Dans l’étude des géodésiques dans la métrique de Kerr, l’approche hamiltonienne permet d’identifier des constantes du mouvement qui rendent possible la séparation complète des équations. On considère le hamiltonien comme fonction des moments canoniques, et on le décompose en deux parties associées respectivement aux coordonnées radiale et angulaire, par une scission soigneuse de la fonction Σ. Cette décomposition suit la notation introduite par Carter et aboutit à l’identification de deux fonctions auxiliaires, Ur=r2+a2U_r = r^2 + a^2 et Uμ=−a2sin⁡2ϑU_\mu = -a^2 \sin^2 \vartheta, qui facilitent l’analyse.

La structure du hamiltonien conduit à la relation {Hr,H}=2H{Ur,H}\{H_r, H\} = 2H \{U_r, H\}, à partir de laquelle on montre que l’expression K=2UrH−HrUr+UμK = \frac{2U_r H - H_r}{U_r + U_\mu} commute avec le hamiltonien total, et constitue donc une constante du mouvement. Cette constante, introduite initialement par Carter, rend compte du caractère intégrable du système.

Dans la métrique de Kerr, la géométrie impose une structure spécifique aux fonctions métriques : Σ=r2+a2cos⁡2ϑ\Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \vartheta et Δr=r2−2mr+a2\Delta_r = r^2 - 2mr + a^2. L’équation de la ligne d’univers prend alors une forme adaptée à l’analyse variationnelle, à partir de laquelle on extrait le lagrangien, puis les moments conjugués. En exprimant ensuite le hamiltonien en fonction de ces moments, on obtient une forme symétrique qui permet d’isoler les contributions radiale et angulaire.

La variable μ=cos⁡ϑ\mu = \cos \vartheta permet une reformulation des équations qui conduit à l’introduction des fonctions R(r)R(r) et Θ(ϑ)\Theta(\vartheta), dont les expressions sont entièrement séparées. Ces fonctions régissent respectivement l’évolution radiale et polaire le long des géodésiques. Les équations du mouvement prennent alors une forme intégrale, dans laquelle les composantes de la vitesse sont données par

Σ2r˙2=R(r),Σ2ϑ˙2=Θ(ϑ),\Sigma^2 \dot{r}^2 = R(r), \quad \Sigma^2 \dot{\vartheta}^2 = \Theta(\vartheta),

et les composantes temporelle et azimutale sont exprimées de façon similaire, à l’aide des intégrales de mouvement EE (l’énergie) et LzL_z (le moment angulaire axial).

Une condition importante émerge : pour une géodésique timelike, le vecteur tangent pαp^\alpha doit vérifier p0>0p^0 > 0, ce qui impose une contrainte sur les valeurs admissibles de l’énergie en fonction de LzL_z et de la fonction de traînée ω=2amr/B\omega = 2amr / B. Ainsi, seule l’énergie E+E_+, racine positive de l’équation R(r)=0R(r) = 0, satisfait cette condition, interdisant les mouvements avec E<ωLzE < \omega L_z.

Dans le plan équatorial ϑ=π/2\vartheta = \pi/2, les équations se simplifient considérablement. On montre que le paramètre C=K+a2μ02−(aE−Lz)2C = K + a^2 \mu_0^2 - (aE - L_z)^2 joue un rôle central : sa nullité est équivalente à la condition pour qu’une géodésique reste confinée dans le plan équatorial. Pour les géodésiques qui traversent ce plan avec une inclinaison, C>0C > 0, tandis qu’un C<0C < 0 correspond à des trajectoires qui n’atteignent jamais ce plan.

Une observation fondamentale concerne le rôle de la fonction Δr\Delta_r. Si ( a^2 > m_

Comment définir et caractériser les champs de vecteurs de Killing dans les espaces de Riemann?

Soit une variété différentielle Mn munie d'un champ tensoriel T, et considérons une famille de transformations différentiables ft : Mn → Mn, paramétrée par t dans un intervalle B = [t₁, t₂] ⊂ ℝ. Ces transformations, que l’on note Γ = {ft | t ∈ B}, forment un groupe G sous la composition, avec l’identité donnée par ft₀ à t = t₀. Chaque transformation ft peut être vue comme une application qui, pour un point p ∈ Mn de coordonnées x^α, donne une image p′ de coordonnées x′^α = f^α(t, {x}). En suivant un point p au cours de toutes les transformations ft, on obtient une trajectoire ou orbite dans Mn, tangente en chaque point à un champ de vecteurs générateur k^μ.

