Comment la mesure de Lebesgue reste-invariante par translation et ses propriétés fondamentales

Soit $U$ un ensemble ouvert dans $\mathbb{R}^n$ et $f \in C^1(U, \mathbb{R}^m)$ avec $m > n$. Si $N \subseteq U$ a une mesure de Lebesgue n-nulle, alors l'image $f(N)$ aura une mesure de Lebesgue m-nulle. Cela découle directement du théorème 5.9 et de la remarque VII.8.12(b). Cette propriété, qui lie la mesure de Lebesgue à la continuité des fonctions, est essentielle pour comprendre l'impact des fonctions sur les sous-ensembles de $\mathbb{R}^n$ de mesure nulle. Cependant, cette conclusion ne tient que lorsque la fonction $f$ satisfait à des conditions de régularité précises, comme la différentiabilité de classe 1 et la condition $m > n$.

Le cas où $m < n$ est encore plus intéressant car dans ce scénario, la conclusion échoue également. Prenons par exemple $N := (0, 1) \times \{0\} \subset \mathbb{R}^2$ et une fonction $f$ telle que $f := \text{pr}_1 \in C^1(N, \mathbb{R})$. Ici, bien que $A^2(N) = 0$, l'image de $N$ sous $f$, qui est l'intervalle $(0,1)$, a une mesure de Lebesgue positive dans $\mathbb{R}$, contredisant ainsi l'énoncé initial.

Il est aussi important de noter que la mesurabilité de Lebesgue est une propriété locale. En d'autres termes, un ensemble $A \subset \mathbb{R}^n$ est mesurable au sens de Lebesgue si et seulement si chaque point $x \in A$ possède un voisinage ouvert $U_x$ tel que l'intersection de $A$ avec $U_x$ est également mesurable. Cela démontre que la mesurabilité n'est pas influencée par l'ensemble global, mais plutôt par les comportements locaux des ensembles.

Cette propriété s'avère utile lorsqu'on examine des ensembles de mesure positive, comme le montre le théorème de Steinhaus, qui affirme que pour tout ensemble $A \in L(n)$ tel que $m(A) > 0$, l'ensemble $A - A$ est un voisinage de zéro. Ce résultat met en lumière l'idée que les ensembles de mesure positive ne sont jamais "trop minces" et qu'ils ont toujours une certaine étendue géométrique, même lorsqu'ils sont déplacés dans l'espace.

Comment définir les fonctions mesurables et simples : notions et extensions

Nous parlons de fonctions $f \in E^X$ comme étant $p$-simples si $f(X)$ est fini, si pour chaque $e \in E$, l'inverse de $f$, $f^{ -1}(e)$, appartient à $\mathcal{A}$ et si $p(f^{ -1}(E \setminus \{0\})) < \infty$. La notation $5(X, m, E)$ désigne l'ensemble de toutes les fonctions $p$-simples de $X$ vers $E$. Dans ce contexte, lorsque l'identité de l'espace de mesure est évidente, on se réfère simplement à ces fonctions comme étant simples plutôt que $p$-simples. Il en va de même pour les fonctions $p$-mesurables que nous allons introduire.

Il existe des inclusions importantes entre les sous-espaces vectoriels $5(X, m, E) \subset L_0(X, m, E) \subset E^X$. La première inclusion reflète le fait que chaque fonction $p$-simple est mesurable, et la seconde montre que l'ensemble des fonctions mesurables est plus large, englobant des fonctions qui ne sont pas nécessairement simples mais qui peuvent être approchées par des suites de fonctions simples.

Les fonctions simples ont une forme unique appelée forme normale. Si $f \in 5(X, m, E)$, elle peut être exprimée comme une somme finie $f = \sum_{j=1}^{m} e_j X_{A_j}$, où $A_j$ est un ensemble mesurable de mesure finie, $e_j \neq 0$ et les ensembles $A_j$ sont disjoints. Cette forme permet de décrire explicitement des fonctions simples dans les espaces de mesure et est cruciale pour le calcul des intégrales de ces fonctions.

Il est également crucial de comprendre qu’une fonction $f \in L_0(X, m, E)$ peut être approchée par une suite de fonctions simples de manière précise, mais cette approximation dépend de la structure de l’espace de mesure $(X, m)$. Par exemple, si $m(X) = \infty$, il peut être nécessaire de diviser $X$ en sous-ensembles disjoints $(X_j)$ tels que la mesure de chaque sous-ensemble soit finie, ce qui permet de garantir que l’intégrale de $f$ soit bien définie.

