Pourquoi une courbe est-elle plane si et seulement si sa torsion est nulle ?

Si une courbe régulière est paramétrée par l’arc, on peut examiner sa structure géométrique à travers le système de Frenet, qui relie les dérivées successives de la position au long de la courbe à trois vecteurs orthonormés : le vecteur tangent, le vecteur normal, et le vecteur binormal. La courbure (κ) mesure combien la courbe s'écarte de la ligne droite, tandis que la torsion (τ) exprime comment elle quitte son plan osculateur — c’est-à-dire le plan instantané défini par les deux premières dérivées.

Cette implication peut se démontrer en considérant les propriétés des dérivées successives de la courbe. Si l'on suppose que η(s) est une courbe paramétrée par l’arc, et qu’elle reste dans un plan, alors ses dérivées η̇(s), η̈(s) restent également dans ce plan. Le déterminant formé par ces trois vecteurs est alors nul, ce qui implique que τ = det[η̇, η̈, η] / κ² = 0. Ce raisonnement utilise la propriété fondamentale selon laquelle un triplet de vecteurs coplanaires a un déterminant nul.

La réciproque est également vraie. Si la torsion est nulle, alors le vecteur binormal e₃(s) ne change pas. Le produit scalaire ⟨η(s), e₃(α)⟩ reste constant, ce qui signifie que la projection orthogonale de la courbe sur la direction e₃ est constante. La courbe vit donc dans un plan orthogonal à e₃(α). Ainsi, τ = 0 ⇔ la courbe est plane.

Quelle est l'intégrale de Cauchy-Riemann et comment elle est définie pour les fonctions continues par sauts ?

L'intégrale de Cauchy-Riemann d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I = [\alpha, \beta]$, avec des valeurs dans un espace $E$, est une généralisation des méthodes classiques d'intégration. Ce type d'intégrale est particulièrement adapté pour les fonctions qui présentent des discontinuités en saut, c'est-à-dire où la fonction saute brusquement d'une valeur à une autre, mais où ces sauts sont limités et gérables. L'intégrale de Cauchy-Riemann se décompose ainsi en une somme pondérée d'aires de rectangles, où chaque rectangle correspond à une "portion" de l'intégrale.

Une interprétation géométrique de cette somme est que chaque terme $e_j (\alpha_j - \alpha_{j-1})$ correspond à l'aire d'un rectangle. La hauteur de ce rectangle est donnée par $|e_j|$, et la largeur est $\alpha_j - \alpha_{j-1}$. Les rectangles au-dessus de l'axe des $x$-axis ont un signe positif, tandis que ceux en dessous ont un signe négatif.

Ce type d'intégrale est également linéaire et continue, comme l'indique le lemme 3.2, et possède des propriétés intéressantes lorsqu'on le définit sur des espaces de Banach, comme l'espace des fonctions continues par sauts $S(I, E)$. Il est à noter que $T(I, E)$, l'espace des fonctions intégrables dans ce cadre, est dense dans cet espace, ce qui signifie que l'intégrale de Cauchy-Riemann peut être étendue à un plus grand nombre de fonctions que celles qui sont simplement continues.

Un résultat important à comprendre est que, même pour des fonctions discontinues, il existe une approximation uniforme qui permet de calculer cette intégrale avec une précision arbitraire. En effet, comme le montre le théorème 3.4, pour toute fonction $f$ de $S(I, E)$, et pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que l'intégrale de Riemann soit aussi proche que souhaité de l'intégrale de Cauchy-Riemann lorsque l'on affiner la partition $Z$.

Enfin, un point fondamental pour le lecteur est de comprendre que l'intégrale de Cauchy-Riemann permet non seulement de traiter les fonctions discontinues mais aussi de les intégrer de manière continue et linéaire. Cette continuité et linéarité sont essentielles pour des applications dans des contextes où la rigueur des calculs doit être préservée tout en manipulant des fonctions possédant des sauts ou des discontinuités nettes.

Singularités amovibles et fonctions méromorphes

Dans le cadre de la théorie des fonctions holomorphes, la notion de singularité amovible d'une fonction $f : U \setminus \{z_0\} \rightarrow \mathbb{C}$ revêt une importance particulière. Une singularité en un point $z_0$ est dite amovible si la fonction $f$ possède une extension holomorphe $F : U \rightarrow \mathbb{C}$ qui est définie en $z_0$. Lorsque cela est possible, on réutilise souvent le symbole $f$ pour désigner cette extension, sans ambiguïté.

La caractérisation des singularités amovibles repose sur un théorème fondamental appelé théorème de Riemann sur l'amovibilité, qui stipule qu'un point $z_0$ est une singularité amovible si et seulement si la fonction $f$ est bornée dans un voisinage de $z_0$. Autrement dit, si une fonction $f : U \setminus \{z_0\} \rightarrow \mathbb{C}$ est holomorphe, la condition de bornitude dans un voisinage de $z_0$ implique que la singularité en $z_0$ peut être supprimée. Le théorème peut être démontré en utilisant la compacité des disques et la continuité de $f$ dans une telle région, et il est à la base de nombreuses techniques d'analyse dans le contexte des fonctions complexes.

Singularités isolées

Un pôle de $f$ en $z_0$ est caractérisé par l'existence d'un entier $m$ tel que les coefficients $c_{ -n}$ pour $n > m$ soient nuls, et $c_{ -m} \neq 0$. Le pôle est de degré $m$, et sa caractéristique réside dans la divergence de la fonction à l'approche de $z_0$. Si, au contraire, les coefficients principaux de la série de Laurent ne sont pas nuls pour un nombre infini de termes, $z_0$ est une singularité essentielle. Cela signifie que la fonction présente un comportement beaucoup plus complexe autour de ce point, ce qui nécessite des outils mathématiques plus avancés pour en analyser la nature.

Fonctions méromorphes

Une fonction $f$ est dite méromorphe sur un domaine $U$ si elle est holomorphe en $U \setminus P(f)$, où $P(f)$ est un ensemble fermé de pôles de $f$. Par définition, chaque pôle de $f$ est une singularité isolée et peut être de degré fini. Les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques comme la tangente et la cotangente, ou encore des fonctions spéciales comme la fonction Gamma ou la fonction Zêta de Riemann, sont des exemples typiques de fonctions méromorphes. Par exemple, la cotangente, qui est définie par $\cot(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}$, possède des pôles en $\pi k$ pour $k \in \mathbb{Z}$, tandis que la fonction Gamma, qui est définie comme une extension de la factorielle pour les réels et complexes, a des pôles en $\mathbb{Z}^{ - }$.

Conclusion sur la nature des singularités

La distinction entre singularités amovibles, isolées et essentielles est fondamentale pour l'étude des fonctions complexes. Les singularités amovibles sont les plus simples à traiter, car elles peuvent être "effacées" par une extension holomorphe. Les singularités isolées, quant à elles, donnent naissance à des comportements plus complexes, qui peuvent être analysés à l'aide des séries de Laurent et des résidus. Enfin, les fonctions méromorphes, qui sont holomorphes en dehors de leurs pôles, constituent une classe importante d'objets mathématiques, souvent utilisées pour modéliser des phénomènes physiques ou complexes dans divers domaines des mathématiques et de la physique théorique. La compréhension approfondie de ces concepts est essentielle pour toute analyse plus avancée des fonctions holomorphes et méromorphes.