Quel est le profil optimal de couverture partielle dans un marché complet ?

Dans un marché financier sans arbitrage, le vendeur d’un produit dérivé européen à règlement unique, noté $H$, peut construire une stratégie de super-couverture, c’est-à-dire une stratégie auto-financée dont le processus de valeur terminale $V_T$ satisfait $V_T \geq H$ presque sûrement. Le coût minimal d’une telle stratégie est noté $\pi^{\text{sup}}(H)$. Toutefois, dans la pratique, ce coût peut être prohibitif, car il correspond à une élimination complète du risque — ce qui peut exiger de mobiliser la totalité des fonds générés par la vente du produit. Le gain potentiel disparaît alors avec le risque.

La couverture au quantile consiste à identifier une stratégie admissible $\xi^*$, auto-financée et dont le processus de valeur $V^*$ maximise la probabilité $\mathbb{P}[V^*_T \geq H]$, sous la contrainte que $V^*_0 \leq \upsilon$ et que $V^*_t \geq 0$ pour tout $t \in [0, T]$. Le respect de la non-négativité est essentiel pour garantir l’admissibilité de la stratégie. En l’absence de cette contrainte, le problème devient mal posé, ouvrant la porte à des stratégies arbitraires non viables économiquement.

Dans un marché complet — où toute option peut être répliquée par une stratégie — le problème se simplifie. Le noyau de la méthode repose sur la construction d’un ensemble de succès $A^*$, soit un événement $A \in \mathcal{F}_T$ maximisant $\mathbb{P}[A]$ sous la contrainte $\mathbb{E}^*[H \cdot 1_A] \leq \upsilon$, où $\mathbb{E}^*$ est l’espérance sous la mesure martingale équivalente unique $\mathbb{P}^*$. Le produit dérivé $H \cdot 1_{A^*}$, une option de type "knock-out", est alors parfaitement réplicable, et la stratégie associée réalise le profil optimal.

Qu’est-ce qu’une mesure de risque comonotone et comment le Choquet intégral s’y rattache-t-il ?

Le Choquet intégral se présente comme un outil fondamental dans la théorie des mesures de risque, surtout lorsque ces mesures ne sont pas nécessairement linéaires mais conservent des propriétés de cohérence et de comonotonie. Pour une fonction mesurable $X$ sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F})$, l’intégrale de Choquet par rapport à une capacité $c$ se définit par une décomposition intégrale sur les niveaux de perte ou de gain, impliquant la fonction de distribution $c(X > x)$.

La mesure de risque monétaire définie par $\rho(X) := \int (-X) \, dc$ est positivement homogène, ce qui signifie que le risque perçu croît proportionnellement avec l’échelle du risque initial. Cette propriété assure une compatibilité avec l’échelle des pertes ou profits, essentielle pour une interprétation financière robuste.

Dans le cas particulier où $c$ est une distorsion continue d’une mesure de probabilité $P$, c’est-à-dire $c_\psi(A) = \psi(P[A])$ avec $\psi$ une fonction continue et monotone, l’intégrale de Choquet peut s’exprimer directement en fonction des quantiles ordinaires $q_X$ de $X$ sous $P$. Cette connexion éclaire comment la distorsion modifie la pondération des événements, accentuant ou atténuant certaines pertes selon la fonction $\psi$.

Cette propriété de comonotonie garantit également la positivité et la continuité lipschitzienne des fonctions de transformation, assurant une régularité analytique indispensable pour la manipulation des quantiles associés.

La dualité entre mesures comonotones et capacités monotones s’illustre par le théorème fondamental stipulant que toute mesure de risque monétaire comonotone s’écrit comme un intégral de Choquet, la capacité $c$ étant directement liée à l’évaluation du risque sur des événements indicateurs. Cette identification lie la théorie abstraite des capacités à la pratique financière par la quantification des risques extrêmes.

Les risques liés aux quantiles, comme la Value-at-Risk (VaR) et l’Average Value-at-Risk (AVaR), incarnent des exemples paradigmes de mesures comonotones, confirmant leur rôle central dans la gestion financière moderne.

Ainsi, l’approche par intégrale de Choquet, enrichie par la notion de comonotonie, offre un cadre robuste pour modéliser et analyser les risques non linéaires, respectant une cohérence naturelle face aux dépendances structurelles des variables aléatoires.

La structure fonctionnelle sous-jacente aux transformations croissantes et lipschitziennes révèle une régularité qui justifie l’usage de quantiles comme représentation canonique des risques dans ce cadre non linéaire. Cela assure que les techniques analytiques classiques restent applicables malgré la complexité de la modélisation.