Les fonctions f^α sont supposées de classe C² en t, et chaque transformation ft est inversible, ce qui garantit la régularité des orbites et l’existence de ces champs tangents. Les vecteurs k^μ sont définis comme les dérivées partielles de f^α par rapport à t en t = t₀, c’est-à-dire k^μ = ∂f^μ/∂t |_{t=t₀}. Ces champs k^μ sont les générateurs infinitésimaux du groupe G des transformations d’invariance.

Lorsque le champ tensoriel T est invariant sous toutes les transformations de Γ, c’est-à-dire T′(p) = T(p) pour tout p ∈ Mn et tout t ∈ B, cela impose des conditions différentielles sur les générateurs k^μ. En développant les transformations au premier ordre en ε = t − t₀, on obtient les équations différentielles dites équations de Killing, qui s’expriment pour un tenseur covariant T_{αβ} par :

k^μ ∂μ T{αβ} + (∂α k^μ) T{μβ} + (∂β k^μ) T{αμ} = 0.

Cette relation traduit la condition d’invariance infinitésimale du tenseur T sous l’action du flux généré par k^μ. Elle se réécrit de manière covariante, remplaçant les dérivées partielles par des dérivées covariantes, et devient ainsi indépendante du choix des coordonnées :

k^μ T_{αβ;μ} + k^μ_{;α} T_{μβ} + k^μ_{;β} T_{αμ} = 0.

Lorsqu’on applique ce formalisme au tenseur métrique g_{αβ}, dont la dérivée covariante est nulle (g_{αβ;γ} = 0), on obtient la forme classique des équations de Killing :

k_{α;β} + k_{β;α} = 0,

c’est-à-dire que la dérivée symétrisée du champ k s’annule. Ces équations caractérisent précisément les vecteurs de Killing, qui correspondent aux symétries infinitésimales de l’espace riemannien. Le groupe des transformations d’isométrie peut être reconstitué à partir des champs de vecteurs de Killing en intégrant les équations différentielles dy^α/dt = k^α(y), avec les conditions initiales adéquates.

Le problème inverse — déterminer les champs de Killing pour une métrique donnée — est un système linéaire homogène, ce qui assure que l’ensemble des solutions forme un espace vectoriel. Cet espace est de dimension finie dans le cas des vecteurs de Killing propres au tenseur métrique, mais peut être infini dans d’autres cas, comme pour certains autres champs tensoriels. Une propriété importante découle de la relation antisymétrique de la dérivée covariante de K, ainsi que des identités de Ricci, qui établissent une structure rigoureuse aux solutions admissibles.

La compréhension des champs de Killing est fondamentale non seulement pour identifier les symétries géométriques des espaces de Riemann, mais aussi pour leur rôle crucial dans la physique théorique, notamment en relativité générale où ces symétries conduisent à des quantités conservées et permettent de simplifier considérablement l’étude des géométries de l’espace-temps. L’analyse des orbites générées par ces champs éclaire la nature des transformations continues préservant la métrique, leur structure de groupe, et leurs implications géométriques.

Il importe aussi de souligner que l’existence et la nature des vecteurs de Killing dépendent fortement des propriétés géométriques de la variété étudiée. Par exemple, dans certains espaces de courbure constante, les vecteurs de Killing forment une algèbre de dimension maximale, tandis que dans des cas plus généraux leur nombre est strictement limité, reflétant la complexité et la rigidité géométrique de l’espace.

En synthèse, les équations de Killing offrent un outil puissant pour caractériser les invariances géométriques à travers des conditions différentielles sur des champs de vecteurs, établissant un lien profond entre la géométrie différentielle, la théorie des groupes, et la physique géométrique. Leur résolution nécessite une compréhension fine de la structure différentielle sous-jacente et ouvre la voie à la classification des symétries dans une variété donnée.

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