La torsion dans les barres non prismatiques présente des particularités fondamentales qui rendent l’analyse plus complexe que celle des barres prismatiques classiques à section constante. En effet, la variation de la section transversale influence non seulement la rigidité à la torsion, mais modifie également la répartition des contraintes et des déformations. Pour illustrer cette complexité, la comparaison des courbes de moment torseur T(x)T(x) et de rotation angulaire φ(x)\varphi(x) montre que, même lorsque le volume total de matériau est conservé, la distribution variable du moment d’inertie polaire entraîne un déplacement des courbes et une diminution du pic maximal de rotation pour la barre non prismatique. Cette différence provient de la facilité de rotation accrue dans les zones de section plus mince, qui offre une résistance moindre au cisaillement.

Le comportement des barres à section non circulaire ajoute une couche supplémentaire de complexité. Contrairement à la torsion des barres circulaires, pour lesquelles les sections transversales restent planes et ne subissent pas de déformation hors de leur plan initial, les sections non circulaires se déforment en « gauchissant ». Ce phénomène de gauchissement, décrit rigoureusement par Saint-Venant, implique que les sections ne restent pas parfaitement planes et que les points des bords de la section s’écartent dans la direction longitudinale. Le déplacement hors plan est caractérisé par une fonction de gauchissement u(y,z)u(y,z) qui satisfait une équation aux dérivées partielles, reflétant l’équilibre complexe des contraintes de cisaillement dans la section.

La distribution des contraintes de cisaillement dans ces sections non circulaires diffère nettement de celle observée dans les sections circulaires. Alors que les contraintes dans une section circulaire suivent des contours circulaires et augmentent régulièrement avec la distance au centre de torsion, dans une section carrée ou rectangulaire, les contraintes de cisaillement doivent diminuer vers zéro aux coins pour respecter la condition de traction nulle sur les bords libres. Ce gradient de contraintes est responsable du gauchissement et réduit l’efficacité des coins dans la transmission du couple, diminuant ainsi la rigidité torsionnelle réelle par rapport à celle prédite par le moment d’inertie polaire.

Saint-Venant a proposé une approximation de la rigidité torsionnelle via la constante de torsion J^\hat{J}, fonction de l’aire AA et du moment d’inertie polaire JJ de la section, donnée par la relation J^=4A2∫dst\hat{J} = \frac{4 A^2}{\int \frac{ds}{t}} (ou une formule approchée similaire). Pour les sections circulaires, cette approximation est exacte, mais pour les sections rectangulaires ou carrées, elle sous-estime légèrement la rigidité réelle, avec des écarts dépendant fortement du rapport entre les dimensions de la section. Plus ce rapport s’éloigne de l’unité, plus l’approximation se dégrade.

Les sections minces, dites à paroi fine, constituent une catégorie importante de sections non circulaires. Elles se divisent en sections ouvertes et fermées selon qu’elles enserrent ou non une aire. Les sections ouvertes, comme les profils en I, présentent une flexibilité accrue à la torsion en raison de l’épaisseur réduite des parois et de la faible portée des bras de levier des contraintes de cisaillement. En analysant un rectangle mince, cas élémentaire, on constate que les contraintes de cisaillement varient essentiellement linéairement à travers l’épaisseur, ce qui se traduit par une très faible rigidité torsionnelle. Cette faible rigidité rend ces sections vulnérables à des déformations significatives en torsion, même sous des charges relativement faibles, ce qui explique pourquoi ces profils ne sont pas conçus pour transmettre des couples importants mais doivent néanmoins résister à des torsions accidentelles dans des structures.

En résumé, la théorie de la torsion doit être adaptée pour tenir compte de la géométrie réelle des sections transversales, en particulier lorsque celles-ci ne sont pas circulaires. Le gauchissement des sections, la distribution non uniforme des contraintes et la dépendance forte à la géométrie locale sont des éléments essentiels à intégrer dans les modèles pour prédire correctement le comportement des barres soumises à la torsion.

Il est crucial de considérer que la résistance torsionnelle effective d’une barre ne dépend pas seulement des propriétés matérielles, mais aussi et surtout de la géométrie précise de sa section. L’analyse rigoureuse passe par la résolution d’équations aux dérivées partielles complexes ou par l’utilisation de modèles approximatifs validés par la mécanique de l’élasticité. Par ailleurs, les notions de rigidité torsionnelle et de gauchissement sont intrinsèquement liées à la stabilité globale des structures, notamment dans les cas où les torsions induites peuvent coupler avec des déformations flexionnelles ou provoquer des instabilités. La compréhension approfondie de ces phénomènes est donc indispensable pour la conception et l’évaluation des éléments structuraux dans le génie civil, mécanique, ou aéronautique.

Quelle est la contrainte de torsion dans les sections fermées à paroi mince et comment la calculer avec précision ?

L’expression du moment de torsion dans une section fermée à paroi mince repose sur une compréhension fine du flux de cisaillement uniforme, noté qq, qui, dans le cas d’un contour fermé, reste constant le long de la ligne moyenne. Le moment résultant est alors exprimé par une intégrale curviligne de type ∮T=q∮r⋅n ds\oint \mathbf{T} = q \oint \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} \, ds, où r\mathbf{r} est le vecteur position sur la ligne moyenne, n\mathbf{n} la normale extérieure, et dsds l’élément différentiel le long du périmètre.

Cette expression se simplifie grâce au théorème de la divergence, qui permet de convertir l’intégrale curviligne en une intégrale double sur la surface A\mathcal{A} délimitée par la ligne moyenne. En remarquant que la divergence de x\mathbf{x} vaut 2, on obtient ∮r⋅n ds=2A\oint \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} \, ds = 2\mathcal{A}, et donc le moment total devient T=2AqT = 2\mathcal{A}q, connue comme la formule de Bredt.

De cette formule, il découle naturellement une expression pour la contrainte de cisaillement :

σxs=T2At\sigma_{xs} = \frac{T}{2\mathcal{A}t}

où tt est l’épaisseur locale de la paroi. Le maximum de cette contrainte apparaît donc là où tt est minimal.

Dans le cas d’une section circulaire de rayon moyen RR et d’épaisseur tt, on a A=πR2\mathcal{A} = \pi R^2, ce qui donne :

σxs=T2πR2t\sigma_{xs} = \frac{T}{2\pi R^2 t}

Une comparaison avec l’expression exacte du cisaillement à rayon RR, issue du moment polaire d’inertie J=12π(Ro4−Ri4)J = \frac{1}{2}\pi(R_o^4 - R_i^4), montre que, en négligeant les termes en t2t^2, on retrouve bien la même contrainte de cisaillement. Cette approximation confirme la validité de l'approche pour les sections circulaires à paroi mince.

Au-delà des contraintes, on s’intéresse aussi à la relation entre le moment de torsion TT et la vitesse de rotation φ′(x)\varphi'(x) le long de l’axe de la poutre. La section se comporte comme un corps rigide en rotation autour de l’axe longitudinal, mais subit un gauchissement u(x,s)u(x,s), perpendiculaire à son plan.

La composante tangentielle du déplacement est donnée par le produit scalaire v(x,s)=φ(x)r(s)⋅n(s)v(x,s) = \varphi(x) \mathbf{r}(s) \cdot \mathbf{n}(s). En intégrant la dérivée de ce déplacement avec celui du gauchissement, la déformation de cisaillement est :

2εxs=∂u∂s+∂v∂x=∂u∂s+φ′(x)r⋅n2\varepsilon_{xs} = \frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial s} + \varphi'(x) \mathbf{r} \cdot \mathbf{n}

Comme uu est une fonction périodique sur le contour fermé, l’intégrale de ∂u∂s\frac{\partial u}{\partial s} s’annule. En substituant Hooke (εxs=σxs/G\varepsilon_{xs} = \sigma_{xs}/G) dans l’équation, et en intégrant, on obtient :

∮T2AGt(s) ds=φ′(x)∮r⋅n ds\oint \frac{T}{2\mathcal{A}G t(s)} \, ds = \varphi'(x) \oint \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} \, ds

Soit finalement :

T=GJ^ φ′(x)T = G \hat{J} \, \varphi'(x)

où J^\hat{J}, appelé constante de torsion, est donnée par :

J^=4A2SavecS=∮dst(s)\hat{J} = \frac{4\mathcal{A}^2}{\mathcal{S}} \quad \text{avec} \quad \mathcal{S} = \oint \frac{ds}{t(s)}

Ce résultat met en lumière le rôle géométrique central de la ligne moyenne dans la rigidité en torsion d’une section fermée.

Prenons l’exemple d’un tube rectangulaire mince de hauteur hh, de largeur w=h/2w = h/2, et d’épaisseur tt. Le périmètre de la ligne moyenne vaut 3h3h, et l’aire qu’elle enferme est A=0.5h2\mathcal{A} = 0.5h^2. La constante de torsion devient :

J^=4⋅(0.5h2)23h/t=h3t3\hat{J} = \frac{4 \cdot (0.5h^2)^2}{3h/t} = \frac{h^3 t}{3}

Comparée au moment polaire d’inertie exact, on observe un rapport J/J^≈1.69J/\hat{J} \approx 1.69, révélant l’importance du gauchissement pour les sections fermées. Cette divergence souligne que le moment d’inertie seul ne suffit pas pour prédire le comportement en torsion de telles structures ; le gauchissement y joue un rôle structurellement significatif.

Il est crucial pour le lecteur de comprendre que, dans les sections fermées à paroi mince, l’hypothèse que la section reste plane est inexacte

Comment l'intégration numérique résout-elle les équations différentielles dans les problèmes de barres et de poutres ?

Les stratégies de calcul utilisées dans les problèmes de barres axiales et de poutres consistent à convertir le problème aux conditions aux limites en un problème à valeurs initiales, dans le but de déterminer la distribution des variables d'état le long de l'axe. Cette approche repose sur l'intégration numérique des équations différentielles. L'intégration numérique est cruciale car elle permet d'approcher des solutions pour des systèmes complexes où les solutions analytiques sont difficilement accessibles. Ce processus consiste à discrétiser le problème pour obtenir une approximation des solutions aux points spécifiques, puis à relier ces points pour visualiser la fonction sous-jacente.

En principe, l'intégration numérique repose sur l'approximation de la fonction u(x)u(x) par une séquence de valeurs discrètes {u0,u1,u2,…,uN}\{u_0, u_1, u_2, \dots, u_N \}, où chaque unu_n représente la valeur de la fonction exacte en un point donné xnx_n. La méthode de base de cette approche consiste à utiliser des points espacés de manière égale, ce qui assure que h=xn+1−xnh = x_{n+1} - x_n est constant pour tout nn. Dans cette méthode, le dernier point est xN=Lx_N = L, où LL représente la longueur totale du système.

Une fois le problème discrétisé, les variables d'état, comme u(x)u(x) et N(x)N(x) pour la barre axiale, sont considérées comme des quantités indépendantes. Les relations entre ces variables, qui dans le cadre continu sont exprimées par des équations différentielles, doivent être émuler dans le cadre discret. Par exemple, pour un problème de barre axiale, la force interne axiale est liée au déplacement par l'expression u′(x)=N/EAu'(x) = N/E A, qui peut être intégrée entre les points xnx_n et xn+1x_{n+1} en utilisant des approximations.

L'intégration des équations différentielles se fait en utilisant la règle des trapèzes. L'idée ici est d'approximer l'intégrale de la fonction par l'aire d'un trapèze défini en reliant deux points adjacents. Bien que l'intégrale exacte ne soit pas obtenue, l'approximation est raisonnablement précise si les points sont suffisamment proches les uns des autres. Plus le pas hh est petit, plus l'approximation sera exacte. La méthode peut également être généralisée par l'introduction d'un paramètre β\beta, ce qui permet de créer une famille de règles d'intégration, dont la règle des trapèzes classique (avec β=0.5\beta = 0.5) en fait partie. Si β=1\beta = 1, on obtient la méthode d'Euler arrière, et si β=0\beta = 0, la méthode d'Euler avant.

En appliquant la règle des trapèzes généralisée au problème de la barre axiale, on obtient une relation récurrente qui permet de calculer les nouvelles valeurs des variables d'état à partir des valeurs précédentes. Ce processus se poursuit jusqu'à ce que toutes les étapes nécessaires à la solution du problème soient couvertes. Cependant, l'exactitude de cette méthode dépend fortement du choix de la taille du pas hh, et des erreurs d'approximation apparaissent généralement si le pas est trop grand.

Un aspect essentiel de cette méthode est la compréhension de l'intégration numérique des équations différentielles. Cette approche, qui repose sur l'approximation de fonctions complexes par des fonctions discrètes, permet de simuler des systèmes continus tout en traitant des problèmes de plus en plus complexes. Les valeurs exactes des variables d'état ne sont pas accessibles directement, mais une série de valeurs discrètes permet de les approcher efficacement.

Dans les applications de la barre axiale et des poutres, on rencontre souvent des intégrales définies sur le domaine du système. La procédure d'exécution de ces intégrales est appelée quadrature. En termes géométriques, l'intégrale d'une fonction entre deux limites aa et bb représente l'aire sous la courbe entre ces deux points. L'intégrale peut être calculée à l'aide de la formule de quadrature numérique, qui réduit le problème d'intégration à l'évaluation de la fonction en certains points spécifiques, suivie d'une multiplication par des poids associés et d'une somme.

L'une des méthodes les plus simples pour effectuer des intégrations est d'utiliser une antiderivée, mais dans les cas où la fonction est complexe ou si un calcul plus général est nécessaire, la quadrature numérique est un choix approprié. Cette approche permet d'intégrer des fonctions plus difficiles en les approchant par des séries discrètes, et son efficacité réside dans la précision des poids et des stations utilisés dans la règle de quadrature spécifique.

Il est également possible de transformer une intégrale définie sur un intervalle [a,b][a, b] en une intégrale sur l'intervalle [0,1][0, 1] à l'aide d'un changement de variable, ce qui simplifie souvent le calcul des stations dans les méthodes numériques. Une autre transformation utile consiste à transformer l'intervalle [a,b][a, b] en l'intervalle [−1,1][-1, 1], ce qui est parfois bénéfique dans certains types d'applications.

L'intégration numérique et la quadrature permettent ainsi de traiter efficacement des systèmes complexes en approchant les solutions exactes à travers des approximations discrètes. La clé réside dans la compréhension de ces techniques d'approximation et de leur capacité à résoudre des problèmes physiques, comme ceux associés aux barres et aux poutres, avec une précision croissante en ajustant les paramètres du calcul numérique.

Comment établir et comprendre les conditions de continuité dans les poutres linéaires ?

La théorie linéaire des poutres repose sur l’étude rigoureuse des équations différentielles liant les efforts internes—cisaillement, moment fléchissant—et les variables cinématiques telles que la rotation et la déflexion transverse. Lorsqu’une poutre est soumise à des conditions complexes, comme la présence d’appuis intermédiaires, de charges ponctuelles ou de variations brutales des propriétés mécaniques (par exemple, du module d’élasticité ou du moment d’inertie), il en découle des discontinuités dans certaines grandeurs d’état.

Pour analyser ces situations, la poutre est découpée en segments distincts séparés par ces points singuliers. Chaque segment est alors caractérisé par ses propres variables d’état (déplacement transversal wiw_i, rotation θi\theta_i, moment MiM_i, cisaillement ViV_i), toutes fonction de la position xx mesurée à partir de l’extrémité gauche. Les variables sont définies de manière par morceaux, mais leur assemblage impose des conditions strictes pour assurer la cohérence physique de la structure.

Les conditions de continuité se divisent en deux catégories : cinématiques, portant sur le déplacement et la rotation, et cinétiques, portant sur le moment et le cisaillement. Par exemple, dans le cas d’une poutre bi-appui avec un rouleau intermédiaire, le déplacement et la rotation doivent être continus au point d’appui. Autrement dit, la déflexion des deux segments adjacents est identique au point d’appui, évitant ainsi une discontinuité physique qui se traduirait par une « cassure » ou une déformation irréaliste.

Cependant, le cisaillement peut présenter une discontinuité liée à la réaction d’appui, manifestée par un saut de la valeur du cisaillement égal à la force de réaction à cet endroit précis. La continuité du moment est, quant à elle, imposée par l’équilibre statique local et s’exprime par l’égalité des moments des deux segments au point d’interface. Cette condition peut être vérifiée en réalisant un diagramme de corps libre infinitésimal autour du point de jonction.

L’équilibre local et les conditions aux limites assurent que le nombre total de conditions—limites extérieures plus continuité aux jonctions internes—correspond au nombre de constantes d’intégration des équations différentielles régissant la poutre. Pour une poutre en deux segments, chaque segment satisfait une équation différentielle d’ordre quatre, générant huit constantes à déterminer. Les quatre conditions aux limites aux extrémités et les quatre conditions de continuité à l’interface permettent de résoudre le système de manière unique.

Dans l’approche formelle, la rotation θ\theta peut être remplacée par la dérivée négative du déplacement w′w', simplifiant ainsi la formulation des conditions de continuité. De même, la continuité du moment peut s’écrire en fonction de la dérivée seconde du déplacement, pondérée par le module d’élasticité et le moment d’inertie, ce qui souligne l’importance des propriétés matérielles et géométriques dans l’étude des structures composées.

La résolution des problèmes de poutres linéaires repose sur différentes formes des équations différentielles : un système de quatre équations différentielles du premier ordre, deux équations du second ordre ou une équation unique du quatrième ordre. Chacune offre une perspective distincte et des méthodes variées pour aborder l’analyse. La hiérarchie naturelle des grandeurs physiques est ainsi mise en lumière : la charge appliquée détermine le cisaillement, qui détermine le moment, qui à son tour détermine la rotation, menant enfin au déplacement transversal.

La compréhension et la maîtrise des conditions de continuité sont fondamentales, car elles garantissent la cohérence physique des solutions et assurent la bonne modélisation des structures réelles. Elles permettent également d’identifier rapidement les effets des appuis, des charges concentrées ou des ruptures dans la rigidité de la poutre.

Il importe de bien intégrer que les conditions de continuité ne sont pas des contraintes arbitraires mais découlent directement de la mécanique des milieux continus et des lois d’équilibre. La discontinuité d’une variable telle que le cisaillement traduit une réalité physique, une force concentrée, tandis que la continuité du déplacement et du moment correspond à la cohésion structurelle. De plus, la finesse dans la modélisation des appuis et des jonctions impacte directement les résultats de calcul, notamment les déplacements et contraintes maximales, essentiels à la sécurité et à la durabilité des ouvrages.

Ainsi, les outils mathématiques associés à la théorie linéaire des poutres doivent être maniés avec rigueur et discernement, en tenant compte des phénomènes physiques sous-jacents et des hypothèses du modèle (petites déformations, comportement élastique linéaire, homogénéité des matériaux dans chaque segment). Une lecture attentive des conditions aux limites et de continuité est indispensable pour appréhender pleinement la réponse structurelle et éviter les erreurs conceptuelles ou numériques.

Comment résoudre les problèmes de poutres avec charnière interne : Approches différentielles et diagrammes de corps libre

Lorsqu'on aborde les problèmes de poutres en flexion, la présence d'une charnière interne mérite une attention particulière. Une charnière interne permet aux segments de la poutre de se déformer de manière indépendante, mais elle impose une contrainte : les deux segments doivent se traduire ensemble à travers la charnière. Ainsi, si la charnière transmet des forces de cisaillement et axiales, elle empêche la transmission de tout moment, ce qui a des conséquences importantes sur la distribution des forces internes.

Prenons l'exemple d'une poutre en porte-à-faux, de longueur LL, équipée d'une charnière interne et soumise à une charge ponctuelle PP, comme représenté dans l'illustration 8.6. L'objectif est de déterminer les forces internes de cisaillement V(x)V(x) et les moments de flexion M(x)M(x), en utilisant deux approches distinctes : celle du diagramme de corps libre et celle des équations différentielles d'équilibre.

Méthode du diagramme de corps libre

L'approche du diagramme de corps libre consiste à découper la poutre en segments et à analyser les forces internes sur chacun d'eux. Dans notre exemple, cela implique de considérer deux sections de la poutre : une à gauche de la charge PP et l'autre à droite. Le diagramme de corps libre complet nous permet d'identifier les réactions aux appuis, qui se traduisent par des équations d'équilibre des forces et des moments.

Par exemple, en appliquant l'équilibre des forces et des moments sur la poutre entière, nous obtenons des relations entre les réactions AA, BB et MBM_B qui, une fois résolues, permettent de calculer ces valeurs de manière unique. Ces réactions sont cruciales pour déterminer les efforts internes, car elles conditionnent la distribution du cisaillement et du moment dans chaque segment de la poutre. En particulier, le moment au niveau de la charnière doit être nul, ce qui constitue une condition essentielle pour résoudre le problème de manière cohérente.

À chaque côté de la charge PP, les forces internes de cisaillement et les moments sont définis par des fonctions linéaires par morceaux. La continuité des efforts à la charnière permet de lier ces fonctions, tout en respectant la condition de non-transmission de moment à l'emplacement de la charnière. Cette méthode aboutit à une série d'équations qui permettent de déterminer les forces internes et les moments pour chaque segment de la poutre, et d'extrapoler ainsi la réponse globale du système.

Méthode des équations différentielles d'équilibre

L'approche des équations différentielles repose sur le principe fondamental que le cisaillement varie linéairement entre les segments où il est constant. Puisque la charge PP n'entraîne pas de charge répartie, le cisaillement est constant dans chaque segment. Ainsi, on peut exprimer les forces de cisaillement et les moments de manière linéaire, et les résoudre à l'aide de conditions aux limites adaptées.

Les équations de moment et de cisaillement sont intégrées, en tenant compte des conditions aux bords (par exemple, la continuité des moments et la condition de moment nul à la charnière). Cela conduit à un système d'équations linéaires en quatre inconnues, qui peuvent être résolues pour déterminer les constantes d'intégration. Ces résultats sont ensuite utilisés pour retrouver les expressions complètes des efforts internes.

L'une des particularités de cette méthode est qu'elle met en évidence la discontinuité du cisaillement, qui provoque une rupture nette dans la courbe des moments. C’est cette discontinuité qui explique la présence d’une « cassure » dans le diagramme des moments à l'emplacement de la charge.

Importance de la charnière interne

La charnière interne joue un rôle clé dans la résolution de ces problèmes. Bien qu'elle cause une discontinuité cinématique, elle ne génère pas de discontinuité dans le champ des efforts internes (cisaillement et moment). La condition de la charnière est primordiale, car elle permet d’introduire une contrainte cinématique dans le système : le moment à l'emplacement de la charnière doit être nul. Ce fait, combiné à d'autres conditions de continuité (comme la continuité des moments aux points de coupure et la discontinuité du cisaillement à l’emplacement de la charge), permet de résoudre les inconnues de manière univoque.

L'un des points clés à retenir ici est que les résultats obtenus avec les deux méthodes (diagramme de corps libre et équations différentielles) se recoupent, validant ainsi la solidité des calculs et des principes théoriques employés.

Qu'est-ce qu'il est essentiel de comprendre d'autre ?

La clé de la solution réside dans l'utilisation de fonctions définies par morceaux pour représenter les efforts internes, ce qui permet de modéliser les discontinuités de manière adéquate. Cette approche est applicable à de nombreux types de structures, notamment les poutres supportant des charges ponctuelles, des charnières ou même des appuis mobiles. L'analyse de ces systèmes, bien que très technique, est essentielle pour garantir la stabilité et la sécurité des structures en génie civil.

Dans la pratique, il est aussi important de se rappeler que la charnière interne n'est pas simplement une condition géométrique ; elle influence directement les variables cinématiques, comme la rotation et la déflexion de la poutre, qui sont cruciales dans la conception de structures. Par conséquent, même si la charnière n'introduit pas de discontinuité dans les efforts internes, elle a un impact significatif sur les comportements de la poutre dans son ensemble.

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