Comment résoudre le problème de Riemann pour les équations de l'eau peu profonde ?

Le problème de Riemann est un problème fondamental dans la résolution des systèmes d'équations hyperboliques, en particulier dans le cadre des équations de l'eau peu profonde. Ces équations modélisent des phénomènes physiques tels que les vagues et les écoulements d'eau à faible profondeur. Dans ce chapitre, nous examinerons comment aborder ce problème, notamment dans le contexte des solutions faibles et des solutions obtenues par ondes de rarefaction.

La formulation de base du problème de Riemann est donnée par un système d'équations hyperboliques, dans lequel on cherche une solution à un problème de type initial avec des conditions données à gauche et à droite. Ce système est modélisé par les équations suivantes :

\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x} = 0

\frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{q^2}{h} + \frac{1}{2} g h^2 \right) = 0

où $h(x, t)$ est la hauteur de l'eau et $q(x, t)$ est le débit. Le problème de Riemann consiste à déterminer la solution du système sous la condition que les valeurs initiales de $h$ et $q$ soient données par des fonctions distinctes de chaque côté de $x = 0$ , telles que :

h(x, 0) = h_g, \quad u(x, 0) = u_g \quad \text{pour} \quad x < 0

h(x, 0) = h_d, \quad u(x, 0) = u_d \quad \text{pour} \quad x > 0

Les paramètres $h_g$ et $h_d$ sont les hauteurs de l'eau, et $u_g$ et $u_d$ sont les vitesses correspondantes dans les deux zones initiales. Les variables $q_g = h_g u_g$ et $q_d = h_d u_d$ représentent les débits dans chaque région.

L'une des solutions possibles de ce problème peut être formulée sous forme de vagues de rarefaction, où l'on observe une transition progressive entre les états initiaux. Ces vagues sont caractérisées par des relations linéaires entre la vitesse $u$ et la vitesse du son $c = \sqrt{g h}$ , et chaque région de la solution peut être décomposée en une zone d'état constant et une zone de transition rarefactive.

Les vagues de rarefaction et leurs conditions

Une vague de rarefaction est une solution où la grandeur de la vitesse varie de manière continue dans l'espace, par opposition aux chocs qui représentent des discontinuités. Dans notre cas, nous cherchons une solution qui est formée de deux vagues de rarefaction séparées par un état intermédiaire noté $(h^*, u^*)$ , où $h^* > 0$ .

La condition de non-vacuité, c'est-à-dire l'absence de vide entre les deux états, est essentielle pour assurer la validité de la solution. Elle est formulée ainsi :

u_d - u_g < 2(c_g + c_d)

Cette condition permet d'éviter des phénomènes physiques irréalistes, tels que la formation d'un vide entre les deux régions, ce qui invaliderait la solution. Si cette condition est satisfaite, il est possible de construire la solution en associant des valeurs constantes de $h$ et $u$ à chaque état et en définissant les vitesses de propagation des ondes de rarefaction en fonction des valeurs de ces grandeurs.

La construction d'une solution avec des vagues de rarefaction

Nous construisons la solution du problème de Riemann sous la forme de deux vagues de rarefaction. La solution est définie sur cinq zones distinctes :

$D_1$ , où $x \leq (u_g - c_g) t$ , dans laquelle l'état est constant et égal à $U_g$ .
$D_2$ , où $(u_g - c_g) t < x < (u^* - c^*) t$ , correspondant à une première vague de rarefaction.
$D_3$ , où $(u^* - c^*) t < x < (u^* + c^*) t$ , dans laquelle l'état est constant et égal à $U^*$ .
$D_4$ , où $(u^* + c^*) t < x < (u_d + c_d) t$ , correspondant à la deuxième vague de rarefaction.
$D_5$ , où $x \geq (u_d + c_d) t$ , dans laquelle l'état est constant et égal à $U_d$ .

Les conditions de continuité des variables et les relations entre $u$ , $c$ , et $h$ permettent de déterminer précisément les états intermédiaires et la vitesse de propagation des ondes.

