Comment déterminer la courbure et le moment de flexion lors de la première plasticité dans une poutre ?

Dans la région élastique d’une poutre en flexion, la relation entre la contrainte normale et la déformation est linéaire, et cette linéarité est valide tant que la section transversale entière reste élastique. On peut définir la courbure au premier écoulement, notée κ₀, en observant que la fibre la plus éloignée, située à z = h/2, atteint une contrainte égale à la contrainte d’écoulement σ₀. Par la relation σ = E κ z, on établit que σ₀ = E κ₀ (h/2), ce qui donne la formule fondamentale κ₀ = 2 σ₀ / (E h). Cette équation marque le seuil entre la réponse élastique et la plastification initiale de la section.

Le moment de flexion au premier écoulement, M₀, correspond à la situation où z₀ atteint h/2, c’est-à-dire lorsque toute la section commence à plastifier. Ce moment est donné par M₀ = (1/6) b h² σ₀, ce qui établit une référence physique essentielle. En dépassant ce point, la courbure augmente au-delà de κ₀, mais le moment de flexion ne croît plus linéairement : la relation moment-courbure devient non linéaire et asymptotiquement tend vers une valeur ultime Mᵤ = 1,5 M₀. Cette valeur ultime traduit la capacité de la poutre à supporter un moment supérieur d’environ 50 % par rapport au moment d’apparition du premier écoulement, grâce aux déformations plastiques supplémentaires.

Il est crucial de comprendre que le phénomène de plastification ne signifie pas une rupture immédiate de la poutre. La résistance ultime est accrue par la redistribution des contraintes et les déformations kinematiques associées. La défaillance intervient plutôt lorsque la déformation normale à la fibre extérieure atteint la déformation ultime du matériau. Ce point souligne que la stabilité et la résistance d’une poutre en flexion sont intimement liées à la progression de la plastification et à la redistribution interne des contraintes.

Les effets du cisaillement, souvent négligés, peuvent cependant avoir une influence non négligeable dans certains cas. Bien que pour des poutres classiques les contraintes de cisaillement soient faibles comparées aux contraintes de flexion, leur effet peut réduire la capacité en moment lorsque des efforts axiaux importants ou des charges transversales élevées sont présents. En particulier, dans les poutres courtes ou fortement sollicitées en cisaillement, la combinaison des contraintes doit être prise en compte pour une analyse précise.

L’analogie avec des systèmes discrets simples, composés d’éléments rigides et de ressorts élastiques, permet d’introduire la notion d’énergie potentielle stockée. La stabilité statique s’interprète alors comme une condition d’optimisation d’énergie : un minimum local d’énergie potentielle correspond à une position stable, tandis qu’un maximum ou un point selle traduit une instabilité. Cette compréhension énergétique est fondamentale pour prévoir les charges critiques de flambement des poutres soumises à de grandes forces axiales.

Ainsi, le comportement d’une poutre sous flexion dépasse la simple analyse élastique linéaire. La plastification progressive, la redistribution des contraintes, la contribution des efforts de cisaillement, ainsi que la stabilité de l’équilibre statique et dynamique, doivent être considérés ensemble pour une compréhension complète. La capacité ultime d’une poutre est donc le fruit d’interactions complexes entre mécanique des matériaux, géométrie de la section et conditions aux limites, ce qui exige une approche intégrée pour la conception et l’analyse des structures.

Comment déterminer les contraintes principales et la contrainte de cisaillement maximale dans une déformation élastique plane ?

La compréhension des déformations dans une plaque mince soumise à un état de contraintes planes implique l’analyse rigoureuse des tenseurs de contraintes et de déformations, souvent représentés et interprétés via le cercle de Mohr. Lorsque la plaque subit une déformation homogène, les modifications géométriques, telles que la réduction d’un angle droit ou la variation des longueurs des côtés, traduisent un état de contraintes complexes, qu’il convient d’identifier précisément. Les données expérimentales, comme les lectures des jauges de déformation orientées sous différents angles, permettent de reconstituer les composantes du tenseur des déformations ε. Ces composantes, reliées au tenseur des contraintes σ par la loi de Hooke en élasticité linéaire, rendent possible le calcul des contraintes principales et des contraintes maximales de cisaillement.

Le point de départ est souvent la détermination des composantes de la déformation, obtenues par mesure directe ou par calcul à partir de la configuration déformée. En effet, le passage de la configuration initiale à la configuration déformée est représenté par un gradient de déformation F, qui, pour une déformation homogène, est constant dans la région étudiée. Le tenseur de déformation de Lagrange ou de Green-Lagrange peut alors être calculé, ce qui permet d’obtenir la matrice symétrique des déformations.

Les contraintes principales, qui correspondent aux directions où les contraintes normales sont maximales ou minimales et où la contrainte de cisaillement s’annule, s’obtiennent par la diagonalisation du tenseur σ. L’angle principal, c’est-à-dire l’orientation des axes principaux, est donné par l’orientation des vecteurs propres de cette matrice. La contrainte de cisaillement maximale, quant à elle, est égale à la moitié de la différence entre les contraintes principales, ce qui se représente de manière graphique et intuitive via le cercle de Mohr.

Le cercle de Mohr est un outil géométrique essentiel, synthétisant l’état de contraintes dans un plan et facilitant la lecture des valeurs principales. Les points du cercle correspondent aux contraintes normales et de cisaillement sur des plans inclinés à différents angles, avec le centre du cercle situé à la moyenne des contraintes principales. La construction rigoureuse de ce cercle nécessite la connaissance exacte des composantes σxx, σyy et σxy, déduites des mesures de déformation et des propriétés élastiques du matériau.

