Les composants du vecteur dans R3R^3 et le Hamiltonien h(Π)h(\Pi) peuvent être utilisés pour exprimer les équations du mouvement dans un système rigide. Par exemple, à partir de l'expression ddt(IΩ)=IΩ×Ω\frac{d}{dt} (I \Omega) = I \Omega \times \Omega, nous pouvons en déduire que Π˙=Π×dh\dot{\Pi} = \Pi \times dh, ce qui conduit à la forme canonique du crochet de Poisson pour les fonctions dépendant de Π\Pi :

{∂f,h}(Π)=−f∂h∂Πj∂f∂Πkϵijk=−Π⋅×dh.\{ \partial f, h \}(\Pi) = - f \frac{\partial h}{\partial \Pi_j} \frac{\partial f}{\partial \Pi_k} \epsilon_{ijk} = - \Pi \cdot \times dh.

Ce crochet de Poisson est au cœur de l'étude des systèmes dynamiques rigides, fournissant une structure qui permet de décrire les rotations et autres transformations liées aux mouvements des corps rigides dans l'espace tridimensionnel.

En prenant comme référence le Hamiltonien hh, il est facile de vérifier que les équations d'Euler pour les moments angulaires du corps rigide se traduisent par les relations :

I2−I3Π1˙=Π2Π3,I3−I1Π2˙=Π3Π1,I1−I2Π3˙=Π1Π2.I_2 - I_3 \dot{\Pi_1} = \Pi_2 \Pi_3, \quad I_3 - I_1 \dot{\Pi_2} = \Pi_3 \Pi_1, \quad I_1 - I_2 \dot{\Pi_3} = \Pi_1 \Pi_2.

Cela implique que l'expression Π˙=Π×dh\dot{\Pi} = \Pi \times dh fournit un cadre pour comprendre l'évolution temporelle des moments angulaires du corps rigide, et donc sa dynamique.

Le crochet de Poisson proposé ici est un exemple typique du crochet de Poisson de Lie, que nous verrons plus en détail dans les chapitres suivants. Ce crochet satisfait les relations qui définissent un crochet de Poisson et peut également être formulé en termes de formes différentielles :

{f,h}d3Π:=−d∣Π∣22∧df∧dh.\{f, h\} d^3\Pi := - \frac{d | \Pi |^2}{2} \wedge df \wedge dh.

Ce crochet est symplectique sur les ensembles de niveaux de ∣Π∣2|\Pi|^2 et disparaît si ff ou hh sont des fonctions de ∣Π∣2|\Pi|^2. Ainsi, pour une fonction f(∣Π∣2)f(|\Pi|^2), le crochet de Poisson disparaît pour toute fonction h(Π)h(\Pi), indiquant que le mouvement dans ce cas se restreint aux ensembles de niveaux de ∣Π∣2|\Pi|^2, où il devient un crochet de Poisson canonique.

En rapport avec le crochet de Poisson dans R3R^3, le crochet rigide peut être vu comme un cas particulier du crochet de Poisson pour les fonctions définies sur R3R^3 :

{f,h}=−∇c⋅∇f×∇h.\{f, h\} = -\nabla c \cdot \nabla f \times \nabla h.

Ce crochet génère des mouvements décrits par l’équation :

x˙={x,h}=∇c×∇h.\dot{x} = \{x, h\} = \nabla c \times \nabla h.

Ce mouvement se produit le long des intersections des surfaces de niveaux des fonctions cc et hh dans R3R^3. Dans le cas du corps rigide, ces mouvements se produisent le long des intersections des sphères du moment angulaire c=∥x∥2/2c = \|x\|^2/2 et des ellipsoïdes d’énergie h=x⋅Ixh = x \cdot Ix.

En utilisant ce cadre, il devient possible de définir les conditions nécessaires pour que ce crochet de Poisson satisfasse l’identité de Jacobi et d’autres propriétés caractéristiques des crochets de Poisson. Il est également essentiel de se demander si ce crochet de Poisson pour R3R^3 satisfait la relation de Leibniz pour le produit de fonctions, une question cruciale pour comprendre le rôle de cette structure dans l’étude des systèmes mécaniques.

Il est aussi possible d’examiner les casimirs (ou fonctions distinguées) de ce crochet de Poisson. Ces casimirs satisfont la condition :

{c,h}(x)=0,∀h(x),\{c, h\}(x) = 0, \quad \forall h(x),

et nous pouvons analyser les implications géométriques de cette invariance. Par exemple, pour une fonction c(x)c(x) qui satisfait les propriétés définissant un crochet de Poisson, les casimirs de ce crochet sont ceux qui commutent avec tous les autres éléments du système. Cela conduit à une compréhension plus approfondie du comportement dynamique du corps rigide et des contraintes géométriques imposées par le crochet de Poisson.

Une autre caractéristique importante du crochet de Poisson dans ce contexte est son invariance sous une combinaison linéaire des fonctions cc et hh, ce qui a des conséquences géométriques significatives. L’étude des systèmes rigides dans ce cadre implique de comprendre comment les moments d’inertie évoluent et comment les équations du mouvement se modifient en fonction des transformations de coordonnées.

Enfin, une analyse plus approfondie de l’approche de Hamilton-Pontryagin permet de calculer les dynamiques résultant de la stationnarité de l’action dans un cadre contraint. Par exemple, dans le cas du corps rigide, nous pouvons dériver les équations de dynamique spatiale en utilisant une formulation lagrangienne transformée, où les vitesses angulaires sont exprimées dans le cadre spatial. Ces équations de mouvement permettent d’étudier l’évolution du moment d’inertie dynamique et de la vitesse angulaire spatiale au cours du temps, ce qui est essentiel pour comprendre le comportement du corps rigide dans des systèmes complexes.

Comment la dérivée de Lie et les transformations hamiltoniennes préservent les symétries dans la mécanique géométrique

Le champ de vecteurs X(z)X(z) gouverne l'évolution de fonctions telles que l'Hamiltonien H(z)H(z) le long du flux du champ de vecteurs. La dérivée directionnelle d'une fonction scalaire est un cas particulier de la dérivée de Lie LX\mathcal{L}_X, car on a X(H)=LXHX(H) = \mathcal{L}_X H pour les fonctions scalaires. Ce concept peut être vérifié à l'aide de la règle inverse de la chaîne de Lie, qui permet de calculer la dérivée par rapport à un paramètre ϵ\epsilon. Par exemple, pour un champ de vecteurs XX, la dérivée d'une fonction HH suivant ce champ est exprimée par X(H)=ddϵ∣ϵ=0H(φXϵ(z))X(H) = \frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0} H(\varphi_X^\epsilon(z)), où φXϵ\varphi_X^\epsilon désigne le flux généré par XX.

Les courbes intégrales du champ de vecteurs XX sont données par la solution unique du système d'équations différentielles dzdϵ=X(z)\frac{dz}{d\epsilon} = X(z) avec une condition initiale z(0)z(0). Ainsi, la courbe intégrale φXϵ\varphi_X^\epsilon satisfait la condition de flux φXϵ∘φXτ=φXϵ+τ\varphi_X^\epsilon \circ \varphi_X^\tau = \varphi_X^{\epsilon+\tau}.

Un aspect fondamental des systèmes hamiltoniens est la réduction par symétrie de Lie, où l'on peut définir la relation de Poisson {F,H}\{F, H\} en termes de l'opération d'insertion ι:X×Λn→Λn−1\iota: X \times \Lambda^n \to \Lambda^{n-1}, en insérant les champs de vecteurs hamiltoniens XFX_F et XHX_H dans la forme symplectique fermée ω\omega. La formule de la relation de Poisson dans ce contexte peut être vérifiée en utilisant l'identité {F,H}=ω(XF,XH)\{F, H\} = \omega(X_F, X_H), où ω\omega est la forme symplectique de l'espace de phase, et XF,XHX_F, X_H sont les champs de vecteurs associés aux hamiltoniens FF et HH.

La dynamique le long de chaque courbe intégrale de XHX_H est déterminée par dH=ω(XH,⋅)=ιXωdH = \omega(X_H, \cdot) = \iota_X \omega, où le champ de vecteurs XHX_H est inséré dans la forme symplectique ω\omega, ce qui donne la forme exacte dHdH. En coordonnées, cela s'écrit comme dH=ιX(∂H∂p dq−∂H∂q dp)dH = \iota_X \left( \frac{\partial H}{\partial p} \, dq - \frac{\partial H}{\partial q} \, dp \right).

Un autre aspect essentiel des systèmes hamiltoniens concerne l'invariance de la forme symplectique ω\omega sous les actions de groupe de Lie. En utilisant la définition géométrique de la dérivée de Lie, on montre que LXω=0\mathcal{L}_X \omega = 0, ce qui signifie que ω\omega est invariant sous le flux symplectique généré par un champ de vecteurs hamiltonien XFX_F. En d'autres termes, ω\omega est préservée sous la transformation φϵ\varphi^\epsilon associée au champ XFX_F, et φϵ\varphi^\epsilon est un flux symplectique.

Les théorèmes de Noether, lorsqu'appliqués au cadre hamiltonien, affirment qu'une symétrie générée par un flux XX signifie que les Hamiltoniens associés à cette symétrie sont conservés sous l'évolution dynamique. Plus précisément, si le flux φϵ\varphi^\epsilon est une symétrie de HH, la relation {F,H}=0\{F, H\} = 0 implique que les dynamiques des Hamiltoniens F(z(t))F(z(t)) et H(z(t))H(z(t)) se conservent l'une l'autre. Cela découle directement de l'antisymétrie de la relation de Poisson, qui assure que les dérivées de Lie de FF et HH satisfont LXH=−LXF\mathcal{L}_X H = -\mathcal{L}_X F.

En conclusion, un concept fondamental dans la mécanique géométrique est l'invariance des systèmes sous l'action des symétries de Lie, ce qui peut être formulé à travers des relations comme la relation de Poisson et les dérivées de Lie. Ces résultats sont essentiels pour comprendre comment les lois de la mécanique classique sont préservées sous des transformations continues, et ce cadre offre une vision plus profonde des symétries et des lois conservées dans des systèmes dynamiques.

Comment les champs vectoriels hamiltoniens préservent la géométrie de l'espace des phases

Le champ vectoriel hamiltonien (HVF) joue un rôle central dans la dynamique hamiltonienne, une branche fondamentale de la mécanique classique. À travers l'usage du calcul différentiel extérieur et des formes différentielles, il est possible de formuler de manière élégante les propriétés géométriques et dynamiques des systèmes hamiltoniens, notamment la conservation de l'aire dans l'espace des phases. Cette propriété géométrique essentielle est exprimée par le théorème de Poincaré, qui stipule que les flux hamiltoniens sont symplectiques et conservent l'aire de l'espace des phases.

Le différentiel extérieur d'une fonction FF sur l'espace des phases, avec des coordonnées (q,p)∈T∗Q(q, p) \in T^*Q, est exprimé par dF=Fqdq+FpdpdF = F_q dq + F_p dp, où les indices qq et pp désignent les dérivées partielles de FF par rapport à qq et pp, respectivement. Pour le Hamiltonien HH, le différentiel extérieur se transforme en dH=Hqdq+Hpdp=−pqdq+pdtdH = H_q dq + H_p dp = - p_q dq + p dt, ce qui découle des équations canoniques. Cela montre que le champ vectoriel hamiltonien XHX_H satisfait à la relation suivante :

XH=∂q∂t∂∂p−∂p∂t∂∂q={⋅,H}.X_H = \frac{\partial q}{\partial t} \frac{\partial}{\partial p} - \frac{\partial p}{\partial t} \frac{\partial}{\partial q} = \{ \cdot, H \}.

Cette relation définit un vecteur hamiltonien qui agit sur une fonction FF de l'espace des phases, et son action est simplement donnée par la dérivée temporelle de FF :

dFdt=XHF={F,H}.\frac{dF}{dt} = X_H F = \{ F, H \}.

En appliquant ce champ vectoriel hamiltonien XHX_H à des formes différentielles sur l'espace des phases, nous obtenons des résultats intéressants. Par exemple, lorsque XHX_H agit sur la 1-forme pdq(t)p dq(t), on obtient le résultat suivant :

XH(pdq)=p˙dq−q˙dp+d(pq˙)=−Hqdq−Hpdp+d(pq˙).X_H (p dq) = \dot{p} dq - \dot{q} dp + d(pq̇) = -H_q dq - H_p dp + d(pq̇).

Cela montre que XHX_H agit de manière à préserver les structures différentielles et à maintenir la forme de l'espace des phases.

En ce qui concerne la forme symplectique ω=dq∧dp\omega = dq \wedge dp, qui représente l'élément d'aire dans l'espace des phases, il est possible de démontrer que cette forme est conservée le long des flux hamiltoniens. En effet, en calculant l'action de XHX_H sur ω\omega, nous obtenons :

XHω=XH(dq∧dp)=(XHdq)dp−(XHdp)dq=dH.X_H \omega = X_H (dq \wedge dp) = (X_H dq) dp - (X_H dp) dq = dH.

Cela prouve que le flux XHX_H conserve la forme symplectique, ce qui est un résultat clé en mécanique hamiltonienne. Le théorème de Poincaré nous dit que les flux hamiltoniens sont symplectiques, c'est-à-dire qu'ils préservent l'aire dans l'espace des phases. Cette propriété géométrique est essentielle pour comprendre la nature conservatrice des systèmes dynamiques hamiltoniens.

Les calculs effectués montrent que le flux hamiltonien respecte une structure fondamentale de la mécanique classique : la conservation de la phase. La conservation de la phase dans l'espace des phases est une propriété qui découle directement des équations hamiltoniennes. Ce phénomène est valable pour des systèmes à un ou plusieurs degrés de liberté. Pour un système à NN degrés de liberté, la préservation de chaque sous-volume de l'espace des phases est garantie. Cela découle du fait que chaque facteur dans le produit ωn=dqn∧dpn\omega_n = dq_n \wedge dp_n est préservé par le flux hamiltonien correspondant.

Ce phénomène se généralise à des systèmes de particules multiples. En effet, pour un système de NN particules, ou NN degrés de liberté, le flux du champ vectoriel hamiltonien conserve chaque sous-volume dans l'espace des phases T∗RNT^* \mathbb{R}^N. La forme symplectique ωn=dqn∧dpn\omega_n = dq_n \wedge dp_n pour la nn-ième particule est préservée par le flux hamiltonien de cette particule. Par conséquent, la dynamique hamiltonienne d'un système de particules multiples est également symplectique.

L'importance de la forme symplectique et du théorème de Poincaré ne réside pas seulement dans leur capacité à exprimer la conservation de l'aire, mais aussi dans leur rôle fondamental pour décrire les comportements dynamiques de systèmes complexes. Ces outils géométriques permettent de comprendre comment les systèmes évoluent de manière conservatrice dans l'espace des phases, en préservant des quantités importantes telles que l'énergie et l'aire dans des systèmes d'oscillation, de rotation ou de résonance.

Pour les lecteurs souhaitant approfondir la compréhension de ces concepts, il est utile de se familiariser avec les notions de contraction d'un champ vectoriel sur une forme différentielle et de dérivée de Lie. Ces opérations permettent de manipuler des champs vectoriels hamiltoniens et d'explorer leur action sur des formes différentielles. La compréhension de ces calculs est cruciale pour la description des dynamiques hamiltoniennes dans des espaces de phase plus complexes, en particulier pour des systèmes ayant un nombre élevé de degrés de liberté.

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