Comment les mots et la réalité quantique échappent à notre compréhension : une analyse du rôle du langage et des mathématiques

Les mots, quel que soit le concept qu’ils désignent, y compris celui de « réalité », peuvent être problématiques lorsqu’ils sont utilisés pour décrire des phénomènes quantiques. Cette difficulté se manifeste particulièrement lorsque la « réalité » est comprise comme une réalité dépourvue de réalisme, un « mot » sans concept attaché, si l’on peut encore parler de mot dans ce cas. Selon Heisenberg, l’un des pionniers de la mécanique quantique, les problèmes de langage sont véritablement graves. Nous souhaitons parler d’une manière ou d’une autre de la structure des atomes, et non seulement des « faits », tels que des taches noires sur une plaque photographique ou des gouttes d’eau dans une chambre à brouillard. Pourtant, il est impossible de parler des atomes avec un langage ordinaire, tout comme il est impossible de les appréhender avec des concepts issus du langage commun. Heisenberg, dans sa réflexion, soulève une question fondamentale : comment pouvons-nous parler de la réalité à l’échelle subatomique, alors que notre langage et nos concepts sont issus de notre expérience quotidienne, fondée sur des phénomènes impliquant des milliards d’atomes ?

Cependant, cette difficulté n’est pas insurmontable. Heisenberg indique que les mathématiques offrent un moyen de dépasser cette limitation du langage ordinaire. Selon lui, il est possible de représenter la réalité quantique par des symboles mathématiques, qui, loin de souffrir des contraintes du langage quotidien, permettent de décrire les phénomènes quantiques avec une grande précision. En fait, il soutient que les mathématiques, bien que n’étant pas exemptes des limitations humaines, offrent une liberté qui n’est pas présente dans la langue courante. Cette liberté est particulièrement évidente dans la mécanique quantique, où les mathématiques sont utilisées pour prédire les probabilités des événements quantiques, tels que les interactions entre particules subatomiques.

Un aspect central de la réflexion d’Heisenberg réside dans la distinction qu’il fait entre l’observation et la mesure en physique quantique. Dans le cadre des interprétations réalistes et non réalistes, la réalité responsable des phénomènes quantiques ne peut être observée directement. Ce que nous observons dans les expériences quantiques, ce sont des traces de ces phénomènes – les traces des interactions entre les objets quantiques et les instruments de mesure. Ces observations ne doivent pas être confondues avec l’observation d’un objet quantique réel, car cet objet ne devient « observable » qu’au moment de l’observation, dans le cadre d’un acte de création unique des phénomènes quantiques.

La mécanique quantique, contrairement à la physique classique, ne nous permet pas de mesurer des propriétés existantes avant l’observation. Elle prédit seulement les résultats des mesures des propriétés des phénomènes observés, et ces propriétés sont définies par notre technologie d’observation. Par conséquent, l’observation en physique quantique ne consiste pas à découvrir une réalité préexistante, mais à créer, à chaque fois de manière unique, la réalité quantique à partir des instruments de mesure. En d’autres termes, l’acte d’observation en physique quantique est fondamentalement différent de celui des théories classiques.

Cette distinction est cruciale pour comprendre que la physique quantique ne se réduit pas à une simple extension de la physique classique. Les deux théories, bien que liées, restent distinctes et leur interaction est complexe. La physique quantique et la relativité restreinte (SR) sont souvent complémentaires, mais chacune conserve son propre domaine d’application et ses propres principes. La gravité quantique (GR), quant à elle, ne peut être reliée aux phénomènes quantiques à ce jour, ce qui la place dans un autre cadre théorique.

Il est important de noter que, dans les interprétations réalistes et non réalistes, la mécanique quantique offre un cadre pour expérimenter avec la réalité d’une manière inédite. Plutôt que de simplement observer ce qui est susceptible de se produire, la physique quantique nous permet de manipuler et de tester la réalité en créant de nouvelles possibilités. Cette capacité d’expérimentation devient un pilier de la science moderne, où les frontières de la réalité sont sans cesse repoussées par l’avancée des instruments et des théories.

Le rôle des mathématiques dans cette démarche est donc fondamental. Ce n’est pas seulement une question de symboles abstraits, mais d’une structure qui permet de relier la réalité physique à nos capacités cognitives humaines. Les mathématiques offrent un accès à des aspects de la réalité que notre langage et nos concepts ordinaires sont incapables de saisir. C’est dans cet espace de liberté mathématique que réside une grande partie du pouvoir prédictif de la mécanique quantique, même si, comme le suggère Heisenberg, nous ne pouvons jamais prétendre saisir la réalité sous-jacente dans sa totalité. La mécanique quantique reste un cadre qui nous permet de mieux comprendre le monde à une échelle que nos sens ne peuvent appréhender, mais sans jamais pouvoir l’identifier pleinement.

