Comment définir et comprendre les fonctions intégrables dans un espace de Banach muni d’une mesure complète

Soit (X, 𝒜, μ) un espace mesuré complet et σ-fini, et E un espace de Banach. Nous étudions ici la construction et les propriétés fondamentales des fonctions intégrables à valeurs dans E, ainsi que la structure topologique induite par la norme d’intégrale.

Tout d’abord, rappelons que toute fonction simple f à valeurs dans E admet une forme normale unique, ce qui facilite la définition de son intégrale de Bochner. Cette intégrale est construite par extension linéaire à partir des fonctions simples, selon la mesure μ. Pour une fonction simple p = ∑j e_j χ{A_j}, avec e_j dans E et A_j mesurables, l’intégrale est définie par ∫ p dμ = ∑_j e_j μ(A_j). Cette construction fournit une base pour étendre la notion d’intégrale aux fonctions plus générales.

Le concept crucial est celui de la semi-norme L¹, définie sur l’espace des fonctions simples S(X, μ, E) par ||f||₁ := ∫_X |f(x)| dμ(x), où |·| désigne la norme dans E. Cette semi-norme satisfait bien les propriétés usuelles de positivité, homogénéité et sous-additivité, mais peut échouer à être une norme stricte dans certains cas, notamment lorsque μ possède des ensembles non triviaux de mesure nulle : en effet, une fonction nulle presque partout peut avoir une norme nulle sans être identiquement nulle en tout point, ce qui fait perdre l’injectivité.

Une fonction f : X → E est dite p-intégrable si elle est limite presque partout d’une suite de fonctions simples Cauchy en norme L¹. L’espace des fonctions p-intégrables L¹(X, μ, E) est ainsi défini comme la complétion de S(X, μ, E) pour cette semi-norme. De plus, on a l’inclusion naturelle S(X, μ, E) ⊂ L¹(X, μ, E) ⊂ L⁰(X, μ, E), ce dernier espace désignant les fonctions mesurables. Cette hiérarchie reflète la montée en généralité : les fonctions simples sont intégrables, les limites presque partout de suites intégrables restent mesurables mais pas forcément intégrables.

L’étude des applications linéaires continues sur ces espaces s’appuie aussi sur la notion de p-bornitude : une application linéaire A : V → E est dite p-bornée s’il existe M > 0 tel que ||A v|| ≤ M p(v) pour tout v dans V. Cette propriété est équivalente à la continuité de A, et en particulier à sa continuité en zéro, ce qui s’appuie uniquement sur les propriétés de la semi-norme p.

Au-delà de ces constructions, il importe de bien saisir l’interaction entre la structure algébrique, la topologie et la mesure. Par exemple, la présence d’ensembles de mesure nulle entraîne une identification inévitable d’éléments différents dans l’espace quotient, d’où une perte d’unicité des représentations. Cette subtilité est au cœur de la théorie de l’intégration vectorielle, et conditionne la validité des théorèmes fondamentaux, notamment la continuité de l’intégrale, la densité des fonctions simples, et la possibilité d’étendre les propriétés classiques de l’intégrale de Lebesgue aux fonctions à valeurs vectorielles.

Il faut aussi noter que les espaces L¹(X, μ, E) possèdent une riche structure de Banach, fruit de cette complétion, ce qui permet d’utiliser les outils de l’analyse fonctionnelle pour traiter des problèmes d’intégration, d’équations intégrales, ou de théorie des opérateurs dans des cadres très généraux.

Comment comprendre la convergence dominée et l'intégration dans l'espace $L(p,q)$?

Considérons une suite de fonctions $f_k(x,y)$ appartenant à l'espace $L(p,q)(\mathbb{R}^{m+n}, E)$ et la question de la convergence presque partout ($a.e.$) de cette suite. Soit un ensemble nul $M_0$ tel que $f_k(x,y)$ converge vers $f(x,y)$ lorsque $x \in M_0^c$ et que la fonction limite $f(x,y)$ est intégrable dans $L^p$ par rapport à $y$, pour presque tout $x$. De plus, il est crucial de comprendre que la fonction $f(x,y)$ doit satisfaire certaines propriétés d'intégrabilité pour que les théorèmes de convergence dominée puissent être appliqués correctement. Si la fonction $f$ appartient à $L^1(\mathbb{R}^m)$, et que la suite $\{f_k(x,y)\}$ est dominée, alors on peut utiliser le théorème de convergence dominée pour affirmer que la limite de la suite $f_k(x,y)$ est également dans $L^p$, et que la convergence de la suite $f_k$ vers $f$ se fait presque partout.

Un autre aspect fondamental réside dans la densité de certains sous-espaces dans les espaces de Lebesgue. Par exemple, $S_c(\mathbb{R}^{m+n}, E)$, l’espace des fonctions appartenant à $L^p(\mathbb{R}^m, L^q(\mathbb{R}^n, E))$ et nulles presque partout, est un sous-espace dense dans $L^{(p,q)}(\mathbb{R}^{m+n}, E)$. Cette densité est cruciale car elle garantit qu'on peut approcher toute fonction dans $L^{(p,q)}(\mathbb{R}^{m+n}, E)$ par des fonctions dans un sous-espace bien structuré.

Les propriétés topologiques et de convergence de ces espaces permettent non seulement de formuler des résultats importants en analyse fonctionnelle, mais aussi de comprendre comment ces espaces se comportent sous certaines transformations. Cela est particulièrement pertinent pour l’analyse de séries de Fourier, les équations aux dérivées partielles et autres domaines où la manipulation de suites de fonctions est essentielle.

Il est aussi essentiel de comprendre que, dans le cas de certains espaces comme $L^\infty$, les résultats de la théorie de Fubini-Tonelli ne s'appliquent pas de la même manière, ce qui affecte la structure et les propriétés de ces espaces. Cela met en évidence les limites des théorèmes classiques lorsque l'on traite des espaces non strictement $L^p$, comme dans le cas de $L^\infty$.