Comment comprendre les modèles quasi-sphériques de Szekeres dans la cosmologie relativiste ?

Les modèles cosmologiques basés sur la géométrie de Szekeres (1975a) et les travaux de Bonnor et Tomimura (1976) offrent une analyse intéressante de l’évolution de l’Univers. Ces modèles, bien qu’ils soient complexes et très spécifiques dans leur formulation, nous permettent d’étudier la dynamique de l’Univers sous l’effet de la matière et de la géométrie, tout en tenant compte des variations spatiales locales. L’un des éléments clés de ces modèles est leur capacité à intégrer des inhomogénéités de densité, un aspect qui est souvent négligé dans les modèles classiques comme celui de Friedmann-Lemaître.

Dans le modèle où la courbure spatiale est positive (k = +1), les sphères de constante t et z se dilatent puis se recollapsent, un comportement similaire à celui observé dans le modèle de Friedmann pour k > 0. À l’instant du Big Bang, l’espace le long de la direction z s’étend de manière infinie, puis se contracte jusqu’à une taille minimale avant de s’étendre à nouveau vers une infinité à la singularité finale. Cependant, il est important de noter que l’extension maximale des sphères et la contraction minimale le long de la direction z ne coïncident pas nécessairement. Ces particularités sont essentielles pour saisir les propriétés uniques de ces modèles, particulièrement lorsque l’on examine les solutions à la singularité.

Lorsqu’on analyse les solutions dans le cas où β,z ≠ 0, les résultats obtenus sont particulièrement pertinents. Dans cette situation, le paramètre β, qui définit le type de symétrie quasi-sphérique, joue un rôle crucial dans la modélisation de l’expansion de l’espace. Les solutions de ces équations relient directement la densité de matière à la géométrie de l’espace-temps, mettant en lumière des relations complexes entre la distribution de matière et la courbure de l’univers. Il est à noter que, contrairement aux solutions de Friedmann, les modèles de Szekeres avec β,z ≠ 0 permettent de décrire des espaces plus variés, notamment en ce qui concerne la forme des surfaces de constante z.

Les modèles de Szekeres sont intéressants aussi bien d’un point de vue théorique que pour leur capacité à décrire un univers à grande échelle non homogène. La solution quasi-sphérique la plus importante de ces modèles est celle où les surfaces de constante t et z sont des sphères, offrant une vision plus détaillée et plus précise de l’univers que celle fournie par les modèles homogènes. Cette solution permet également de relier les résultats théoriques à des solutions plus familières, telles que la métrique de Schwarzschild, en tenant compte des variations de la densité de matière et de la géométrie de l’univers.

Enfin, lorsqu’on aborde les solutions où β,z = 0, on voit que ces cas représentent une limite du modèle avec β,z ≠ 0. Ce passage d’un modèle à l’autre montre comment les structures peuvent évoluer, passant de situations quasi-sphériques à des configurations plus simples et plus symétriques. Dans ce cas, l’équation de Friedmann, avec la contribution du terme cosmologique, s’avère être une limite particulière du modèle général de Szekeres, offrant un cadre de compréhension pour la dynamique de l’univers à grande échelle, mais sous des hypothèses de symétrie accrue.

Quelle est l'importance des métriques de Kerr-Schild et de la solution de Kerr dans le cadre des équations d'Einstein en vide ?

Les métriques de Kerr-Schild jouent un rôle essentiel dans l'étude des solutions exactes des équations d'Einstein, notamment en ce qui concerne les champs gravitationnels dans le vide. Ces solutions se distinguent par leur structure, où le champ gravitationnel est décrit par des métriques de la forme $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} - l_{\mu}l_{\nu}$, où $\eta_{\mu\nu}$ représente la métrique de Minkowski dans n'importe quel système de coordonnées et $l_{\mu}$ est un champ de vecteurs nuls. L'idée sous-jacente à cette approche est de traiter les propriétés de ces métriques dans des contextes variés, qu'il s'agisse d'étudier les transformations de coordonnées ou de comprendre la nature des vecteurs nuls dans le cadre de l'espace-temps.

Une conséquence directe de cette structure est que l'inverse de la métrique prend la forme $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + l_{\mu}l_{\nu}$, avec une signature invariée pour le produit scalaire $l_{\mu}l_{\nu}$. Selon ce produit, certaines coordonnées peuvent être choisies comme coordonnées temporelles. Par exemple, dans les coordonnées $(u, v, y, z)$, on peut observer deux formes différentes de la métrique en fonction du signe de $l_{\mu}l_{\nu}$. Si le produit est positif, on obtient une métrique où $du^2$ et $dv^2$ sont associés à une combinaison des coordonnées $u$ et $v$, tandis qu'un produit négatif de $l_{\mu}l_{\nu}$ change la structure de ces coordonnées.