Dans ce contexte, il est essentiel de saisir que la physique quantique et la relativité restreinte, bien qu’elles s’appliquent à des régimes différents de la réalité, doivent être vues comme deux aspects d’un tout qui dépasse notre expérience quotidienne. L’une n’est pas supérieure à l’autre, mais elles sont complémentaires et nécessaires à la compréhension de l’univers.

Comment les immersions et les revêtements de variétés différomorphiques sont construits et comment ils interagissent dans des calculs topologiques complexes

L'étude des revêtements et des immersions dans le contexte des variétés différomorphiques repose sur une combinaison subtile d'outils géométriques et algébriques. L'un des objectifs clés de cette analyse est de comprendre la manière dont les revêtements à deux feuilles peuvent être construits et comment les groupes de monodromie influencent la structure des variétés associées. Ces concepts sont cruciaux, notamment lorsqu'il s'agit de manifolds équipés de structures topologiques particulières, telles que des couvertures de type Kervaire ou des immersions de classes non triviales dans des espaces euclidiens.

Dans ce cadre, la construction des immersions commence souvent par l'utilisation de la classe d'orientation, notée κM, qui n'est pas toujours un entier, contrairement à d'autres constructions topologiques standard. Un exemple emblématique est celui de l'immersion décrite dans (12.25), où l'on utilise une involution diagonale pour définir une carte entre deux variétés. Cette approche est suivie par la construction de la variété $N^{\hat{15}}$, équipée de la couverture $p: N^{15} \to N^{\hat{15}}$, et l'immersion associée $\varphi = \varphi^{\hat{}} \circ p$. Ce processus génère une immersion représentant l'élément $\eta_{sf4} \in Immsf(15, 1)$, avec un invariant de Hopf égal à 1.

L'un des aspects les plus intéressants de cette construction est la manière dont les immersions sont combinées dans des produits cartésiens. Par exemple, le produit cartésien de deux immersions $\varphi^{\hat{7}} \times \varphi^{\hat{7}}$ génère une immersion dans $N^{\hat{7}} \times N^{\hat{7}} \subset \mathbb{R}^8$. Le faisceau normal de cette immersion est représenté par la somme de Whitney de deux copies du faisceau de lignes $\nu(\varphi^{\hat{}})$. En se concentrant sur ce produit, on obtient une immersion dont le faisceau normal est à deux dimensions, ce qui permet une analyse détaillée de la topologie des variétés impliquées.

L'importance de cette approche réside également dans la manière dont les groupes de monodromie affectent la structure des revêtements. Les groupes diédraux, comme le groupe $D$ qui contient huit éléments, jouent un rôle central. Ces groupes agissent sur les variétés par des transformations géométriques telles que des rotations et des symétries, affectant ainsi la façon dont les revêtements se comportent sous différentes projections. En particulier, l'élément $b^2 \in D$, qui agit comme une involution sur la variété $M^{\hat{15}}$, entraîne des effets notables sur les revêtements, tels que des translations de couverture. L'action de cet élément sur la variété $M^{15}$ mène à une cartographie entre la variété $M^{15}$ et sa couverture $M^{\hat{15}}$, modélisant des relations complexes entre les différents espaces.

Une autre facette importante de la construction est la manière dont les classes d'Euler et les faisceaux de lignes sont utilisés pour décrire des sous-variétés dans des espaces à revêtements. Par exemple, le faisceau normal $\nu(\psi^{\tilde{}})$ sur la variété $M^{\tilde{15}}$ est associé à un faisceau de lignes $\lambda$, générant ainsi des classes d'Euler qui peuvent être utilisées pour définir des sous-variétés spécifiques. Ces sous-variétés, à leur tour, sont intégrées dans une structure de couverture qui est bien définie à travers les projections et les sous-groupes associés.

À travers ce processus, on construit des variétés fermées et ouvertes en utilisant des projections et des coupures de fibres. Ces structures, associées à des revêtements de disques ouverts, permettent de donner une description géométrique plus profonde de la variété $N^{\hat{15}}$, qui est obtenue comme une variété fermée dans un espace de dimension supérieure. La construction des revêtements et des immersions permet ainsi d'explorer des questions de topologie stable dans un cadre complexe, en utilisant des concepts géométriques avancés pour relier des groupes de monodromie et des classes d'Euler à la structure des revêtements.

L'exploration de ces concepts dans le contexte des variétés différomorphiques ouvre la voie à une meilleure compréhension des interactions entre les immersions, les revêtements et les groupes de monodromie, en particulier dans les constructions topologiques complexes. L'étude de ces structures permet de révéler des relations profondes entre la géométrie et la topologie des espaces à revêtements et offre une base solide pour des recherches futures dans des domaines tels que la théorie des catégories ou l'homotopie stable.