Comment les inhomogénéités influencent-elles le fond diffus cosmologique dans le modèle Lemaître-Tolman ?

Dans l’étude des anisotropies du fond diffus cosmologique (CMB), le modèle de Lemaître-Tolman (L–T) offre une approche précieuse pour comprendre comment les variations locales de densité et de vitesse influencent la température observée. La température de rayonnement évolue selon la loi $T(t_0)(1 + z) = T(t_e) = \text{constante}$, valable dans le cadre de modèles homogènes tels que Friedmann. Cependant, en considérant de petites régions où le modèle L–T se comporte localement comme un modèle de Friedmann, cette relation s’applique également, permettant ainsi de calculer les contrastes de température observés entre différentes trajectoires nulles proches.

Des travaux pionniers, notamment ceux de Raine et Thomas (1981), ont introduit la méthode consistant à intégrer numériquement les équations des géodésiques nulles pour évaluer ces effets. Ils ont considéré une condensation de faible amplitude et de grande échelle sur le trajet des photons du CMB, supposant une émission et une réception dans une région de Friedmann. Cette approche a permis d’établir la variation de température en fonction de la direction d’observation, un pas crucial pour quantifier les anisotropies induites par les inhomogénéités.

Les études ultérieures menées par Arnau, Fullana, Monreal et Saez ont approfondi cette analyse en superposant une perturbation locale L–T à un fond Friedmann caractérisé par un paramètre de densité $\Omega = \rho/\rho_{cr}$. Ils ont modélisé des structures telles que le Grand Attracteur et l’amas de la Vierge, variant les profils de densité et de vitesse ainsi que les paramètres du fond. Leurs calculs ont montré que l’anisotropie maximale attendue pouvait atteindre $3 \times 10^{ -5}$ pour $\Omega = 0.15$ à une échelle angulaire d’environ 10 degrés, en comparaison avec les mesures observées autour de $5 \times 10^{ -6}$.

La continuité entre le modèle L–T et les solutions classiques de Schwarzschild et Friedmann est aussi un aspect fondamental pour la modélisation réaliste des structures cosmiques. En particulier, la correspondance des fonctions d’échelle, des paramètres d’énergie, et du temps du Big Bang à la frontière entre les régions L–T et Schwarzschild ou Friedmann assure une cohérence physique et mathématique. Cette égalité des masses entre les régions L–T et Friedmann impose que toute surdensité soit compensée par une sous-densité ailleurs, reflétant la nécessité d’un équilibre global dans l’univers.

Lorsque cette condition de compensation n’est pas respectée, la frontière entre les régions peut soit s’étendre, poussée par un mur de densité plus élevée, soit s’effondrer vers le centre, un phénomène étudié en détail dans les années 1980 par Maeda, Sasaki, et Sato.

La nature des singularités dans le modèle L–T est aussi essentielle. Les singularités du Big Bang (BB) et du Big Crunch (BC), définies par $R = 0$, sont spacelike sauf au centre de symétrie. Cette propriété est démontrée par l’analyse du vecteur normal aux hypersurfaces de rayon constant, reliant la métrique locale et la masse de Schwarzschild $M$. Le caractère spacelike des singularités pour $R > 2M$ garantit que ces surfaces représentent des instants dans le temps, tandis que leur nature change au-delà de l’horizon apparent.

Il est primordial pour le lecteur de saisir que la complexité de la lumière traversant un univers inhomogène ne se limite pas à une simple déviation géométrique, mais implique des variations fines et calculables de la température observée du CMB, dues aux différences locales dans la distribution de la matière et de la vitesse. La précision des observations modernes permet désormais de tester ces modèles et d’affiner notre compréhension des structures cosmiques.

Comment définir les observateurs localement non-rotants et la notion d’espaces ellipsoïdaux dans l’espace-temps de Kerr ?

Dans un espace-temps stationnaire et axisymétrique, asymptotiquement plat, la définition des coordonnées et des observateurs revêt une importance capitale pour comprendre les propriétés de la métrique, notamment celle de Kerr. La transformation des coordonnées doit préserver la périodicité en φ et assurer que les composantes métriques asymptotiques tendent vers celles de l’espace-temps plat cylindrique classique. Par conséquent, certaines constantes, comme D0, doivent être nulles pour garantir l’annulation asymptotique de g03, tandis que d’autres, comme D3, sont fixées à 1 pour conserver la période 2π en φ. La liberté restante réside essentiellement dans le choix de l’unité de temps.