Les équations du vide d'Einstein, lorsqu'elles sont appliquées à un champ de vecteurs nul $l_{\mu}$, entraînent des conditions strictes sur les dérivées de $l_{\mu}$. Par exemple, l'équation $R_{\mu\nu} l^{\mu}l^{\nu} = 0$ implique que $\dot{l}_{\mu}$ doit être nul et orthogonal au vecteur $l_{\mu}$, une condition qui restreint le comportement des géodésiques dans l'espace-temps. Cette orthogonalité a des conséquences géométriques importantes : les vecteurs nuls peuvent être colinéaires uniquement lorsqu'ils sont orthogonaux, ce qui conduit à des restrictions sur la structure du vide.

Il est également fondamental de noter que les solutions de Kerr-Schild en vide ne peuvent pas appartenir à un type de Petrov général, ce qui les classe comme des solutions de type Petrov II ou plus simples. Ce fait est lié à la structure particulière du champ de vecteurs $k_{\mu}$, qui est à la fois géodésique et sans cisaillement, conformément au théorème de Goldberg-Sachs. Ce comportement géométrique restreint la manière dont les perturbations gravitationnelles peuvent se propager dans l'espace-temps, et la solution de Kerr, en particulier, demeure une référence importante dans la compréhension des trous noirs et des phénomènes relativistes.

Dans cette étude, la complexité des symétries des solutions de Kerr-Schild se reflète dans le comportement des coefficients de rotation de Ricci et dans l'évolution des éléments de la courbure. L'analyse détaillée des dérivées covariantes et des Christoffels donne des informations cruciales sur la manière dont ces solutions peuvent décrire des structures gravitationnelles complexes, en particulier dans des contextes astrophysiques où les trous noirs jouent un rôle central.

Quelle est la densité critique de l'univers et comment la matière invisible influence-t-elle l'évolution cosmique?

La densité critique de l'univers, définie par la relation $\rho_{\text{cr}} = \frac{3H^2}{8 \pi G}$, représente la densité idéale à laquelle l'univers est exactement plat. En d'autres termes, c'est la densité nécessaire pour que l'univers cesse d'être courbé et qu'il continue à se développer indéfiniment sans jamais revenir sur lui-même ou s'effondrer. Toutefois, la densité réelle de matière observée ($\rho_o$) est bien inférieure à cette densité critique. Les mesures modernes, en particulier celles fournies par les observations du satellite Planck en 2014, indiquent que la densité de matière visible est environ $10^{ -31} \, \text{g/cm}^3$, soit une fraction bien plus petite que la densité critique $\rho_{\text{cr}}$, qui elle-même est de l'ordre de $8.46 \times 10^{ -30} \, \text{g/cm}^3$.

Au-delà de la matière sombre, la question de la densité critique se complexifie encore lorsqu'on introduit le concept de l'énergie sombre, souvent interprétée comme une constante cosmologique $\Lambda$, ou comme une forme d'énergie à la nature encore mystérieuse, qui exerce une pression négative et accélère l'expansion de l'univers. Les modèles cosmologiques actuels, y compris les solutions de Friedmann dans un cadre relativiste, postulent que la densité réelle de l'univers correspond à la densité critique, mais sous forme de matières invisibles ou d'énergie sombre, dont les effets dominent dans le grand cadre cosmologique.

La relation entre la distance et le décalage vers le rouge ($z$) dans ces modèles peut être utilisée pour établir des distances cosmologiques précises. La relation $r_O(z)$ montre un comportement particulier : elle croît pour de petites valeurs de $z$ et décroît pour des valeurs grandes de $z$, ce qui signifie qu'il existe un point de refocalisation dans l'univers à une certaine distance. Pour les modèles avec $\Lambda = 0$, ce point maximal se trouve vers $z = 5/4$, une caractéristique qui est en lien avec le phénomène de "recollimation" dans l'univers.

Enfin, bien que les modèles cosmologiques basés sur la relativité générale permettent une meilleure compréhension de l’évolution de l'univers, l'incertitude sur les valeurs exactes de paramètres tels que $H_0$, la constante de Hubble, introduit une tension entre les observations locales et les mesures basées sur le fond diffus cosmologique. Cette tension soulève la question de la précision des modèles et de la nécessité de réexaminer certaines hypothèses ou d'explorer de nouvelles théories.