La théorie des stratégies localement minimisant le risque s’inscrit dans la quête d’un compromis entre la couverture parfaite d’un actif financier contingent et les limites inhérentes à un marché incomplet. Dans ce cadre, une stratégie admissible au sens L² est dite localement minimisante le risque si, à chaque instant, elle minimise la variance quadratique locale du coût résiduel, autrement dit l’erreur de couverture locale.

L’un des aspects fondamentaux est que ces stratégies ne sont généralement pas autofinançantes au sens strict, c’est-à-dire que leur coût peut varier de manière aléatoire au fil du temps. Cependant, elles sont « autofinançantes en moyenne », ce qui signifie que le processus de coût associé est un martingale sous la probabilité de référence P. Plus précisément, pour une stratégie admissible (ξ₀, ξ), la propriété d’autofinancement en moyenne implique que l’espérance conditionnelle de l’accroissement du coût, conditionnée à l’information disponible Ft, est nulle presque sûrement. Cette condition est à la fois intuitive et essentielle, car elle garantit qu’en moyenne, aucun apport ni retrait net n’est nécessaire pour maintenir la stratégie.

Afin de caractériser de manière précise ces stratégies, il est utile d’introduire la notion de covariance conditionnelle et de variance conditionnelle, notées respectivement cov(·, · | Ft) et var(· | Ft). Ces outils permettent de formaliser la dépendance locale des variables aléatoires impliquées dans l’évolution des prix et des coûts. Dans ce cadre, deux processus adaptés sont dits fortement orthogonaux si leurs accroissements successifs sont conditionnellement non corrélés. Ce critère d’orthogonalité joue un rôle central dans la caractérisation des stratégies localement minimisant le risque.

Le théorème central stipule qu’une stratégie est localement minimisante le risque si et seulement si elle est autofinançante en moyenne et que le processus de coût est fortement orthogonal au processus des prix X. Autrement dit, le coût résiduel de la stratégie ne doit pas contenir de composante prévisible liée aux fluctuations du prix. La preuve repose sur la décomposition de la variance quadratique locale du coût en deux termes non négatifs : la variance conditionnelle du changement de coût et l’espérance conditionnelle de ce changement. Le fait que la stratégie minimise ce risque local conduit à des conditions d’optimalité exprimées via des équations linéaires impliquant les covariances conditionnelles entre les variations du coût et celles du prix.

En pratique, la construction récursive d’une telle stratégie peut se faire en fixant d’abord la valeur future du portefeuille V_{t+1}, puis en minimisant la variance quadratique locale par rapport aux paramètres ξ_{t+1} et V_t. Cette approche correspond à une régression linéaire conditionnelle de la valeur future du portefeuille sur l’incrément du processus de prix. Dans le cas le plus simple d’un seul actif risqué, le problème se réduit à une forme explicite où le coefficient de couverture ξ_{t+1} est obtenu par division de la covariance conditionnelle entre la valeur future et l’incrément du prix par la variance conditionnelle de cet incrément. La valeur V_t est ensuite ajustée pour satisfaire l’équation d’autofinancement en moyenne.

La condition technique de « trade-off moyenne-variance borné » assure l’existence et l’admissibilité L² de la stratégie construite par ce schéma récursif. Elle impose une forme de contrôle sur le ratio entre le carré de l’espérance conditionnelle des incréments du prix et leur variance conditionnelle. Cette hypothèse, souvent vérifiée dans les modèles économétriques classiques, garantit la finitude des moments nécessaires à l’admissibilité de la stratégie.

L’illustration par un modèle de marché simple composé d’un actif risqué avec rendements indépendants et identiquement distribués, et d’une obligation sans risque, met en lumière la nature du processus X, ici processus de prix actualisé. On y retrouve l’application concrète de la condition de trade-off moyenne-variance borné, vérifiée par des calculs explicites sur la moyenne et la variance conditionnelles des rendements.

Il est important de noter que dans ce cadre, la stratégie localement minimisant le risque ne prétend pas à une couverture parfaite, mais cherche à réduire l’erreur de couverture en minimisant localement le risque quadratique. Ce positionnement est particulièrement pertinent dans des marchés incomplets où les actifs disponibles ne permettent pas de répliquer parfaitement certains produits dérivés ou passifs financiers.

Le lecteur doit garder à l’esprit que cette approche repose sur des hypothèses probabilistes et des propriétés conditionnelles fines des processus en jeu. La forte orthogonalité entre le processus de coût et celui des prix assure que les coûts non couverts ne sont pas corrélés aux fluctuations du marché, ce qui limite les risques imprévus liés à la stratégie.

De plus, la notion d’autofinancement en moyenne illustre une subtilité essentielle : la stratégie peut nécessiter des ajustements de capital aléatoires à court terme, mais ceux-ci s’annulent en espérance, soulignant un équilibre dynamique subtil entre risque, coût et couverture.

