Quels ensembles sont mesurables selon une mesure extérieure ?

Soit $p^*$ une mesure extérieure sur un espace $X$. Un ensemble $A \subset X$ est dit $p^*$-mesurable si, pour chaque $D \subset X$, la relation suivante est satisfaite :

où $A^c$ désigne le complémentaire de $A$. Cette définition traduit le fait que la mesure de $D$ est supérieure ou égale à la somme des mesures des intersections disjointes de $D$ avec $A$ et $A^c$. En d’autres termes, si $D$ est un ensemble quelconque de $X$, la mesure de $D$ doit se distribuer de manière additive et non négative sur les parties disjointes $A \cap D$ et $A^c \cap D$.

Prenons un exemple concret pour mieux comprendre ce concept. Supposons que $X = \mathbb{R}^n$ et que $p^*$ soit la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^n$. Alors, un ensemble $A \subset \mathbb{R}^n$ est mesurable au sens de la mesure de Lebesgue si, pour tout ensemble $D \subset \mathbb{R}^n$, la relation

L'extension de Carathéodory fournit une méthode puissante pour construire des mesures complètes à partir de mesures extérieures. Selon ce théorème, si $p^*$ est une mesure extérieure, alors l'ensemble $A(p^*)$ des ensembles $p^*$-mesurables forme une $\sigma$-algèbre et la restriction de $p^*$ à $A(p^*)$ définit une mesure complète. Cela signifie que pour tout ensemble $A$ mesurable, sa mesure peut être calculée à partir de l'extension de la mesure extérieure $p^*$.

Une mesure est dite métrique si elle satisfait une condition particulière de séparation des ensembles. Plus précisément, si $X$ est un espace métrique et $p^*$ est une mesure extérieure sur $X$, alors $p^*$ est dite métrique si pour tous les ensembles $A$ et $B$ séparés par une distance positive, c'est-à-dire pour lesquels $d(A, B) > 0$, on a :

Cette propriété garantit que la mesure extérieure est compatible avec la structure métrique de l’espace. Le théorème de la mesure métrique montre que l'ensemble des ensembles mesurables selon une mesure métrique contient l'algèbre de Borel, qui est l'ensemble des ensembles ouverts dans $X$.

Prenons un exemple plus concret en considérant l'espace $\mathbb{R}^n$ avec la mesure de Lebesgue $X_n$. La mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^n$ est une mesure métrique, ce qui signifie que les ensembles Borel sont mesurables selon cette mesure. Les ensembles mesurables selon $X_n$ sont ceux pour lesquels la mesure extérieure $X_n^*$ et l'algèbre des ensembles mesurables de Lebesgue se combinent pour fournir des résultats cohérents.

Un autre aspect clé de la théorie des mesures extérieures est la sous-additivité. Cette propriété implique que la mesure de l'union de plusieurs ensembles est toujours inférieure ou égale à la somme des mesures des ensembles individuels. En d'autres termes, pour deux ensembles $A$ et $B$, nous avons la relation :

L’étude des fonctions intégrables au sens de Riemann révèle rapidement les limites de cette approche lorsqu'on s’aventure dans le cadre plus général des espaces Lᵖ. Le cas simple de la fonction nulle — triviale, Riemann-intégrable, et appartenant à tout espace Lᵖ — ne fait qu’illustrer une inclusion évidente. Mais l’intérêt mathématique réside ailleurs. Il existe des fonctions mesurables $f \in L^1([0,1])$, telles que toute fonction équivalente à $f$ (au sens presque partout) échappe à l’intégrabilité de Riemann. Cela suffit à démontrer que l'intégrale de Riemann ne peut servir de fondement solide pour la théorie des espaces Lᵖ. Sa définition, dépendante d'une partition déterministe et d’une notion stricte de continuité, s’effondre face à des phénomènes plus subtils de discontinuités contrôlées ou d’oscillations non bornées sur des ensembles de mesure nulle.

Dans un cadre hilbertien, l’ensemble $BV([a, b], H)$, où $H$ est un espace de Hilbert séparable, forme un sous-espace vectoriel de $L^\infty([a,b],H)$. Il satisfait une inégalité de type Lipschitz sur les translations, contrôlée par la variation totale. Cette stabilité sous translation est une propriété précieuse, cruciale pour les applications dans l’analyse fonctionnelle et la théorie des systèmes.

La construction de fonctions mesurables pathologiques, telles que celle définie sur un ensemble de type Cantor modifié (où l'on retire des quarts moyens au lieu des tiers), donne lieu à une fonction $f = \chi_K$, indicatrice d’un compact parfait sans intérieur, qui appartient à $L^1$ mais dont aucune représentante n’est Riemann-intégrable. Cela souligne la nécessité d’adopter l’intégrale de Lebesgue comme cadre de référence pour la théorie de l’intégration.

La formulation abstraite de l’intégrale de Lebesgue-Stieltjes à partir d’une primitive $F \in W^{1,1}(\mathbb{R})$ permet de générer des mesures sur $\mathbb{R}$, démontrant une correspondance intime entre régularité de la fonction et nature de la mesure associée. Cela rend vis

Il est également crucial de noter que la dérivée partielle $d_j f(p)$ dans ce cadre représente bien la partie tangentielle du vecteur image de $e_j$ sous la différentielle $df(p)$, à savoir la "linéarisation de $f$ au point $p$" selon la base des coordonnées locales. Dans le cas d’une variété $M$ qui n'est pas simplement un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^m$, cette approche devient essentielle pour garantir que la notion de dérivée partielle ait un sens précis, indépendamment de la topologie ou de la géométrie de $M$.

Prenons un autre exemple plus concret. Soit $(x_1, \ldots, x_m) = p$ les coordonnées locales sur $U$ induites par $p$, ce qui donne que $x_j := \text{pr}_j \circ p \in E(U)$ pour $1 \leq j < m$. Alors, $Q^1(U)$ est un module libre de dimension $m$, et la famille $(dx_1, \ldots, dx_m)$ constitue une base pour ce module. La relation entre les éléments de $V(U)$ et $Q^1(U)$ est donnée par :

Ce type de représentation permet de mieux comprendre les liens entre les formes différentielles et les champs de vecteurs dans un cadre local, tout en évitant la complexité géométrique globale des variétés. En effet, $V(U)$ et $Q(U)$ sont des modules libres, mais cette propriété ne se vérifie pas forcément de manière globale sur la variété $M$, surtout dans des cas complexes comme celui de la sphère $S^n$, où les champs de vecteurs linéairement indépendants sont non triviaux uniquement pour $n = 0, 1, 3,$ ou $7$.

Un dernier point essentiel concerne la notion de régularité des formes différentielles. Si $k \in \mathbb{N}$, alors les propriétés des formes différentielles restent valables si $M$ est une variété $C^{k+1}$, ce qui permet d’étendre les calculs à des formes plus lisses et de garantir la continuité et la différentiabilité des coefficients des formes locales.