Pourquoi la géométrie absolue est-elle ignorée dans la science moderne?

La géométrie absolue, qui traite des propriétés géométriques indépendantes de toute métrique, semble avoir été négligée dans le domaine des sciences contemporaines. Pourtant, cette branche de la géométrie a une importance fondamentale, notamment dans l’étude des bases mêmes des structures géométriques. L'une des thématiques les plus intéressantes de la géométrie absolue est l’étude de la notion de continuité et de ses implications sur la définition même de l’espace.

Le terme "géométrie absolue" fait référence à un cadre dans lequel les propriétés géométriques sont examinées indépendamment de toute métrique ou de toute hypothèse concernant la structure de l'espace. Dans ce cadre, des théorèmes qui étaient autrefois considérés comme élémentaires en géométrie euclidienne, comme le théorème d'Urquhart, sont réévalués et présentés sous un nouvel éclairage. Ce dernier théorème, auparavant perçu comme un élément de base de la géométrie euclidienne, devient dans ce contexte un fondement pour une géométrie qui s’étend bien au-delà des idées classiques de distance et de mesure.

Les recherches récentes dans ce domaine, notamment celles qui traitent des espaces métriques non elliptiques, ont mis en évidence des problématiques intéressantes telles que l’existence de plans métriques dans lesquels chaque segment possède un point milieu des centres de masse généralisés pour n'importe quel système de points matériels avec des poids égaux. Ce type de question remet en cause les conceptions classiques et ouvre la voie à des réflexions profondes sur la nature de l’espace et des objets géométriques eux-mêmes.

Une des difficultés majeures réside dans la manière dont cette géométrie se distingue des approches classiques et comment elle se présente par rapport à d'autres paradigmes géométriques modernes. Par exemple, la question de la continuité des espaces, telle qu’exposée dans les travaux de Riemann et d’autres géomètres modernes, devient particulièrement pertinente. Contrairement à la géométrie différentielle, qui repose sur l’existence de courbes et de surfaces continues, la géométrie absolue pose des questions sur la structure sous-jacente de l’espace lui-même et sur les relations entre les points dans un espace totalement abstrait.

Les liens entre la géométrie absolue et la physique quantique, bien que moins évidents, sont également fascinants. À l’instar de la théorie des champs quantiques et des équations de Yang-Mills, qui manipulent les concepts d’invariance et de symétrie, la géométrie absolue peut fournir un cadre pour penser des structures plus fondamentales et universelles qui sous-tendent non seulement la géométrie mais aussi les lois physiques qui régissent l’univers.

En réexaminant des concepts géométriques oubliés, ou négligés, comme ceux de la géométrie absolue, les chercheurs ouvrent la voie à une exploration plus profonde de l’espace et de ses propriétés. Cela pourrait même permettre une réévaluation des fondements de la physique moderne, notamment en ce qui concerne l'énigme de la structure de l'espace-temps à l'échelle quantique.

Il est essentiel de comprendre que, bien que la géométrie absolue semble être une discipline de niche, ses implications pour d'autres domaines scientifiques sont significatives. L'abandon de cette approche pourrait avoir limité les horizons de la recherche contemporaine en physique et en mathématiques. Pourtant, sa redécouverte offre non seulement des possibilités d'expansion théorique mais aussi une occasion de questionner les hypothèses de base de la science elle-même.

Quelle est la périodicité éventuelle de l'anthiphairesis des grandeurs selon la théorie de Théétète ?

La périodicité de l’anthiphairesis, telle que décrite par Théétète, se manifeste dans l’algorithme de division successives des grandeurs. Pour deux segments de droite a et b, où a > b, l’anthiphairesis suit une séquence où à chaque étape, un quotient est obtenu par division, et un reste est calculé. Ce processus peut aboutir à une division infinie, mais si l’anthiphairesis est périodique, la séquence des quotients finit par se répéter à l’infini après un certain nombre d’étapes. Cette répétition est essentielle dans l’étude des rapports, car elle permet de comprendre les relations entre les grandeurs qui ne peuvent pas être mesurées par des unités commensurables.

Un élément essentiel de la théorie de Théétète est le "critère du Logos" pour la périodicité de l’anthiphairesis. Selon ce critère, un rapport entre deux grandeurs a et b, où a > b, est périodique si la séquence des quotients générés par l’anthiphairesis finit par se répéter. Ce critère est fondamental pour comprendre pourquoi certains rapports entre grandeurs peuvent être résolus de manière périodique, ce qui est un outil crucial pour traiter les nombres irrationnels dans les calculs géométriques.

Dans l’œuvre d’Aristote, notamment dans les Topiques, une référence est faite à une théorie des rapports pré-Eudoxéens qui repose sur l’égalité de l’anthiphairesis. Aristote décrit que deux dyades de grandeurs a, b et c, d, où a > b et c > d, sont en proportion si et seulement si leurs anthiphaireses sont égales. Cela correspond à une version simplifiée de la proposition VI.1 des Éléments d’Euclide, qui montre que la multiplication des segments de droite est compatible avec la multiplication des rapports.

