqrt{x}$ et $u_2(x) = \log x$ , avec $\gamma_1 = \frac{1}{2}$ et $\gamma_2 = 0$ , la demande de chaque agent est différente. L'agent 1, avec une fonction d'utilité concave, montre une aversion au risque croissante, tandis que l'agent 2, avec une fonction logarithmique, affiche une aversion au risque beaucoup plus faible.

La relation entre les allocations de ces agents dans un équilibre de marché est donnée par une équation quadratique dans $X_2$ . En résolvant cette équation, on détermine les allocations optimales $X_1$ et $X_2$ des deux agents. La densité de prix $\phi^*$ qui en résulte doit également être ajustée pour refléter ces demandes hétérogènes :

\phi^* = Z \left( \sqrt{c} + W - \sqrt{c} \right).

Ces calculs sont essentiels pour établir la condition de l'équilibre dans un marché où les préférences des agents diffèrent. Le rôle des prix, la structure des demandes et les interrelations entre les choix des agents deviennent ainsi un domaine complexe qui nécessite une compréhension approfondie des mathématiques sous-jacentes et des propriétés de la fonction d’utilité.

Dans un cadre plus général, les conditions de l'existence d'un équilibre d'Arrow–Debreu (comme celles formulées dans le théorème 3.62) stipulent que pour que cet équilibre existe, certaines conditions doivent être remplies. En particulier, les fonctions d’utilité doivent être telles que :

\limsup_{x \to 0} u_a(x) < \infty \quad \text{et} \quad E[u_a(W)] < \infty,

ce qui garantit que la demande des agents est bien définie même lorsque le revenu ou la richesse tend vers zéro. Ces hypothèses sont nécessaires pour éviter des comportements d'inflation ou de déflation extrêmes sur les marchés, où les prix deviendraient infiniment grands ou petits. Dans le cadre de l'équilibre d'Arrow–Debreu, on considère également les allocations $X$ comme étant $\lambda$ -efficaces, maximisant une moyenne pondérée des utilités individuelles des agents, et donc l'utilité sociale agrégée.

L'un des résultats fondamentaux qui découle de ces modèles est le théorème du bien-être, qui stipule qu'un équilibre de marché est optimal au sens de Pareto. Cela signifie qu'il n'existe pas de réallocation qui améliore le bien-être d'un agent sans diminuer celui d'un autre. Cette condition est cruciale pour comprendre les mécanismes d’allocation des ressources dans une économie et l’impact des préférences hétérogènes sur les choix collectifs.

Il est également important de souligner que, bien que le modèle d'équilibre d'Arrow–Debreu repose sur des hypothèses relativement simplifiées, comme la rationalité des agents et la concavité des fonctions d’utilité, ces conditions sont souvent difficiles à satisfaire dans le monde réel. Les préférences des agents peuvent être affectées par des facteurs exogènes, des biais cognitifs, et des asymétries d'information, ce qui rend l'existence d'un véritable équilibre de marché difficile à réaliser dans la pratique. De plus, la prise en compte de facteurs comme la gouvernance des marchés, les interventions étatiques ou les crises économiques peut modifier de manière significative les résultats théoriques des modèles d’équilibre.

Qu’est-ce qu’un ensemble stable de mesures de probabilité équivalentes et pourquoi est-ce fondamental en finance ?

La notion d’ensemble stable de mesures de probabilité équivalentes, souvent appelée stabilité par collage (pasting) ou m-stabilité, joue un rôle central dans la théorie moderne de la finance mathématique, notamment dans l’étude des mesures martingales équivalentes et des instruments financiers contingents américains. Un ensemble $Q$ de mesures de probabilité équivalentes sur $(\Omega, \mathcal{F})$ est dit stable si, pour deux mesures quelconques $Q_1, Q_2 \in Q$ et un temps d’arrêt $\sigma$ dans l’ensemble des temps d’arrêt $\mathcal{T}$ , la mesure obtenue par collage (pasting) des deux mesures en $\sigma$ appartient également à $Q$ . Ce collage consiste à utiliser $Q_1$ avant $\sigma$ et $Q_2$ après $\sigma$ , ce qui formalise la capacité à reconstruire de nouvelles mesures à partir d’anciennes tout en restant dans l’ensemble considéré.