Les conditions de Rankine-Hugoniot pour les chocs

Dans le cas où une discontinuité se forme, le système peut admettre une solution sous forme de choc. Les conditions de Rankine-Hugoniot définissent les relations entre les grandeurs physiques avant et après un choc. Ces relations sont données par :

\lambda [h] = [h u]

u_d = u_g - S

où $S$ représente la vitesse du choc et $[h]$ et $[h u]$ sont les sauts discontinus dans les grandeurs respectives. Il est important de noter que les solutions de type choc ne sont possibles que lorsque la condition suivante est satisfaite :

2|c_g - c_d| > u_d - u_g

Cette condition garantit l'existence d'un choc, empêchant la formation d'une solution où $h_g = h_d$ , ce qui impliquerait une contradiction avec les valeurs initiales.

En résumé, la résolution du problème de Riemann pour les équations de l'eau peu profonde implique une compréhension approfondie des vagues de rarefaction et des chocs. La solution dépend de la nature des conditions initiales et des relations entre les grandeurs physiques, et peut être construite en fonction de la satisfaction des conditions de non-vacuité et des conditions de Rankine-Hugoniot pour les chocs.

Existence et unicité des solutions dans les problèmes paraboliques : une analyse approfondie

Soit un ensemble d'équations différentielles dont la solution se trouve dans un espace discret. Le processus de recherche de solutions numériques dans ce cadre implique l'utilisation d'outils sophistiqués, notamment des transformations itératives et des techniques d'approximation. L'objectif est d'obtenir des solutions qui convergent vers des solutions exactes au fur et à mesure que les paramètres de discrétisation sont affinés. Pour cela, la régularisation des équations et l'analyse de la contraction de certaines mappings jouent un rôle clé dans la démonstration de l'existence et de l'unicité des solutions.

Nous examinons d'abord une fonction $g_a(s) = s + a \phi(s)$ , où $a > 0$ , et montrons que cette fonction est une bijection croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ . Cela repose sur le fait que la fonction $\phi(s)$ est monotone et non-décroissante, ce qui garantit l'injectivité et la bijectivité de $g_a$ . Cette propriété est essentielle car elle nous permet de formuler une équation implicite dont la solution est unique, à condition que les conditions de régularité et de continuité soient respectées.

Nous considérons ensuite un problème spécifique où un vecteur $w = (w_i)_{i=1,\dots,N} \in \mathbb{R}^N$ satisfait une relation de récurrence du type :

\phi(u_i) = w_i, \quad \text{pour tout } i \in \{1, \dots, N\},

k u_i + 2k \frac{h^2}{w_i} = h^2 (w_{i-1} + w_{i+1}) + u_{n_i} + k v_{n_i}, \quad \text{pour tout } i = 1, \dots, N.

Sous certaines conditions, il est possible de prouver qu'il existe un et un seul couple $(u, w) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ qui satisfait à ces relations. Ce résultat repose sur la théorie de la contraction stricte, qui montre que l'application $F$ associée à ces équations est une contraction stricte dans le cadre de l'espace $\ell^\infty$ , ce qui permet d'établir l'existence et l'unicité de la solution.

L'espace $\mathbb{R}^N$ est équipé de la norme $\|\cdot\|_\infty$ , et il est prouvé que l'application $F$ est strictement contractante. En effet, l'utilisation de la monotonicité de $\phi$ et de l'inégalité suivante :

|a - b| \geq \frac{1}{L_\phi} | \phi(a) - \phi(b) |

pour $a = \phi(\alpha)$ et $b = \phi(\beta)$ , avec $L_\phi$ étant la constante de Lipschitz de $\phi$ , garantit que l'itération associée converge rapidement vers la solution.

Une fois que cette itération a convergé, il est possible d'établir que la séquence $\{u_n\}$ converge vers une solution unique dans l'espace $\mathbb{R}^N$ . En effet, à chaque étape de l'itération, les variables discrètes convergent vers une solution continue du problème, comme le montre la relation :

u_n \in [ -A - n k B, A + n k B ] \quad \text{pour tout } n \in \{0, \dots, M\},

où $A$ et $B$ sont des constantes dépendant des conditions initiales et des paramètres du système.

Pour analyser l'erreur entre les solutions discrètes et continues, nous examinons les estimations en norme $L^2$ et $L^\infty$ , en particulier les estimations de la fonction $\phi(u)$ et de la dérivée temporelle de $u$ . Ces estimations sont cruciales pour a

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