Les historiens modernes des mathématiques s'accordent à attribuer cette théorie des proportions à Théétète, bien qu'Aristote ne mentionne pas explicitement son nom dans ses écrits. La théorie de Théétète, basée sur l'anthiphairesis, représente donc une étape fondamentale dans l'histoire de la géométrie et des rapports. Ce modèle de proportion permet d'analyser des grandeurs qui étaient auparavant incompréhensibles dans le cadre des théories de proportion plus simples de l'époque.

Outre cette conception géométrique, il est important de souligner que la théorie de Théétète a également eu un impact significatif sur la philosophie de Platon, particulièrement en ce qui concerne sa critique de la théorie des rapports d'Eudoxe. Platon, à travers les dialogues, indique que la théorie de Théétète est plus en accord avec l’idée que les rapports des grandeurs peuvent être compris par des procédés plus spécifiques et limités, contrairement à la théorie générale d'Eudoxe qui s'appliquait à tous les types de rapports.

Ainsi, la notion de périodicité dans l'anthiphairesis ne doit pas être vue uniquement comme un outil arithmétique, mais comme un principe philosophique qui a permis de repenser la relation entre les grandeurs et leurs rapports dans un cadre qui ne dépend pas exclusivement des méthodes modernes de la géométrie. Il s'agit d'un pont entre l'antiquité grecque et les développements futurs des mathématiques, influençant non seulement la géométrie, mais aussi la logique et la philosophie des mathématiques.

Enfin, il est essentiel de comprendre que la périodicité de l’anthiphairesis, telle qu'exposée par Théétète, s’applique non seulement aux grandeurs rationnelles, mais aussi aux irrationnelles. Cette idée introduit une forme de régularité qui, bien que non immédiate, permet de rationaliser des rapports qui autrement auraient échappé à toute forme de mesure précise. Le concept d’anthiphairesis, et plus spécifiquement sa périodicité, demeure une pierre angulaire dans la compréhension des rapports de grandeurs et dans le traitement des irrationnels, offrant une approche robuste et systématique de la géométrie.

Comment la recherche en topologie a influencé la physique et les mathématiques modernes

Au tournant de l'année 1959, un résultat fondamental en topologie émergea de la tentative infructueuse de résoudre l'hypothèse de Poincaré. Il s'agit d'un théorème qui présente l'existence d'une variété compacte et lisse en dimension quatre, $M^4$, contractible, dont la frontière n'est pas simplement connexe. Ce théorème, ainsi que ses nombreuses ramifications, a ouvert de nouvelles perspectives non seulement en topologie, mais aussi en physique théorique. Le théorème a conduit à l'existence d'une involution lisse sur la sphère $S^4$, dont l'ensemble des points fixes constitue une sphère d'homologie à trois dimensions non simplement connexe. Ce résultat, bien qu'il ait été indépendant dans son élaboration, a rapidement été reconnu comme une avancée majeure dans le domaine. En effet, Barry Mazur, avec qui j'ai depuis développé une amitié profonde, découvrit le même résultat indépendamment, ce qui a donné lieu à une nouvelle branche de la recherche en topologie.

Au-delà de ce théorème, d'autres travaux importants ont vu le jour dans les années qui suivirent. En mai 1960, une avancée cruciale fut réalisée, concernant la factorisation non triviale du hypercube en dimension cinq. Cette découverte eut pour conséquence un changement de statut, me permettant de devenir chercheur associé à l'Institut de Mathématiques de l'Académie Roumaine. En parallèle, un deuxième théorème fut démontré, reliant des espaces de dimension trois et cinq par des sommes connexes, aboutissant à des résultats qui allaient plus tard alimenter le développement de théories plus raffinées en topologie.

L'année 1963 marqua un nouveau tournant dans ma carrière avec mon émigration aux États-Unis, où je continuai mes recherches en topologie et en géométrie, notamment à l'Institut des Études Avancées de Princeton et à Harvard. Cependant, en dépit de ces nombreuses avancées, l'hypothèse de Poincaré resta un défi majeur. Mes recherches, bien que fructueuses, se déroulaient dans une relative solitude sur ce sujet, jusqu'en 1982 où la solution définitive fut finalement trouvée par Grigori Perelman.

Un des aspects les plus fascinants de ce travail fut sa connexion avec la physique. À partir de 1974, mes recherches en topologie m'amenèrent à m'intéresser à la théorie des singularités et, plus tard, à la physique des matières condensées. En collaboration avec des physiciens tels que Louis Michel, Maurice Kleman et Gérard Toulouse, nous explorâmes comment les groupes d'homotopie pouvaient être utilisés pour classifier les défauts dans la matière condensée. Cela mena à la découverte de certains phénomènes physiques, notamment l'obstruction à la traversée des lignes de défauts, un résultat directement lié à la non-commutativité du groupe fondamental de l'espace des paramètres d'ordre.