La stabilité est donc une condition d’homogénéité temporelle et de cohérence dynamique des mesures, indispensable à la formulation rigoureuse de l’arbitrage sans risque dans un cadre stochastique dynamique. Le cas le plus important est celui de la classe $\mathcal{P}$ des mesures martingales équivalentes, pour laquelle la stabilité garantit qu’en tout temps, le marché financier peut être modélisé sans arbitrage, même après des événements d’arrêt aléatoires.

L’exemple de la stabilité de $\mathcal{P}$ repose sur la propriété essentielle du théorème d’arrêt de Doob, permettant d’exprimer la valeur conditionnelle d’un processus martingale au temps $s \leq t$ comme une double espérance conditionnelle, d’abord à partir de la mesure collée puis à partir des mesures initiales, ce qui conserve la propriété de martingale sous la nouvelle mesure collée. Cette propriété se traduit aussi par la stabilité des espaces $L^1$ associés, assurant la finitude des espérances nécessaires à la gestion des instruments financiers.

Une caractérisation alternative, plus constructive, de la stabilité repose sur la possibilité de représenter tout temps d’arrêt $\sigma$ prenant au plus une valeur distincte de $T$ sous la forme $\sigma = t \mathbf{1}_B + T \mathbf{1}_{B^c}$ , pour un certain $B \in \mathcal{F}_t$ . Le collage de deux mesures équivalentes s’écrit alors explicitement via les mesures conditionnelles données par $Q_2$ sur $\mathcal{F}_t$ pondérées par l’indicatrice de $B$ , ce qui permet d’exhiber les mesures collées comme intégrales conditionnelles sur des événements partitionnant l’espace probabiliste.

Cette formalisation rigoureuse sous-tend la définition et l’analyse des mesures dynamiques cohérentes, nécessaires à l’étude des mesures de risque dynamique et des stratégies optimales de choix de temps d’arrêt. La stabilité garantit l’existence de suites de mesures approchant des bornes essentielles inférieure et supérieure sur des fonctions d’utilité ou des valeurs optimales, ce qui est crucial dans l’analyse des options américaines et dans la théorie générale de l’optimal stopping.

Au-delà de la pure formalisation mathématique, il est fondamental pour le lecteur de saisir que la stabilité traduit une propriété de cohérence dynamique qui conditionne la robustesse des modèles financiers face aux changements d’information dans le temps. Elle assure que le cadre probabiliste reste stable malgré l’évolution aléatoire du marché, permettant ainsi de définir des stratégies de couverture, d’évaluation et de gestion des risques fondées sur des principes solides.

Il importe également de comprendre que la stabilité facilite la construction de nouveaux modèles à partir de modèles existants, en assemblant des mesures sur différentes portions temporelles, ce qui est au cœur des modèles dynamiques en finance. Cela s’apparente à une propriété de fermeture qui garantit que le cadre probabiliste est riche et stable, permettant l’utilisation des techniques de martingale et de temps d’arrêt pour la résolution de problèmes complexes d’évaluation financière.

Enfin, le lecteur doit garder à l’esprit que cette stabilité est intimement liée à la notion de « non-arbitrage » et à la structure des marchés financiers dits « complets » ou « incomplets ». La possibilité de recoller des mesures sans sortir de l’ensemble $Q$ traduit une forme de flexibilité et d’adaptabilité du modèle qui est indispensable pour refléter la réalité économique et permettre une analyse rigoureuse des instruments financiers dérivés, notamment les options américaines dont le choix optimal du moment d’exercice dépend fortement de cette stabilité dynamique.

Comment déterminer une stratégie de couverture super dans les marchés financiers incomplets et complets ?

Nous nous intéressons à la question de la couverture des réclamations américaines, en particulier à la stratégie de couverture dite « superhedging » et à son coût. La stratégie de superhedging consiste à déterminer un investissement initial qui permet de garantir le paiement d'une réclamation américaine à tout instant, quel que soit l'état du marché.

