T_A = -\frac{1}{6}t_0L
\quad \text{et} \quad T_B = -\frac{1}{3}t_0LT A = − 6 1 t 0 L et T B = − 3 1 t 0 L
Ainsi, la rotation est donnée par :
φ ( x ) = t 0 6 G J ( L x − x 3 L ) \varphi(x) = \frac{t_0}{6GJ} \left( Lx - \frac{x^3}{L} \right) φ ( x ) = 6 G J t 0 ( Lx − L x 3 )
Ce résultat montre que l’angle de rotation atteint un maximum là où le moment interne T ( x ) T(x) T ( x ) T ( x ) = 0 T(x) = 0 T ( x ) = 0 x = L 2 3 = L 3 ≈ 0,577 L x = \sqrt{\frac{L^2}{3}} = \frac{L}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577L x = 3 L 2 = 3
M834 80h400000v40h-400000z"> L ≈ 0 , 577 L
La vérification de la cohérence dimensionnelle des équations est un aspect fondamental du raisonnement. Le couple interne a pour unité un moment (force × longueur), G G G J J J G J GJ G J T G J \frac{T}{GJ} G J T
Un point crucial est que le caractère statiquement indéterminé ne modifie pas la forme fondamentale de la solution. Il impose simplement une analyse cinématique plus fine. On doit employer les conditions géométriques — ici, les conditions de non-rotation aux extrémités — pour compléter les équations d’équilibre insuffisantes. La méthode d’intégration reste identique, mais le nombre d’inconnues croît avec le nombre de réactions non accessibles par l’équilibre seul.
On peut également observer que la somme des couples de réaction est égale en valeur absolue au moment total appliqué à la barre : 1 2 t 0 L \frac{1}{2}t_0L 2 1 t 0 L
Il est essentiel de comprendre que dans tout système en torsion, la compatibilité des déformations — c’est-à-dire la continuité de la rotation — est aussi fondamentale que l’équilibre des forces. Cela devient particulièrement apparent dans les cas statiquement indéterminés, où seule une vision intégrée, mêlant statique et cinématique, permet de résoudre le problème.
Dans le cas des barres non prismatiques, c’est-à-dire dont la section varie le long de la longueur, cette analyse se complexifie. Le produit G J GJ G J x x x G J ( x ) GJ(x) G J ( x )
Comprendre les principes fondamentaux — équilibre, compatibilité, relations constitutives — permet ainsi de traiter avec rigueur l’ensemble des configurations, qu’elles soient statiquement déterminées ou indéterminées, prismatiques ou non prismatiques.
Comment déterminer les forces dans une structure en treillis par les méthodes des nœuds et des sections ?
L’analyse des structures en treillis repose sur l’équilibre statique des forces agissant aux nœuds et sur les éléments qui les relient. Chaque nœud est soumis à des forces provenant des barres adjacentes ainsi qu’aux réactions aux appuis et aux charges appliquées. Les forces dans les barres peuvent être soit en tension (forces positives) soit en compression (forces négatives), et sont généralement proportionnelles à l’intensité des charges appliquées, sans dépendre des dimensions spécifiques de la structure.
La méthode des nœuds consiste à écrire pour chaque nœud les équations d’équilibre des forces selon les directions définies par les vecteurs unitaires des éléments. Chaque élément est associé à un vecteur unitaire qui définit son orientation, et la force qu’il transmet au nœud peut être représentée par ce vecteur multiplié par une intensité inconnue. En appliquant le principe fondamental d’équilibre à tous les nœuds, on obtient un système d’équations linéaires. Ce système peut être résolu simultanément pour déterminer toutes les forces internes et les réactions aux appuis. Cependant, cette méthode peut être fastidieuse à résoudre manuellement, surtout lorsque le nombre d’éléments et de nœuds est important. C’est pourquoi l’utilisation d’outils numériques, tels que MATLAB, facilite considérablement ces calculs.
La méthode des sections offre une autre approche : elle consiste à effectuer une coupe imaginaire à travers plusieurs barres du treillis, divisant la structure en deux parties. L’une des parties est conservée comme corps libre, tandis que l’effet de l’autre partie est remplacé par les forces inconnues dans les barres sectionnées. En appliquant les équations d’équilibre (forces et moments) au corps libre ainsi défini, il est possible de déterminer directement la force dans une barre particulière, souvent sans avoir à calculer toutes les réactions d’appui au préalable. Cette méthode permet une résolution plus ciblée et souvent plus rapide pour isoler la force dans un élément donné, bien qu’elle ne garantisse pas toujours que l’on puisse isoler une seule inconnue aisément.
