Quel est le rôle des fonctions rationnelles et de la dimension dans la géométrie algébrique ?

Dans ce chapitre, nous abordons les fonctions rationnelles associées à une variété affine $A$. Une fonction rationnelle sur $A$, appartenant au corps des fonctions rationnelles $K(A)$, est une fonction partiellement définie qui peut être interprétée comme une carte rationnelle de $A$ dans $\mathbb{A}^1$. Pour un élément $f \in K(A)$, son domaine de définition correspond à l'ensemble ouvert maximal où $f$ peut être définie, ce qui se réfère à une localisation de la fonction dans le corps de coordonnées $K[A]$. Il est fondamental de comprendre que, si une fonction rationnelle est définie partout sur $A$, elle se réduit en réalité à une fonction polynomiale.

La notion de dimension d’une variété algébrique $A$ est également définie par le degré de transcendance du corps des fonctions rationnelles $K(A)$ sur $K$, c’est-à-dire $\text{dim}(A) = \text{trdeg}_K(K(A))$. Pour une variété affine arbitraire $A$, la dimension est alors la dimension maximale parmi les composants irréductibles de $A$. Cela permet de relier la structure géométrique d'une variété à la dimension de son corps des fonctions.

L'exemple du corps des fonctions rationnelles sur une variété affine $A$ est particulièrement illustratif. Si $A \subset \mathbb{A}^n$ est un ensemble algébrique, la topologie de Zariski sur $A$ est la topologie induite par celle de $\mathbb{A}^n$. Les fermés de cette topologie sont les sous-ensembles algébriques de $A$, correspondant aux idéaux radicaux dans $K[A]$. Un idéal radical $J$ dans $K[A]$ définit un sous-ensemble algébrique $V(J) \subset A$, et les propriétés de ces idéaux sont essentielles pour analyser les singularités et les structures algébriques de $A$.

À cet égard, il est important de comprendre comment ces décompositions et propriétés des idéaux influencent les résultats obtenus en géométrie algébrique. Lorsqu'un idéal n'est pas principal, comme dans le cas de la variété $A = V(wx - yz)$, la fonction rationnelle $f = \frac{w}{x}$ est définie partout sauf sur un ensemble de points où $x = 0$ ou $z = 0$. Ce type d’analyse permet de mieux comprendre les relations entre les points d'une variété et les fonctions rationnelles qui peuvent y être définies.

Quel est le rôle de la résolution de Cremona dans l’étude des courbes planes et de leur genre géométrique ?

Une courbe plane irréductible $C \subset P^2$ de degré $d$ peut présenter plusieurs singularités, certaines ordinaires et d'autres non ordinaires. Ces singularités influencent la structure géométrique de la courbe et, en particulier, son genre géométrique. Le genre géométrique d'une courbe plane est une notion essentielle pour comprendre sa nature et son comportement au cours des transformations géométriques, telles que la résolution de Cremona, qui consiste en une série de transformations quadratiques destinées à réduire le nombre de singularités non ordinaires.

Prenons un exemple où la courbe $C$ présente des singularités multiples, avec des multiplicités $r_1, r_2, \dots, r_s$. La dimension de l’espace linéaire $L(d-1; (r_1-1)p_1, \dots, (r_s-1)p_s)$ est au moins égale à $d$, ce qui permet de conclure qu'il existe un polynôme $g$ dans cet espace qui n'a pas de facteur commun avec un polynôme $f$ donné, étant donné que $f$ est irréductible et que le degré de $g$ est inférieur à $d$. Par conséquent, les courbes $f$ et $g$ se coupent uniquement en un nombre fini de points, et la règle de Bézout peut être appliquée pour établir des relations de multiplicité entre ces intersections.

Lorsqu'on effectue des transformations quadratiques sur une courbe plane avec des singularités, les points singuliers sont modifiés et peuvent devenir soit ordinaires, soit être déplacés de manière à en minimiser le nombre. Cela réduit souvent la complexité de la courbe, facilitant ainsi l'étude de sa géométrie et de son genre géométrique. La transformation quadratique joue donc un rôle central dans l'amélioration de la courbe en termes de simplicité géométrique, en permettant de rendre une courbe avec des singularités complexes en une courbe plus "propre", où toutes les singularités deviennent ordinaires.