Enfin, l’importance de la formulation récursive indique que la connaissance du futur immédiat conditionnel est centrale pour la construction de la stratégie, ce qui traduit la nature adaptative et progressive de la gestion du risque dans un cadre stochastique.

Comment la cohérence temporelle caractérise-t-elle les mesures conditionnelles de risque dynamique ?

La cohérence temporelle des mesures de risque conditionnelles joue un rôle central dans l’analyse des risques dynamiques. Elle repose sur une propriété récursive fondamentale qui exprime que la mesure du risque à un instant donné peut s’écrire à travers la mesure conditionnelle du risque à un instant ultérieur. Plus précisément, si l’on note ρt\rho_t la mesure conditionnelle de risque à l’instant tt, alors la cohérence temporelle est caractérisée par l’égalité ρt(X)=ρt(−ρt+1(X))\rho_t(X) = \rho_t(-\rho_{t+1}(X)). Cette relation traduit une invariance dans la manière d’évaluer le risque, garantissant que l’information future est prise en compte de façon cohérente avec les évaluations présentes.

Un exemple emblématique est celui des mesures de risque entropiques conditionnelles, définies par ρt(X)=βlog⁡E[e−βX∣Ft]\rho_t(X) = \beta \log \mathbb{E}[ e^{ -\beta X} \mid \mathcal{F}_t ] pour un paramètre constant β>0\beta > 0. Ces mesures sont récursives et donc temporellement cohérentes, à condition que β\beta ne varie pas aléatoirement au cours du temps. La constance de ce paramètre d’aversion au risque est cruciale : sa variation adaptative briserait la propriété essentielle de cohérence temporelle.

En revanche, les mesures cohérentes conditionnelles telles que l’Average Value at Risk (AV@R) ne respectent pas, en général, cette cohérence temporelle. Leur forme, même si elle s’appuie sur des principes solides comme la convexité et la cohérence, ne garantit pas que l’évaluation du risque aujourd’hui corresponde rigoureusement à une composition itérée des évaluations futures. Cette non-cohérence est illustrée notamment dans le cas de positions composées de variables aléatoires indépendantes à lois normales conditionnelles, où les inégalités entre les mesures directes et récursives de risque apparaissent clairement.

La compréhension de cette distinction repose également sur l’analyse des ensembles d’acceptation AtA_t associés à chaque mesure de risque conditionnelle. Ces ensembles représentent les positions jugées acceptables au temps tt et leur relation d’inclusion par rapport aux ensembles d’acceptation un pas en avant, At,t+1A_{t,t+1}, est intimement liée à la cohérence temporelle. En effet, la propriété At=At,t+1+At+1A_t = A_{t,t+1} + A_{t+1} traduit une capacité à décomposer toute position acceptable en une partie évaluable immédiatement et une partie différée, ce qui est équivalent à la récursivité de la mesure de risque.

Dans ce cadre, les fonctions de pénalité minimales αt\alpha_t jouent un rôle déterminant. Elles quantifient la prime à payer pour ajuster l’évaluation des risques sous différentes probabilités alternatives QQ. La dynamique conjointe des processus (ρt(X))(\rho_t(X)) et (αt(Q))(\alpha_t(Q)) permet d’établir un critère en termes de supermartingale, qui caractérise la cohérence temporelle par la structure adaptative de ces pénalités.

Pour que cette analyse soit opérante, on suppose la sensibilité de la séquence (ρt)(\rho_t), c’est-à-dire que chaque mesure peut être représentée à travers un même ensemble Q\mathcal{Q} de mesures de probabilité équivalentes à la mesure de référence PP. Cette condition assure que l’évaluation des risques est pertinente et non triviale à chaque étape temporelle.

La sensibilité est liée à la notion de pertinence, qui garantit que les mesures de risque détectent correctement les risques et ne les sous-estiment pas. Sous cette hypothèse, un résultat fondamental établit l’équivalence entre la cohérence temporelle de la suite (ρt)(\rho_t) et la structure additive des ensembles d’acceptation, ainsi que la supermartingalité des pénalités associées.

Il importe également de noter que la cohérence temporelle s’étend naturellement aux temps d’arrêt, avec des propriétés récursives adaptées à ces moments aléatoires, consolidant ainsi l’adaptabilité de ces mesures dans des contextes dynamiques et incertains plus complexes.

Au-delà des aspects purement mathématiques, il est essentiel de comprendre que la cohérence temporelle reflète une logique économique et financière profonde : elle garantit que l’évaluation du risque est stable dans le temps, évitant les contradictions entre les jugements successifs. Cette stabilité est indispensable pour la gestion dynamique du risque, notamment dans les contextes d’allocation de capital, de tarification des produits financiers et de contrôle des risques réglementaires.

Enfin, la perte de cohérence temporelle dans certaines mesures, bien qu’elle puisse apparaître comme une faiblesse, reflète souvent des comportements plus réalistes, où la perception du risque évolue avec le temps et l’information. Cette tension entre rigueur mathématique et modélisation fidèle des comportements financiers constitue un enjeu central dans le développement des mesures de risque dynamiques.

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