Comment démontrer l'existence d'une mesure risque-neutre équivalente dans le cadre de la théorie de l'arbitrage ?

La démonstration de l'existence d'une mesure risque-neutre équivalente repose sur des arguments sophistiqués de théorie de la mesure, d'analyse fonctionnelle et de probabilités conditionnelles, intégrés dans le cadre de la théorie moderne de l'arbitrage. Le point de départ est souvent l'étude d'un cône convexe fermé C dans l'espace L¹, défini comme l'intersection de l'ensemble K − L₀⁺ avec L¹, où K représente l'ensemble des gains admissibles et L₀⁺ les variables aléatoires presque sûrement positives.

Un point crucial de la démonstration est de s'assurer que l'ensemble C est fermé dans L¹. Cette fermeture est liée intimement à l'absence d'arbitrage et à la stabilité de l'espace des gains admissibles. Une fois la fermeture établie, une procédure d'exhaustion permet de construire un élément Z* strictement positif, garantissant que la mesure risque-neutre est absolument continue par rapport à la mesure originale P, et que sa densité est bien définie et non triviale.

La théorie est subtile dans le cas général, notamment lorsque l'espace probabiliste Ω n'est pas dénombrable ni atomique, car alors la construction explicite de la mesure risque-neutre nécessite des arguments complexes de sélection mesurable. Cependant, dans les cas plus simples où Ω est dénombrable ou décomposable en atomes, on peut appliquer les résultats élémentaires sur chaque atome, simplifiant ainsi la démonstration.

La méthode repose aussi sur une normalisation des variables aléatoires afin d'assurer leur intégrabilité, ce qui permet de travailler dans des espaces L¹ et L^∞ où la dualité fonctionnelle est bien établie. Cette normalisation ne modifie pas la validité des hypothèses d'absence d'arbitrage ni la construction des mesures risque-neutres.

Il est essentiel pour le lecteur de comprendre que ces constructions reposent non seulement sur des techniques d'analyse fonctionnelle abstraite, mais aussi sur une interprétation financière précise : la mesure risque-neutre reflète un monde probabiliste sous lequel les prix actualisés des actifs sont des martingales, ce qui exclut toute possibilité d'arbitrage. Ce pont entre mathématiques pures et finance appliquée est la clé de la puissance et de la beauté de la théorie.

Par ailleurs, il faut garder à l'esprit que la mesure risque-neutre est souvent non unique, ce qui reflète la multiplicité des modèles financiers compatibles avec les observations de marché et la non-completude du marché. L'existence seule garantit la cohérence sans arbitrage, mais l'étude de la structure de l'ensemble des mesures risque-neutres est un domaine riche qui influe directement sur la valorisation et la gestion des risques.

Comment représenter les préférences robustes face à l’incertitude modélisée ?

Considérons deux fonctions aléatoires modélisées par les mesures de probabilité ponctuelles $\tilde{X}_0(\omega) := p \delta_{1000} + (1-p) \delta_0$ et $\tilde{X}_1(\omega) := (1-p) \delta_{1000} + p \delta_0$, où $p \in [0,1]$, et $\delta_x$ désigne la mesure de Dirac en $x$. Ces mesures illustrent un modèle simple d’incertitude liée à deux états possibles $\omega \in \{0,1\}$. Nous introduisons une famille $Q$ de probabilités mixtes $q \delta_1 + (1-q) \delta_0$ avec $q \in [a,b] \subseteq [0,1]$, qui traduit une incertitude non ponctuelle sur la distribution réelle des états. Cette modélisation permet d’aborder la robustesse des préférences, en intégrant la possible variabilité de la loi sous-jacente.

La représentation des préférences robustes nécessite des propriétés spécifiques du relation d’ordre $\succ$ définie sur un ensemble convexe $\tilde{\mathcal{X}}$ de fonctions aléatoires. La fonctionnelle $\tilde{U}$ est concave au sens que pour toute combinaison convexe $\alpha \tilde{X} + (1-\alpha) \tilde{Y}$, on a $\tilde{U}(\alpha \tilde{X} + (1-\alpha) \tilde{Y}) \geq \alpha \tilde{U}(\tilde{X}) + (1-\alpha) \tilde{U}(\tilde{Y})$. Cette concavité incarne l’aversion à l’incertitude, exprimée par la propriété suivante : lorsque $\tilde{X} \sim \tilde{Y}$, la combinaison convexe $\alpha \tilde{X} + (1-\alpha) \tilde{Y}$ est strictement préférée ou égale à $\tilde{X}$. En d’autres termes, mélanger des alternatives équivalentes en utilité conduit à une préférence pour une diversification réduisant l’incertitude.

Une extension notable est la notion d’indépendance comonotone, qui reconnaît l’importance du rôle des stratégies de couverture (hedging). Deux actes comonotones ne varient pas dans des directions opposées selon les états du monde, ce qui assure une cohérence dans la représentation des préférences robustes lorsque des stratégies combinées sont envisagées.

Les préférences sont par ailleurs supposées monotones : si un acte $\tilde{Y}$ est supérieur ou égal à $\tilde{X}$ dans tous les états, alors $\tilde{Y} \succ \tilde{X}$. Cette propriété s’inscrit dans une cohérence naturelle avec l’ordre usuel des gains réels.

Sous ces hypothèses, le théorème central établit qu’il existe une fonction strictement croissante $u$ continue, et un ensemble convexe de mesures $Q \subseteq M_{1,f}(\Omega, \mathcal{F})$ (probabilités finiment additives), tel que la fonctionnelle $\tilde{U}(\tilde{X}) = \min_{Q \in Q} E_Q\left[ \int u(x) \tilde{X}(\cdot, dx) \right]$ représente numériquement l’ordre $\succ$. Cette forme souligne que la préférence robuste s’évalue par un minimum d’utilités attendues, incarnant la prudence face à l’incertitude sur le modèle. Si en plus une continuité renforcée est supposée sur la restriction à des fonctions classiques $X \subseteq \tilde{X}$, alors $Q$ se restreint aux probabilités $\sigma$-additives classiques, et on obtient la représentation robuste dite de Savage.