Un aspect important de ces transformations est qu'elles préservent certaines propriétés de la courbe. Par exemple, le genre géométrique d'une courbe reste constant sous ces transformations. En effet, la géométrie de la courbe, définie par ses points singuliers et leur multiplicité, est conservée pendant le processus de résolution de Cremona. Ce genre géométrique est une mesure fondamentale de la complexité de la courbe, et il joue un rôle essentiel pour déterminer si une courbe est rationnellement paramétrable.

La transformation quadratique, en permettant la simplification des singularités, met en évidence un phénomène crucial : la réduction du nombre de singularités non ordinaires améliore la gestion de la géométrie de la courbe, facilitant ainsi les calculs algébriques qui lui sont associés. Toutefois, ce processus n'est pas toujours simple, surtout dans les cas où la caractéristique du corps $K$ est non nulle. Dans ces cas, il peut être nécessaire de réaliser des transformations supplémentaires pour obtenir la résolution complète.

Dans le contexte des courbes planes, la transformation quadratique offre un outil puissant pour manipuler et simplifier les structures géométriques, rendant possible une meilleure compréhension de la nature des courbes à travers le prisme de leur genre géométrique et de leur paramétrabilité rationnelle.

Comment comprendre les points de Weierstrass et leur importance dans la géométrie des courbes projectives ?

En particulier, lorsqu'une courbe cubique $E$ est définie sur le corps des rationnels $\mathbb{Q}$, alors $E(\mathbb{Q})$ constitue un sous-groupe de $E(\mathbb{C})$. Ce sous-groupe est fini et peut être généré par un nombre fini de points, selon un théorème classique de Mordell. Cela implique que l’étude des points de Weierstrass sur une courbe elliptique permet de comprendre la nature de ce groupe et de prédire la présence de points rationnels à partir de la structure des points spéciaux de la courbe.

Dans le cadre des courbes hyperelliptiques, les points de ramification d’une projection $C^{2:1} \to \mathbb{P}^1$ présentent des gaps spécifiques, qui suivent une séquence particulière $\{1, 3, 5, \dots, 2g-1\}$, et leur poids est donné par la formule $\frac{g(g+1)}{2}$. Cette configuration est très particulière et diffère des autres courbes dans lesquelles les points de Weierstrass sont distribués différemment.

Il est également intéressant de noter que sur des courbes de genre supérieur, la séquence des gaps et le poids des points de Weierstrass sont des outils puissants pour caractériser la courbe. En effet, la distribution des gaps donne une vue détaillée des singularités et des symétries de la courbe, ce qui a des applications profondes en géométrie algébrique et dans l’étude des surfaces de Riemann. La formule qui lie les gaps et le poids des points de Weierstrass permet de quantifier l’importance géométrique de ces points.

Il est essentiel de comprendre que la classification des points de Weierstrass sur une courbe dépend fortement de la nature de la courbe elle-même, notamment de son genre et de la distribution de ses singularités. Les courbes hyperelliptiques, par exemple, ont une structure bien définie en ce qui concerne leurs points de ramification et les gaps associés, ce qui les rend faciles à analyser à l’aide des concepts de gaps et de poids. D’autres courbes, en revanche, peuvent présenter des configurations plus complexes, nécessitant des outils mathématiques avancés pour comprendre leur structure et la distribution de leurs points spéciaux.

Les théorèmes de Riemann, tels que le fameux théorème sur le comptage des modules, apportent une base solide pour étudier la géométrie des courbes de genre $g \geq 2$. Selon Riemann, une courbe projective irréductible et lisse de genre $g \geq 2$ dépend de $3g - 3$ modules, ce qui donne une idée précise du nombre de paramètres indépendants nécessaires pour spécifier la courbe. Cette formule est fondamentale pour l’étude des familles de courbes et pour comprendre comment les courbes de genre supérieur peuvent être paramétrées.

L’examen des points de Weierstrass, des gaps et des poids fournit une meilleure compréhension de la géométrie des courbes algébriques, et constitue un outil indispensable dans l’étude des surfaces de Riemann et des variétés algébriques. En outre, cette théorie a des applications qui vont bien au-delà des courbes hyperelliptiques et cubiques, et joue un rôle central dans le développement de la géométrie algébrique moderne.