L’exemple d’application de la méthode des sections montre que les forces résultantes dans les barres peuvent être calculées par des produits vectoriels des vecteurs unitaires qui définissent l’orientation des éléments, ainsi que par le calcul des moments autour d’un point de référence. Cette analyse rigoureuse permet d’aboutir à des résultats précis et cohérents avec les lois de l’équilibre statique. Le choix judicieux du point de moment et de la coupe dans la structure est essentiel pour simplifier les calculs et obtenir les forces recherchées.
En complément, la formulation matricielle des équations d’équilibre des nœuds permet de structurer le problème sous une forme algorithmique généralisable à des treillis tridimensionnels complexes. Chaque élément du treillis est défini par son orientation, ce qui permet de construire une matrice de coefficients associée aux inconnues que sont les forces dans les barres et les réactions aux appuis. Cette matrice est creuse et structurée, facilitant la programmation et la résolution numérique. Le système linéaire qui en résulte rassemble toutes les équations d’équilibre des nœuds et peut être résolu efficacement avec des outils numériques modernes.
Il importe de comprendre que la méthode des nœuds donne une vision globale en résolvant simultanément toutes les forces internes et les réactions, tandis que la méthode des sections offre une approche locale et souvent plus intuitive pour extraire la force dans un élément précis. La maîtrise des deux méthodes est indispensable pour une analyse complète et rigoureuse des structures en treillis.
En outre, il est crucial de reconnaître que les forces dans les barres sont des vecteurs dont la direction et le sens déterminent le type de contrainte (traction ou compression). Le signe positif ou négatif de la force indique ce type de sollicitation. Les résultats obtenus doivent toujours être validés par la satisfaction des équations d’équilibre globales, ce qui garantit la cohérence de l’analyse.
Enfin, la modélisation correcte des conditions aux limites, des appuis et des charges est fondamentale pour obtenir des résultats fiables. La compréhension profonde des vecteurs unitaires et des systèmes de coordonnées permet d’interpréter correctement les forces et moments appliqués, ainsi que de construire des diagrammes de corps libre précis, éléments clés de toute analyse statique.
Comment résoudre les problèmes de statique des structures à charnières ?
Lorsque l'on étudie des structures comme les cadres ou les machines, l'un des défis majeurs réside dans la gestion des forces internes et des moments transmis par les articulations, souvent représentées par des charnières. Ces éléments jouent un rôle crucial dans le calcul des réactions aux supports et dans la définition des forces internes qui maintiennent l’équilibre d’un système. En particulier, lorsqu'une structure est composée de barres rigides connectées par des charnières, il devient essentiel d'utiliser la condition d’équilibre au niveau de ces charnières pour résoudre les problèmes. Un tel problème peut être illustré par l’exemple suivant.
Prenons une structure de cadre où deux barres rigides sont connectées par une charnière idéale en E et soumises à des forces externes, comme dans l'exemple de la figure 2.29. Les barres ont des supports articulés en A et en B. L’objectif est de déterminer les réactions aux supports et la force exercée dans la charnière qui relie les deux barres. Chaque support articulé (en A et B) crée une réaction inconnue avec deux composantes. Ainsi, il existe quatre inconnues dans le système. En utilisant un diagramme de corps libre de l’ensemble du système, nous n’aurons que trois équations d’équilibre (deux pour les forces et une pour les moments). Ce diagramme de corps libre ne permet donc pas de résoudre toutes les inconnues, et il devient indispensable de faire appel à la condition d'équilibre interne au niveau de la charnière pour compléter les équations nécessaires.
Il faut donc diviser le système en trois diagrammes de corps libre distincts. D'abord, un pour la barre AEC, ensuite un pour la charnière en E, et enfin un pour la barre BED. Dans ce cas, la force Q représente l’action réciproque de la charnière sur les barres et vice versa. La charnière étant en équilibre, les forces doivent être égales et opposées. Par la troisième loi de Newton, ces forces doivent se compenser, transmettant ainsi les moments et forces aux barres respectives.
Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d’établir les équilibres de forces et de moments pour chaque barre. Cela donne lieu à des équations simples comme : A + Q - Fe2 = 0 et B - Q + Fe1 = 0. Une fois ces équations établies, il est possible d’obtenir les résultats en calculant les moments par rapport aux points de support, et de résoudre les inconnues.
Ce processus peut être généralisé pour les cadres et machines en deux dimensions, en notant que chaque élément pris comme un diagramme de corps libre donne trois équations d’équilibre (deux forces et un moment). Chaque charnière introduit une force inconnue (Q) avec deux composantes. Le système est statiquement déterminé si la condition suivante est satisfaite :
3 M = 2 P + R 3M = 2P + R 3 M = 2 P + R
Où M est le nombre d’éléments, P le nombre de charnières et R le nombre de composantes de réaction. Cette équation est essentielle pour évaluer la détermination statique d’un système et s'applique dans de nombreux cas comme les treillis et autres structures avec des charnières multiples.