Les résultats de convergence pour des suites de fonctions mesurables et simples sont également au cœur des développements en analyse, notamment dans l’étude des limites des intégrales et des séries. La convergence presque partout de $f_j$ vers $f$, à savoir la convergence en $m$-mesurabilité, est une notion clé pour les applications pratiques en analyse, comme l’évaluation des intégrales de Lebesgue.

Comment calculer le codifférentiel et comprendre le rôle de l'opérateur étoile sur les formes différentielles

Considérons une variété riemannienne orientée $(M, g)$, où $g$ est une métrique riemannienne. Le codifférentiel est défini par l'opérateur $\delta$, qui relie les formes différentielles de degré $r$ aux formes de degré $r-1$. Il est défini à l’aide de l’opérateur étoile $*$ et de l’opérateur extérieur $d$, et il satisfait plusieurs propriétés remarquables. L'opérateur étoile, en particulier, est un outil puissant qui permet de relier des formes différentielles à leurs compléments, en échangeant les indices tout en conservant les propriétés géométriques essentielles de la variété.

Soit $(x_1, \dots, x_m)$ un système de coordonnées locales positivement orienté sur $M$. Dans ce contexte, on peut calculer explicitement $*dx_j$, la forme duale de $dx_j$, comme suit :

où $g^{jk}$ est l'inverse de la matrice de la métrique $g$, et $\hat{dx_j}$ signifie que le terme $dx_j$ est omis dans le produit extérieur. Cette formule démontre comment l'opérateur étoile agit sur une 1-forme pour obtenir une forme de degré $m-1$, à savoir une forme volume sur la variété.

Le codifférentiel:

Le codifférentiel est une opération qui agit sur des formes différentielles et permet de les "réduire" à un degré inférieur tout en préservant la structure géométrique de la variété. Il est défini par la formule :

pour $a \in \Omega^r(M)$, où $r$ est le degré de la forme différentielle $a$ et $da$ est le différentiel extérieur de $a$. L'opérateur étoile joue un rôle central dans cette définition, en associant à chaque forme $a$ une forme $da$, puis en "exécutant" l’opération étoile sur cette forme.

Propriétés importantes du codifférentiel:

1. $\delta \delta = 0$: Le codifférentiel appliqué deux fois sur une forme donne zéro. Cela découle de la relation entre $d$ et l’opérateur étoile.

2. $\delta d = d \delta$: Le codifférentiel commute avec l’opérateur extérieur $d$, une propriété importante pour les calculs complexes en géométrie différentielle.

3. Le codifférentiel d'une forme de degré $m$ : Pour une forme volume sur une variété orientée, le codifférentiel est nul. Autrement dit, pour $a \in \Omega^m(M)$, on a $\delta a = 0$.

Exemples de calculs:

Prenons un exemple dans l’espace de Minkowski $\mathbb{R}^{1,3}$ avec la métrique $g = (dt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2$. Si $(x_1, x_2, x_3)$ correspond aux coordonnées $(x, y, z)$, alors l'opérateur étoile agit sur les formes différentielles de manière suivante :

• $*(dx_1 \wedge dt) = dx_2 \wedge dx_3$,

• $*(dx_1 \wedge dx_2) = -dx_3 \wedge dt$.

Ce calcul montre comment les coordonnées et la métrique influencent les transformations des formes différentielles sous l’opérateur étoile.

Interprétation géométrique:

Dans un espace pseudo-riemannien, comme celui de la relativité, l'opérateur étoile et le codifférentiel sont légèrement modifiés en raison de la signature de la métrique. Les signes de la matrice de la métrique jouent un rôle crucial dans l'ajustement de ces opérations, et ces modifications doivent être prises en compte lors du traitement des formes différentielles dans des variétés pseudo-riemanniennes.

En résumé, le codifférentiel et l’opérateur étoile sont des outils fondamentaux de la géométrie différentielle. Leur compréhension et leur manipulation correcte permettent d'analyser la structure profonde des variétés riemanniennes, tant dans des espaces classiques que dans des espaces pseudo-riemanniens. Les propriétés géométriques telles que la régularité, l’orientation et le volume sont étroitement liées à l’opérateur étoile et au codifférentiel, et leur maîtrise est essentielle pour toute étude avancée de la géométrie différentielle.