Au-delà de ces observateurs, il est pertinent de définir une structure géométrique plus riche, celle des espaces ellipsoïdaux, qui généralisent la symétrie sphérique classique en remplaçant les sphères concentriques par des ellipsoïdes confocaux de révolution. Dans un espace euclidien à coordonnées cartésiennes, ces ellipsoïdes sont décrits par une fonction g(r) telle que la condition d’orthogonalité impose g²(r) - r² = constante, conduisant à g(r) = √(r² + a²), avec a la constante caractéristique représentant le rayon du cercle focal commun aux ellipsoïdes. Ces surfaces ϑ = constante correspondent à des hyperboloïdes à un feuillet, partageant ce même cercle focal.

La métrique de l’espace ainsi définie demeure plate si l’on conserve grr = 1, mais elle peut être rendue courbe en remplaçant grr par une fonction arbitraire f²(r, ϑ), analogue à la construction sphérique où la métrique radiale peut être modifiée. L’espace-temps ellipsoïdal se caractérise alors par l’existence d’une congruence de lignes temporelles dont le vecteur tangent s’écrit uα = U δα0 + V δα3, combinant les coordonnées temporelles et azimutales, de manière à ce que la métrique induite sur l’espace localement orthogonal à uα coïncide avec celle des ellipsoïdes définis.

L’application à la métrique de Kerr nécessite que cette structure ellipsoïdale soit compatible avec la stationnarité et l’axialité, ainsi qu’avec la forme métrique standard de Kerr exprimée dans les coordonnées de Boyer-Lindquist. Une transformation singulière du type t = t′ + aφ permet d’exhiber cette propriété ellipsoïdale, bien que cette transformation altère la continuité de la coordonnée temps en certains cas, ce qui impose des restrictions précises sur son usage.

Au-delà de cette présentation technique, il importe de saisir que l’existence de ces observateurs et la définition des espaces ellipsoïdaux permettent d’interpréter physiquement et géométriquement des phénomènes relativistes tels que le cadre entraîné, les effets de décalage temporel autour d’objets massifs en rotation, ou encore la structure interne même de ces solutions exactes des équations d’Einstein. Cela souligne la nécessité d’une rigueur dans le choix des coordonnées et une compréhension fine de la relation entre géométrie locale et propriétés globales de l’espace-temps. Par ailleurs, ces constructions fournissent des outils puissants pour l’étude des trajectoires de particules et de la propagation de la lumière dans des champs gravitationnels complexes, ainsi que pour l’analyse des effets relativistes observables en astrophysique.

Comment l'énergie totale affecte le mouvement dans un champ gravitationnel sphériquement symétrique

L'équation fondamentale pour le mouvement radial, $\frac{dR}{dt}$, donne une description complète du comportement de l'observateur qui, en fonction de son énergie, peut soit s'éloigner de l'origine (point de symétrie), soit y revenir. Plus précisément, l'énergie $E$ détermine le futur de l'observateur : lorsque $E > 0$, l'observateur peut s'éloigner à l'infini tout en maintenant une énergie cinétique non nulle. Si $E = 0$, l'observateur peut également atteindre l'infini, mais sa vitesse diminue à mesure qu'il s'en éloigne, jusqu'à ce qu'elle atteigne zéro. En revanche, pour $E < 0$, l'observateur est limité à un certain rayon $r$, et au-delà de cette distance, il retombe inévitablement vers le centre de symétrie. Cela montre que l'énergie totale joue un rôle clé dans la détection du comportement à long terme des objets en mouvement dans de tels champs gravitationnels.

L'absence de singularités dans la métrique pour $E \geq 0$ et $R,r \neq 0$ est une autre caractéristique importante de ce modèle. Contrairement à d'autres solutions classiques, comme celle de Schwarzschild, qui présente une singularité apparente à $r = 2m$, le modèle de Lemaître révèle que cette singularité est simplement un artefact dû à un choix particulier de coordonnées. Cela démontre l'importance de comprendre non seulement la solution d'un problème gravitationnel, mais aussi les coordonnées utilisées pour exprimer cette solution.

Dans ce contexte, les équations de mouvement sont essentielles pour comprendre la stabilité des objets astrophysiques. La relation entre la pression et la masse détermine la manière dont un objet peut évoluer sous l'effet de la gravité, en particulier en ce qui concerne l'issue fatale d'un effondrement gravitationnel. Dans le cadre relativiste, le rôle de la pression dans l'équilibre statique devient particulièrement crucial, car elle modifie la manière dont la gravité se comporte à l'échelle macroscopique, bien au-delà des prévisions de la mécanique newtonienne.