L'important dans ce type de calcul est de comprendre que la division du système en corps libres permet de révéler les forces internes qui ne seraient autrement pas visibles dans un seul diagramme global. Cela nécessite de traiter minutieusement les interactions entre les forces et moments à chaque charnière et de savoir isoler les éléments pour appliquer les lois de Newton de manière systématique.
Il est également crucial de ne pas négliger la relation entre la géométrie de la structure et les forces agissant sur elle. Les vecteurs unitaires associés aux directions des barres et des forces doivent être manipulés avec soin, en particulier lors de l’application des produits scalaires et vectoriels dans les calculs des moments. Cela assure une compréhension rigoureuse des comportements mécaniques d’un système.
Comment déterminer les déformations principales dans un état de contrainte planaire ou tridimensionnelle ?
La représentation graphique par le cercle de Mohr offre une méthode intuitive mais rigoureuse pour visualiser et analyser l’état de déformation dans un plan donné. Toute paire de composantes de déformation normale et de cisaillement — par exemple (ε<sub>xx</sub>, ε<sub>xy</sub>) ou (ε<sub>yy</sub>, ε<sub>xy</sub>) — peut être représentée dans un espace cartésien, où la transformation du système de coordonnées correspond à une rotation autour du centre du cercle. Ce centre, noté (c, 0), est défini comme la moyenne des déformations normales ε<sub>xx</sub> et ε<sub>yy</sub>. Le rayon du cercle, R, encode l’intensité maximale de la déformation de cisaillement : γ<sub>max</sub> = R.
Les valeurs principales de la déformation, c’est-à-dire celles observées dans une base où le cisaillement est nul, sont alors simplement ε₁ = c + R et ε₂ = c − R. Ces directions principales de déformation correspondent aux orientations dans lesquelles un élément de matériau s’allonge ou se contracte sans subir de distorsion angulaire. La géométrie du cercle montre également que l’angle entre la direction de la déformation principale et celle du cisaillement maximal est toujours de π/4, ce qui traduit une relation fondamentale entre déformations normales et déformations de cisaillement.
L’usage des jauges de déformation (strain gauges) permet de mesurer expérimentalement ces composantes, en particulier lorsqu’elles sont disposées en rosace, orientées selon les côtés d’un triangle équilatéral. Une telle configuration permet de reconstruire l’état complet de la déformation planaire, à partir des lectures de trois jauges orientées différemment. Si l’on suppose que l’une des jauges est alignée selon l’axe x, les directions des autres jauges peuvent être exprimées à l’aide de vecteurs unitaires. On obtient alors un système linéaire reliant les mesures aux composantes de la matrice de déformation. Ce système peut être résolu analytiquement par combinaison des équations.
Une fois la matrice de déformation reconstituée, les valeurs propres de cette matrice donnent les déformations principales, tandis que les vecteurs propres indiquent leurs directions. Cette interprétation matricielle devient essentielle en trois dimensions, où les outils graphiques comme le cercle de Mohr perdent leur simplicité. Dans un espace tridimensionnel, l’orientation d’un plan ne peut être décrite par un seul angle, et l’approche vectorielle devient inévitable.
Le problème de la détermination des directions principales se réduit alors à un problème d’autovalues : il s’agit de trouver les vecteurs unitaires n tels que le produit de la matrice de déformation avec n soit colinéaire à n , c’est-à-dire que En = εn. Ce produit représente la projection de la déformation totale sur la direction n . Lorsque cette condition est remplie, cela signifie que la direction n subit uniquement une déformation normale (allongement ou contraction), sans cisaillement associé. Les directions p et q , perpendiculaires à n , conservent alors leurs angles droits initiaux dans la configuration déformée, ce qui confirme l’absence de cisaillement : p · En = 0 et q · En = 0.
Cette caractérisation géométrique et spectrale des directions principales est non seulement un outil analytique, mais aussi une condition physique essentielle à la compréhension des mécanismes de déformation des matériaux. Elle garantit que la configuration initiale orthogonale reste orthogonale dans le système principal, traduisant ainsi une forme pure de déformation.
Il est essentiel pour le lecteur de comprendre que la représentation par le cercle de Mohr est limitée au cas bidimensionnel. En trois dimensions, les déformations principales se trouvent exclusivement à travers la résolution du problème aux valeurs propres. Il ne s’agit pas seulement d’une généralisation mathématique, mais d’un changement de paradigme dans la manière de penser l’orientation des déformations dans l’espace. De plus, la symétrie de la matrice de déformation garantit toujours l’existence de trois directions principales mutuellement orthogonales, et leurs valeurs associées — les déformations principales — décrivent entièrement l’état de déformation dans un solide.
La justesse des mesures expérimentales repose sur l’orientation correcte des jauges, la qualité de leur calibration et la modélisation rigoureuse de l’état de contrainte associé. La déformation n’est pas un simple vecteur mais un tenseur, et sa compréhension complète nécessite un passage du scalaire à la structure tensorielle — passage qui est au cœur de tout
Comment déterminer les conditions aux limites et la relation entre couple et rotation pour la torsion des barres ?