Dans le cadre des marchés financiers, il existe différents types de réclamations, notamment les réclamations américaines et européennes. Une réclamation américaine permet à son détenteur de l'exercer à tout moment avant l'échéance, ce qui en fait un actif plus complexe à évaluer et à couvrir par rapport à une réclamation européenne, qui ne peut être exercée qu'à l'échéance.

Une réclamation est dite atteignable ou réalisable si l’on peut la couvrir à un prix donné, sans possibilité d'arbitrage. La première étape pour répondre à cette question est de déterminer le temps d'arrêt, τ, défini comme le premier instant où le prix de la réclamation atteint la valeur de la couverture. Si ce temps d'arrêt est infini, cela signifie que la réclamation ne peut être atteinte à aucun moment, et donc une couverture efficace pour cette réclamation n'existe pas. Si, en revanche, le temps d'arrêt est fini, alors nous pouvons déterminer le prix de la couverture comme étant la valeur actuelle de la réclamation sous la mesure martingale équivalente P*, ce qui conduit à une stratégie de couverture super pour la réclamation.

Lorsqu'on considère un marché complet, il existe une mesure martingale équivalente unique, P*, qui permet de trouver une stratégie de couverture super en utilisant la décomposition de Doob de l'enveloppe Snell de la réclamation. Cette décomposition permet de représenter la réclamation H comme une somme de processus prévisibles et d'une fonction de remboursement croissante B, ce qui nous donne une stratégie de couverture super.

Cependant, dans un modèle de marché incomplet, la situation devient plus complexe. La couverture de réclamations américaines inaccessibles est abordée par l'utilisation de l'enveloppe Snell supérieure U↑, qui remplace l'enveloppe Snell classique dans le cas des marchés incomplets. Cette enveloppe Snell supérieure, qui est un P-supermartingale, garantit qu’à chaque instant, la valeur de la couverture sera supérieure ou égale à la valeur de la réclamation.

La notion de couverture super est essentielle car elle permet de garantir que le vendeur ne subira pas de pertes en cas d'exercice de la réclamation. Le coût de cette couverture super est noté πsup(H), et il représente le montant minimal nécessaire pour établir une couverture super. Ce coût est souvent plus élevé que le prix sans arbitrage de la réclamation, ce qui signifie que vendre la réclamation à ce prix n'est pas possible sans créer une opportunité d'arbitrage. En effet, vendre la réclamation pour πsup(H) tout en achetant une stratégie de couverture super génère une possibilité d'arbitrage, car la valeur de la stratégie de couverture ne peut pas être atteinte par une stratégie d'exercice classique.

Il est également important de souligner que si une réclamation est atteignable, il existe un temps d'arrêt τ et une mesure P* tels que la couverture soit réalisable à un prix πsup(H) correspondant à la valeur d'exercice de cette réclamation. Dans un tel cas, πsup(H) est le prix d'arbitrage libre de la réclamation, et la réclamation peut être exercée de manière optimale.

Dans les cas où la réclamation américaine n’est pas atteignable, πsup(H) n’est pas le prix d’arbitrage libre, ce qui crée une situation où des opportunités d’arbitrage peuvent se manifester. Ces opportunités sont le résultat du fait que la réclamation ne peut être entièrement couverte par une stratégie classique, et qu’il existe des prix de marché où les stratégies de couverture super sont plus rentables que les stratégies d’achat directes.

Finalement, il est essentiel de bien comprendre les implications du coût de superhedging, πsup(H). En effet, bien qu’il représente le coût minimal pour garantir une couverture complète de la réclamation, il n’est pas nécessairement équivalent à la valeur sans arbitrage de la réclamation. Cela signifie que le vendeur ne peut pas attendre un prix de vente correspondant à πsup(H) pour la réclamation, car ce prix ne permettrait pas de couvrir les risques de manière adéquate dans tous les scénarios de marché. De plus, ce coût de superhedging est crucial dans l’analyse des opportunités d’arbitrage sur les marchés incomplets, où les stratégies de couverture super deviennent des instruments fondamentaux pour évaluer les possibilités de profit et de gestion du risque.

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