Un exemple typique d'application de ces principes est l'examen de solutions spécifiques pour la métrique de Schwarzschild, particulièrement dans les cas où des distributions de matière sont prises en compte à l'intérieur d'un objet. En supposant que la densité d'énergie est constante, on peut observer comment la structure interne d'un tel objet se développe. Cette approche permet de formuler des modèles simples mais instructifs pour explorer les phénomènes relatifs à la gravité intense, bien que ces modèles ne soient pas directement applicables à des corps réels, leur utilité réside dans les principes généraux qu'ils mettent en évidence. Les variations de la pression et de la densité à l'intérieur d'un objet peuvent être résolues par des méthodes numériques, ce qui est crucial pour simuler des situations astrophysiques complexes.

Comment la distribution de la matière et la vitesse des particules influencent l'évolution de l'univers

La dynamique des particules dans un nuage de matière, supposé sphériquement symétrique, se décrit de manière simple mais profonde à travers les équations de la mécanique classique et de la cosmologie newtonienne. L'étude de ces particules est cruciale pour comprendre les phénomènes à grande échelle dans l'univers. À partir d'une distribution de masse ρ = ρ(t) qui dépend du temps, et d'une vitesse initiale sphériquement symétrique, l’évolution des particules peut être analysée en fonction de leur position et de leur vitesse dans un champ gravitationnel.

En considérant un nuage de matière à symétrie sphérique, il est essentiel de noter que la force exercée sur une particule située à une distance rp(t) (avec rp(t) < rout) de l’origine est uniquement déterminée par la matière située à l’intérieur de la sphère de rayon rp(t). Ceci est dû au fait que, en vertu de la symétrie sphérique, la matière située à l'extérieur de cette sphère n'exerce aucune influence gravitationnelle sur la particule en question (un résultat qui découle de la loi de Gauss). La particule se déplace donc dans le potentiel gravitationnel créé par la matière située à l'intérieur de cette sphère, ce qui peut être exprimé par la formule du potentiel Newtonien V(r) = -GM/r.

L’équation du mouvement d’une particule dans ce champ gravitationnel peut être écrite comme suit :

où $\mathbf{x}(t)$ est la position de la particule et $\mathbf{v}(t)$ est sa vitesse. Ce terme montre que la particule est soumise à une accélération due à la densité de matière ρ(t), et que la direction de sa vitesse reste inchangée au fil du temps (c'est-à-dire que la direction du vecteur vitesse ne varie pas). En conséquence, la vitesse de la particule à tout instant est liée à la position par une relation qui peut être simplifiée sous la forme suivante :

où F(t) est une fonction du temps, et r représente la distance de la particule à l'origine du nuage.

L'équation de continuité, qui traduit la conservation de la masse dans un flux dynamique, est également cruciale dans ce contexte. En prenant en compte que ρ = ρ(t), il en résulte que l’évolution de la densité suit la relation :

ce qui peut être reformulé sous une forme plus simple en prenant en compte la symétrie sphérique. Cela conduit à une expression reliant la variation de la densité à l'évolution de la vitesse et de la distance des particules.

Ces relations permettent d’obtenir des solutions détaillées pour la position des particules, ce qui nous mène à l’une des expressions les plus importantes en cosmologie : la loi de Hubble. En d’autres termes, à mesure que la densité de matière évolue, les distances entre les objets dans l’univers s’étendent, ce qui se traduit par une expansion de l'univers elle-même. Cette loi repose sur une hypothèse fondamentale selon laquelle les galaxies s'éloignent les unes des autres de manière proportionnelle à leur distance, une observation qui a été confirmée par les découvertes modernes en cosmologie.

Cependant, lorsque l’on intègre les effets de la constante cosmologique, Λ, ces équations se complexifient. La constante Λ peut être interprétée comme une forme d’énergie du vide qui a un impact direct sur l’évolution de l’univers. En fonction de la valeur de Λ, plusieurs scénarios différents pour l'évolution de l'univers deviennent possibles. Si Λ est négatif, l'univers peut oscillater entre une phase de contraction et d'expansion, tandis qu'un Λ positif peut entraîner une accélération de l'expansion cosmique.

L’analyse de ces équations dans le cadre de modèles cosmologiques plus complexes, comme celui de Friedmann, montre que la présence de Λ peut inverser ou modifier les trajectoires d'expansion, menant à des comportements oscillatoires ou à une expansion infinie. De plus, selon la valeur de la courbure spatiale, indiquée par le paramètre k, l'univers peut soit se dilater indéfiniment, soit se contracter vers une singularité à un moment donné.

L’extension de ces idées dans le cadre de la relativité générale permet de comprendre non seulement l’évolution de l’univers mais aussi les limites de la cosmologie newtonienne. Bien que les solutions de ces équations soient identiques à celles de la relativité dans leur forme algébrique, leur interprétation physique diffère, notamment en raison de leur méconnaissance des effets relativistes tels que la propagation de la lumière ou l'influence de la courbure de l'espace-temps.