Enfin, la détermination des efforts de traction à appliquer aux bords de la plaque pour obtenir la déformation observée s’appuie sur les contraintes calculées et les conditions aux limites spécifiées (par exemple, faces libres de traction ou contraintes imposées). Ces efforts traduisent la réponse mécanique globale nécessaire pour induire la transformation géométrique étudiée, en respectant la compatibilité des déformations et l’équilibre des forces.

Il importe de noter que ces analyses s’inscrivent dans le cadre d’une modélisation élastique linéaire, valide pour des déformations suffisamment petites. La validité des hypothèses dépend aussi du comportement matériel réel, qui peut inclure des effets plastiques, viscoélastiques ou anisotropes, non pris en compte ici. La rigueur dans le choix du modèle, la précision des mesures de déformation et la cohérence des hypothèses avec la réalité physique conditionnent la pertinence des résultats obtenus. La maîtrise de ces concepts permet non seulement de caractériser l’état de contrainte d’une structure, mais aussi de concevoir des matériaux et des formes résistants aux sollicitations spécifiques.

Comment résoudre les problèmes de poutres statiquement indéterminées ?

L’approche classique par diagrammes de corps libres montre que chaque découpe dans la poutre introduit trois inconnues internes — l’effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant — mais aussi trois équations d’équilibre, ce qui ne permet pas de trouver de nouvelles réactions inconnues. Cela signifie que l’indétermination doit être évaluée à partir du diagramme global de la structure.

Chaque réaction supplémentaire correspond à une condition de support additionnelle qui se traduit par une condition aux limites supplémentaire sur la déformée $w$ ou la rotation $\theta$. Ces conditions supplémentaires permettent de déterminer les inconnues excédentaires en plus des constantes d’intégration, qui restent égales au nombre prévu par l’ordre de l’équation différentielle (deux constantes pour une équation d’ordre deux, quatre pour une d’ordre quatre, etc.).

Cette méthode permet d’obtenir l’expression analytique de la déformée, de la rotation, des efforts internes (moment et effort tranchant), et ainsi de localiser la déflexion maximale et les réactions aux appuis. La résolution d’une équation cubique pour déterminer la position de la déflexion maximale illustre la complexité possible mais reste accessible par des méthodes numériques telles que celle de Newton.

Au-delà des méthodes analytiques, il est crucial pour le lecteur de reconnaître que la résolution des systèmes statiquement indéterminés nécessite souvent une bonne maîtrise des équations différentielles, de la mécanique des matériaux et des conditions aux limites. De plus, l’approche présentée s’applique dans le cadre de la théorie linéaire des poutres, ce qui signifie que les déformations doivent rester petites et les matériaux linéaires élastiques. Pour des cas plus complexes, comme les grandes déformations, matériaux non linéaires, ou conditions dynamiques, d’autres méthodes plus avancées doivent être envisagées.

Enfin, l’interprétation physique des réactions supplémentaires comme des contraintes imposées par les appuis supplémentaires est une clé de compréhension qui aide à anticiper le comportement des structures réelles, souvent plus complexes que les modèles idéalisés. Ce principe guide également le choix des méthodes numériques et expérimentales complémentaires pour vérifier la validité des solutions obtenues analytiquement.

Comment intégrer les charges ponctuelles dans le calcul numérique des poutres ?

Les charges ponctuelles, par nature localisées, posent un défi particulier dans la modélisation numérique des poutres. Contrairement aux charges distribuées, elles ne s’intègrent pas naturellement dans un schéma de quadrature classique. Cependant, l’algèbre linéaire et la linéarité de l’intégration permettent une superposition directe de leurs effets sur les équations intégrales fondamentales de la flexion.

ces termes étant ensuite ajoutés aux résultats de l’intégration numérique des charges distribuées. Il en résulte un vecteur d’efforts généralisés complet, combinant les deux types de sollicitations.

Pour automatiser ce processus, un code MATLAB structuré est mis en œuvre. La fonction PointLoadFcn encapsule la définition des charges ponctuelles. Elle prend comme arguments la longueur de la poutre, un multiplicateur de charge, un code de type de charge, ainsi qu’une structure Load contenant déjà l’information sur les charges distribuées.

Une fois cette structure remplie, elle est utilisée dans le code principal BeamCode2, une version modifiée de BeamCode1, afin d’inclure les effets simultanés des deux types de chargement. L’ajout des charges ponctuelles est fait après l’intégration numérique par la méthode de Simpson des charges distribuées. Pour chaque charge ponctuelle, on calcule explicitement sa contribution à chaque intégrale $I_k$, via les formules analytiques évoquées, et on les ajoute au vecteur global.

Enfin, les diagrammes de cisaillement, moment, rotation et flèche sont générés à l’aide d’un schéma d’intégration par morceaux, chaque segment étant défini entre deux charges ponctuelles successives. L’approche de Gauss-Tschebyshev-Radau est utilisée pour cette étape, permettant une intégration stable même en présence de discontinuités de charge. À chaque pas, les efforts internes sont mis à jour en utilisant une pondération contrôlée par un paramètre $\beta$, assurant une continuité numérique des variables malgré la discontinuité physique introduite par les charges ponctuelles.

Il est important de noter que l’ajout des charges ponctuelles ne nécessite pas une modification de la structure globale du programme. Il s’agit d’une extension modulaire et naturelle de l’approche de base. En revanche, une attention particulière doit être portée à la localisation précise des charges et à la segmentation du domaine d’intégration pour éviter des artefacts numériques dans les résultats, notamment aux points d’application des charges.