La relativité générale, développée par Albert Einstein au début du XXe siècle, transforme radicalement notre compréhension de la gravité et de la structure de l'univers. Bien que les idées fondamentales de cette théorie soient largement accessibles, une compréhension approfondie des outils mathématiques qui la sous-tendent, tels que la géométrie différentielle et les variétés, est essentielle pour maîtriser ses applications les plus avancées en cosmologie et en astrophysique relativiste. C’est dans cette optique que les travaux de Jerzy Plebański et d'Andrzej Krasiński, dans leur ouvrage An Introduction to General Relativity and Cosmology, fournissent un cadre systématique pour explorer les concepts essentiels de la relativité générale, en s'appuyant sur les principes de la géométrie différentielle, de la topologie des variétés et de la théorie des tenseurs.

L’introduction commence par une révision des concepts de base de la géométrie différentielle, nécessaires à la compréhension des phénomènes relativistes. La première étape consiste à définir les variétés différentiables, les entités mathématiques sur lesquelles les tenseurs, qui seront utilisés pour décrire les propriétés physiques, peuvent être définis. À partir de là, les auteurs introduisent les outils mathématiques cruciaux pour la relativité, tels que la dérivée covariante et la connexion affine, avant de traiter des géodésiques et de la courbure des espaces-temps. Ce parcours mène progressivement à la compréhension des propriétés métriques, en introduisant les tenseurs métriques et la géométrie pseudo-riemannienne, qui sont des éléments fondamentaux de la relativité générale.

Une fois ces bases mathématiques posées, le texte se plonge dans la relativité comme théorie physique, abordant des sujets complexes tels que les modèles cosmologiques inhomogènes et la métrique de Kerr, qui décrit la rotation des trous noirs. En présentant des résultats dérivés de manière rigoureuse, les auteurs permettent au lecteur d’accéder à des travaux de recherche avancés dans les revues de relativité, tout en offrant des démonstrations détaillées pour chaque concept clé.

Il est primordial de comprendre que la relativité générale n’est pas simplement une théorie des corps massifs ou des trajectoires gravitationnelles : elle est une théorie de l’espace-temps lui-même. Dans cette optique, les déformations de l'espace-temps causées par la présence de matière et d'énergie ne se limitent pas aux objets de grande taille, mais affectent tous les aspects de la physique, y compris la propagation de la lumière et le comportement des champs électromagnétiques. La notion même de temps, de distance et de simultanéité devient relative, dépendant du référentiel de l'observateur.

Un autre concept essentiel abordé dans ce contexte est celui de la cosmologie relativiste, qui fait appel à la théorie pour modéliser l'univers dans son ensemble, en tenant compte de sa courbure et de ses inhomogénéités. Contrairement aux modèles newtoniens de l’espace-temps plat, la relativité générale permet de décrire un cosmos en constante expansion, où la distribution de la matière et de l'énergie façonne la structure de l'univers à grande échelle. Les modèles de l'univers inhomogène, souvent centrés sur des métriques spécifiques comme celle de Plebański-Demiański, sont utilisés pour comprendre des phénomènes comme la formation des galaxies, la distribution de la matière noire, et l'évolution cosmologique à travers le temps.

Les applications de la relativité générale en cosmologie sont nombreuses, mais l’un des plus fascinants est l’étude des trous noirs et des singularités. La métrique de Kerr, qui décrit les trous noirs en rotation, est l'un des exemples les plus emblématiques des solutions exactes aux équations d’Einstein. Cette solution a des implications profondes pour la structure des trous noirs, notamment dans la compréhension de la formation de disques d’accrétion et des jets relativistes.

Pour le lecteur, il est essentiel de saisir que ces outils mathématiques ne sont pas seulement des abstractions théoriques, mais des instruments concrets pour résoudre des problèmes cosmologiques réels. La compréhension des tenseurs et des géodésiques permet de modéliser des phénomènes allant des trajectoires des planètes aux courbures de l’espace-temps autour des étoiles massives et des galaxies. La relativité générale permet ainsi d'expliquer des observations astronomiques qui ne peuvent être décrites que par des théories prenant en compte la courbure de l'espace-temps, comme l’observation des lentilles gravitationnelles ou des ondes gravitationnelles.

Dans l’étude de la cosmologie relativiste, il est aussi crucial de ne pas négliger l’interconnexion entre la géométrie de l’espace-temps et les propriétés fondamentales de la matière et de l’énergie. Par exemple, la dynamique de l’expansion de l’univers est décrite par des équations qui relient la courbure de l'espace-temps à la distribution de la matière et de l'énergie. Ces relations, exprimées à travers les équations de Friedmann, constituent la base de nombreux modèles cosmologiques modernes.

Il est important de noter que la relativité générale a non seulement permis des avancées théoriques mais a aussi été vérifiée expérimentalement à plusieurs reprises. Les observations de la déviation de la lumière par des objets massifs, la précision des horloges atomiques en orbite et la détection des ondes gravitationnelles sont autant de confirmations empiriques de la validité de la théorie. De telles vérifications expérimentales offrent une confiance renforcée dans les applications cosmologiques de la relativité générale, qui continuent d’être un domaine de recherche active et de découvertes fascinantes.

Quels sont les problèmes de singularité dans les configurations de poussière sphériquement symétrique chargée ?

Dans notre précédent travail, nous avons montré que les croisements de coquilles sont inévitables lorsque la fonction d'énergie E≥0E \geq 0, mais que ces conditions ne conduisaient pas à une contradiction lorsque E<0E < 0. Cependant, l'analyse exacte a révélé qu’une distribution de poussière sphériquement symétrique légèrement chargée présente toujours une région de densité d'énergie négative proche du centre de symétrie, et ce pendant une période brève autour de l'instant de rebond. Il a été démontré que si les densités de charge et de masse deviennent égales en valeur absolue au centre, cette région de densité d'énergie négative apparaît. Dans le cadre général traité par Ori, ce problème peut être évité par un choix approprié des fonctions arbitraires. L'exemple explicite que nous avons présenté dans le premier article avait un problème fondamental : une singularité centrale permanente (la limite de la densité de masse au centre était en fait −∞-\infty). Cette infinité permanente peut être facilement corrigée, mais une singularité ponctuelle, dépendante de la direction, apparaît nécessairement au centre au moment de la compression maximale.

Dans cet article, nous montrons que les conditions spécifiées dans la formule (2.14) garantissent qu'une particule ayant initialement R>0R > 0 ne frappera pas le plan R=0R = 0 dans le futur ni dans le passé. Cependant, les configurations respectant ces conditions contiennent une singularité astucieusement dissimulée, d’un type jusqu’alors inconnu dans les solutions de poussière. Sur la ligne de monde du centre de symétrie, où R(t,r)=0R(t,r) = 0 en permanence, il existe un point où ϵ\epsilon tend vers +∞+\infty pour un instant unique. Cet instant correspond à la limite lorsque RR tend vers zéro à partir de l'hypersurface SminS_{\text{min}}, composée des instants où les coquilles de masse avec R>0R > 0 atteignent leur taille minimale. Cependant, si l’on approche le même lieu de l’espace-temps le long de l’hypersurface SminS_{\text{min}}, alors ϵ\epsilon tend vers −∞-\infty.

La conclusion de cet article est que la distribution de poussière sphériquement symétrique légèrement chargée examinée ici doit nécessairement comporter au moins une des caractéristiques suivantes : (1) une singularité de Big Bang/Big Crunch ; (2) une singularité centrale permanente ; (3) un croisement de coquilles à proximité du centre ; (4) un intervalle de temps fini autour de l'instant de rebond durant lequel la densité d'énergie devient négative, accompagnée d'une singularité transitoire de densité d'énergie infinie en un seul point de la ligne de monde du centre de symétrie. Une configuration pulsante non singulière et permanente de poussière chargée sphériquement symétrique n'existe pas. Au mieux, un seul cycle complet de rebond non singulier peut se produire, mais les croisements de coquilles apparaîtront nécessairement lors de la deuxième phase de collapse. Le rebond a lieu pour R>0R > 0, mais la singularité ponctuelle isolée au centre de symétrie demeure.

La possibilité de ϵ\epsilon devenant négatif en présence de charges électriques n’a pas été pleinement explorée et pourrait nécessiter un travail supplémentaire pour en comprendre l’interprétation. Si une région de densité d’énergie négative existait de manière permanente dans une partie de l’espace avec une frontière comobile, on pourrait soupçonner que cela résulte d’un mauvais choix de paramètres impliquant des propriétés non physiques dans cette région. Cependant, dans le cas présent, la densité d’énergie est positive pendant un certain temps, puis ces mêmes particules de matière acquièrent une densité d’énergie négative pendant un intervalle autour de l'instant de rebond. Cela suggère qu'il existe un processus physique impliqué, qui mérite une investigation plus approfondie.

Dans le modèle de Lemaître-Tolman (LT), les croisements de coquilles peuvent être évités, mais alors pourquoi sont-ils inévitables lorsque Q≠0Q \neq 0 ? La réponse réside dans le fait que, dans le modèle LT, les singularités de Big Bang (BB) ou de Big Crunch (BC) sont inévitables. Dans les cas dits "sans croisements de coquilles", en réalité, les croisements de coquilles ne sont pas supprimés, mais déplacés vers l'époque avant le Big Bang ou après le Big Crunch, ou bien vers les deux. Ainsi, les croisements de coquilles ne sont plus dans le domaine d'applicabilité physique du modèle. Lorsque les singularités BB/BC sont remplacées par un rebond lisse dans de la poussière chargée, les croisements de coquilles, qui étaient cachés de l'autre côté du Big Bang ou du Big Crunch, deviennent physiquement accessibles, mettant fin à l’évolution de la configuration.

Le modèle de Datt–Ruban, analysé plus en détail, démontre que, même en l'absence de charges électromagnétiques, des solutions similaires peuvent être observées dans des configurations de poussière où l’espace-temps reste globalement une région T. Ces solutions montrent que la dynamique de la poussière sphériquement symétrique chargée se heurte à des obstacles fondamentaux qui l’empêchent d’être non singulière de manière permanente. Lorsqu'on examine les différentes possibilités géométriques, il devient évident que les croisements de coquilles ne peuvent être totalement évités, même en réajustant les conditions initiales ou les paramètres du modèle.

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