Les problèmes de torsion des barres peuvent être modélisés en utilisant des équations différentielles qui lient le couple interne et la déformation angulaire. Ces modèles reposent sur des hypothèses concernant les conditions aux limites, les propriétés du matériau et la géométrie de la barre. L'un des principaux aspects à comprendre est la relation entre la déformation par torsion, les contraintes de cisaillement et les propriétés du matériau, notamment la rigidité au cisaillement.
Les conditions aux limites dans un problème de torsion sont essentielles car elles décrivent la manière dont la barre se comporte à ses deux extrémités. Typiquement, à chaque extrémité d’une barre, il existe soit un verrouillage de la rotation, soit une possibilité de rotation libre. Un verrouillage de la rotation est souvent représenté par un bloc ombré, tandis qu'une extrémité libre est indiquée par l'absence de tout symbole. À une extrémité libre, il est également possible d'appliquer un couple concentré. À une extrémité fixe, le mouvement est contraint à être nul, ce qui implique que la fonction de rotation, ϕ(x), est égale à zéro à cet endroit. Par exemple, dans un problème où une barre est fixée à une extrémité et soumise à un couple concentré à l'autre extrémité, la condition aux limites à l'extrémité fixe est ϕ(0) = 0, et à l'extrémité libre, la condition sur le couple interne est T(L) = To, où To est le couple appliqué.
Le modèle constitutif de la torsion des barres repose sur l’idée que la torsion génère une déformation de cisaillement pur dans la barre. En observant un motif de grille sur une barre circulaire avant et après torsion, on constate que les lignes de latitude restent dans leur plan, tandis que les lignes de longitude subissent une rotation. Cette déformation, qui résulte du couple appliqué, génère une déformation de cisaillement où les angles entre les bords de la grille changent, formant des parallélogrammes. La contrainte associée à cette déformation est appelée contrainte de cisaillement, notée τ. La relation entre la contrainte de cisaillement et la déformation de cisaillement est donnée par la loi de Hooke : τ = Gγ, où G est le module de cisaillement, et γ est l'angle de déformation.
Il est important de noter que la relation entre la contrainte et la déformation peut être linéaire pour des matériaux élastiques dans une plage de déformations petites, mais à des niveaux plus élevés, comme lors de la rupture ou du dérapage, la relation devient non linéaire. La torsion des barres peut être analysée en utilisant cette relation linéaire dans le cadre d’un modèle élastique classique.
L'un des éléments clés de la torsion est la polarisation du moment d'inertie de la section transversale, J. La formule du moment polaire de la section, J = ∫r² dA, intègre la distance radiale au carré sur la section transversale. Cette géométrie joue un rôle crucial dans la résistance de la barre à la torsion. Par exemple, une section creuse résiste mieux à la torsion qu’une section pleine du même matériau. Cela s'explique par le fait que les matériaux éloignés du centre de la barre contribuent plus à la résistance au couple que ceux proches de l'axe central.
En combinant l'équilibre, la cinématique et le modèle constitutif, on obtient une relation directe entre le couple interne et la déformation angulaire, ce qui permet de résoudre des problèmes de torsion. Cette relation se présente sous la forme d'une équation différentielle : T(x) = GJϕ′(x), où G est le module de cisaillement, J est le moment polaire de la section, et ϕ′(x) est la dérivée de la fonction de rotation par rapport à la position x. Cette équation établit que le couple interne est proportionnel au taux de changement de l'angle de torsion.
Il est essentiel de comprendre que, dans les calculs pratiques, l’élasticité de la barre est souvent supposée uniforme sur toute la section transversale, permettant de simplifier l’expression du moment polaire de la section en utilisant GJ. Cependant, dans des matériaux anisotropes ou des sections non uniformes, cette relation peut devenir plus complexe, et la distribution des contraintes devra être prise en compte de manière plus précise.
Un autre point crucial est la relation entre le module de cisaillement G et d’autres propriétés mécaniques du matériau. Le module de cisaillement peut être exprimé en fonction du module d’Young (E) et du coefficient de Poisson (ν) par la formule G = E / (2(1 + ν)), ce qui permet de relier la résistance à la torsion aux propriétés fondamentales du matériau.
Lorsqu’il s'agit de résoudre des problèmes de torsion, il est également essentiel de prendre en compte la distribution des contraintes dans la barre. L'angle de torsion varie en fonction de la longueur de la barre et des propriétés géométriques de la section. Par conséquent, la compréhension complète des phénomènes de torsion requiert à la fois une modélisation précise des conditions aux limites, une connaissance des matériaux et une analyse des propriétés géométriques de la barre.
Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский