Qu’est-ce qu’une opération sur un ensemble et quelles sont ses propriétés fondamentales ?

Une opération sur un ensemble $X$ est une application qui associe à chaque couple d’éléments $(x, y) \in X \times X$ un élément unique $x \ast y \in X$. Cette notion fondamentale sert à structurer l’étude des ensembles munis de règles permettant de combiner leurs éléments. Par exemple, la composition de fonctions définies sur un même ensemble $X$, notée $\circ$, est une opération sur $\mathrm{Funct}(X,X)$, tandis que les opérations d’union $\cup$ et d’intersection $\cap$ agissent sur la partie puissance $\mathcal{P}(X)$.

L’associativité peut être complétée par la propriété de commutativité, qui signifie que pour tous $x, y \in X$,

Ainsi, les opérations d’union et d’intersection sur $\mathcal{P}(X)$ sont à la fois associatives et commutatives, contrairement à la composition de fonctions qui n’est généralement pas commutative.

La construction d’opérations sur des ensembles de fonctions à partir d’opérations sur leur ensemble d’arrivée est également un outil puissant. Étant donné une opération $\ast$ sur un ensemble $Y$ avec élément neutre $e$, on peut définir une opération correspondante sur $\mathrm{Funct}(X,Y)$ par

Cette opération héritera des propriétés d’associativité et de commutativité de $\ast$, et la fonction constante valant $e$ sera l’élément neutre pour $\star$. Cette construction, simple et naturelle, est fondamentale dans diverses applications, notamment en algèbre et analyse fonctionnelle.

En approfondissant l’étude des opérations, on peut explorer leur interaction avec des relations d’équivalence, partiellement ordonnées ou autres structures. Par exemple, le produit cartésien de relations d’équivalence reste une relation d’équivalence, ce qui est crucial dans la construction de structures plus complexes à partir de structures élémentaires.

Dans ce contexte, la construction des nombres naturels prend une place centrale, à commencer par les axiomes de Peano. Ces axiomes formalisent l’idée intuitive du successeur d’un nombre naturel et assurent l’existence d’un ensemble $\mathbb{N}$ muni d’une fonction successeur injective $\nu$ et d’un élément initial $0$. Le principe d’induction, incarné dans l’axiome d’inclusion minimale, en découle naturellement, garantissant la possibilité de démontrer des propriétés sur tous les naturels.

La question de l’existence même des nombres naturels est abordée à travers la notion de système infini, définie comme un ensemble admettant une injection propre dans lui-même. Le théorème de Dedekind affirme que tout tel système contient un modèle des axiomes de Peano, réduisant ainsi l’existence des nombres naturels à celle d’ensembles infinis. Cette réduction s’appuie sur des axiomes de compréhension, dont la rigueur fut contestée suite aux paradoxes découverts par Russell, mettant en lumière la nécessité d’un cadre axiomatique précis pour la théorie des ensembles.

Il est important de comprendre que la rigueur formelle de la définition des opérations et des structures algébriques n’est pas une simple abstraction, mais un socle indispensable pour garantir la cohérence et la puissance de la mathématique. Les propriétés comme l’associativité, la commutativité, et l’existence d’éléments neutres conditionnent profondément les comportements algébriques et sont à la base de la construction de structures plus élaborées, telles que groupes, anneaux et corps.

Les nombres irrationnels sont-ils aussi denses que les nombres rationnels dans ℝ ?

La notion de densité des ensembles de nombres dans l'ensemble des nombres réels ℝ est fondamentale pour comprendre la structure et la complexité de la droite réelle. On sait depuis longtemps que l'ensemble des nombres rationnels ℚ est dense dans ℝ, c’est-à-dire que, entre deux réels quelconques a et b tels que a < b, on peut toujours trouver un nombre rationnel r tel que a < r < b. Cette propriété exprime l’idée que les rationnels sont infiniment nombreux et proches les uns des autres dans ℝ. Cependant, il est tout aussi important de reconnaître que l’ensemble complémentaire des rationnels, l’ensemble des nombres irrationnels ℝ \ ℚ, possède cette même propriété de densité.

Cette densité ne se limite pas à un seul exemple particulier. Plus généralement, la racine carrée de tout nombre naturel non carré parfait est un nombre irrationnel, assurant ainsi une infinité d’irrationnels distincts. En combinant cela avec le fait que ℚ est dénombrable alors que ℝ est non dénombrable, on en déduit que la quantité d’irrationnels est en réalité strictement plus grande que celle des rationnels. La notion d’ensembles non dénombrables introduit une hiérarchie dans l’infini, où les irrationnels constituent une majorité écrasante des nombres réels.

Par ailleurs, les intervalles dans ℝ jouent un rôle essentiel dans la compréhension de cette densité. Un intervalle est défini comme un ensemble J tel que, pour tous x, y dans J avec x < y, tout z compris entre x et y appartient aussi à J. Les intervalles peuvent être ouverts ou fermés, bornés ou non, mais tous contiennent une infinité de rationnels et d’irrationnels. Cela signifie que la droite réelle, vue à travers les intervalles, est un continuum parfaitement rempli, sans trous, où ces deux sous-ensembles coexistent sans discontinuité.

Une autre conséquence importante de ces propriétés est liée à la complétude de ℝ. Alors que ℚ, bien que dense, n’est pas complet (c’est-à-dire qu’il existe des suites de rationnels convergeant vers des limites non rationnelles), ℝ est construit pour être un corps complet. Ce concept de complétude est au cœur de nombreuses théories mathématiques, assurant l’existence de limites pour toutes les suites de Cauchy dans ℝ. Les irrationnels sont donc essentiels pour combler les "lacunes" des rationnels et garantir cette complétude.

Il importe également de considérer la manière dont les puissances rationnelles d’un nombre réel positif a ∈ ℝ⁺ sont définies pour garantir la cohérence de ces constructions. En particulier, pour un exposant rationnel r = p/q en forme irréductible, la définition de aʳ repose sur l’unicité de cette forme et la cohérence des racines q-ièmes, ce qui permet d’étendre les opérations dans ℝ tout en conservant l’ordre et les propriétés algébriques.

Enfin, ces propriétés posent les bases pour des développements ultérieurs, notamment l’étude des nombres complexes, qui étendent encore plus la notion de nombre en introduisant une unité imaginaire i telle que i² = −1. Cette extension, bien que construite différemment de ℝ à partir de ℚ, conserve des aspects essentiels de la structure algébrique, tout en ouvrant la voie à la résolution complète des équations polynomiales.

Il est important de bien saisir que la coexistence dense des rationnels et des irrationnels dans ℝ témoigne de la richesse infinie de la droite réelle. Cela implique que toute recherche d’approximation, qu’elle soit numérique ou théorique, doit prendre en compte cette dualité. Les nombres irrationnels, loin d’être des exceptions isolées, forment la majorité des points sur ℝ et sont indispensables pour garantir la continuité et la complétude nécessaires à l’analyse mathématique.