En 1977, mes intérêts en physique se diversifièrent, me conduisant à une collaboration avec Geoff Chew, un physicien qui avait proposé une "bootstrap" topologique en physique des particules. Cette collaboration, bien que controversée, se révéla extrêmement productive et m'apporta un ensemble de problématiques mathématiques liées à la théorie des cordes et à la symétrie des particules. Ce travail fut une pierre angulaire dans le développement ultérieur de la physique théorique moderne.

En effet, il est primordial pour le lecteur de saisir non seulement la portée des théorèmes présentés, mais aussi leur évolution et les défis auxquels ces chercheurs ont dû faire face, souvent dans des conditions de recherche difficiles. Cette approche collaborative et l'ouverture aux découvertes dans des domaines variés ont permis à de nombreux résultats fondamentaux de voir le jour, tout en renforçant les liens entre la topologie, la physique et d'autres branches des sciences exactes.

Quelle est l'importance des travaux de V. Poénaru pour la topologie et les immersions combinatoires ?

Les contributions de V. Poénaru à la topologie différentiable et à la théorie des immersions combinatoires se révèlent être d'une importance capitale dans l'évolution de la géométrie moderne et de la topologie des variétés. Poénaru a profondément influencé la compréhension des immersions et des homotopies régulières, en particulier dans le contexte des singularités et des déformations des variétés différentiables.

Dans ses travaux, Poénaru explore des concepts tels que les immersions combinatoires, qui offrent un cadre pour étudier les immersions de variétés dans des espaces plus dimensionnels. Ces résultats permettent d'étudier non seulement les propriétés géométriques locales des immersions, mais aussi leurs comportements globaux, en intégrant des techniques algébriques et topologiques pour classer et caractériser les immersions dans des contextes plus complexes.

Un autre domaine majeur abordé par Poénaru dans ses recherches est la notion de homotopie régulière et d’isotopie, qu'il distingue de manière précise dans ses travaux. La régularité de ces homotopies permet de simplifier le traitement de la déformation de structures topologiques sans affecter leur nature fondamentale. Cela a des implications directes pour des conjectures importantes en topologie, comme la conjecture de Poincaré, ainsi que pour la classification des surfaces et des 3-varités dans la géométrie de dimension basse. Poénaru a également approfondi la théorie des groupes fondamentaux et des espaces de couverture universelle dans le contexte des variétés de dimension trois, en particulier en ce qui concerne la conjecture de Poincaré en dimension trois, un problème central de la topologie.

Dans ses travaux ultérieurs, Poénaru s'est également intéressé à l’application de la topologie des défauts et à l’étude des textures dans les milieux ordonnés, une branche de la physique des matériaux qui examine les configurations complexes dans les cristaux et autres structures physiques. Il a proposé des liens entre les structures topologiques des défauts et les comportements des champs de Yang-Mills dans le cadre de la physique théorique, ce qui a jeté les bases d’un champ de recherche interdisciplinaire entre mathématiques et physique.

Poénaru a aussi traité des groupes topologiques presque convexes et des combinaisons Lipschitziennes pour les espaces de couverture universelle des variétés fermées en dimension trois. Ces approches avancées ont contribué à l’élargissement de la compréhension des propriétés des espaces de dimension inférieure, tout en fournissant des outils pour mieux comprendre les relations entre les invariants topologiques et les structures géométriques des variétés.

Quel est l'impact des automorphismes et des géodésiques sur les sommes de carrés dans H/Γ(2) ?

Les automorphismes du groupe $\Gamma(2)$ ont un impact profond sur les propriétés géométriques des objets qui leur sont associés, notamment en ce qui concerne les géodésiques et leur rôle dans les représentations des entiers comme sommes de carrés. Lorsque l'on considère l'action d'un automorphisme induit par une transformation $U$, il faut se rappeler que cet automorphisme échange les paires de triangles idéaux dans la décomposition standard de $H/\Gamma(2)$, tout en fixant leurs bords. Ce phénomène trouve un intérêt particulier lorsque l’on examine l’effet d’un produit d'automorphismes, comme $U \circ V$, où l'on observe que l'ensemble des points fixes de l’automorphisme $U \circ V$ se réduit à une intersection des ensembles de points fixes des automorphismes individuels $U$ et $V$, qui se trouve être un seul point, à savoir l’image de $i$ sur $H/\Gamma(2)$.

L’action de $\Gamma(2)$ sur les arcs reliant les cusps $\infty$ et 0 génère des familles de géodésiques dont les longueurs $\lambda$ sont quantifiées par des entiers. Pour chaque entier $n$, le groupe $G_4$ permute ces géodésiques, et de manière importante, cette permutation préserve les propriétés de longueur $\lambda$, ce qui permet de manipuler des ensembles d'arcs géodésiques spécifiques. Par exemple, pour $n$ premier, la famille des géodésiques qui se relient à $\infty$ et 0 (et donc appartenant à notre ensemble $X$) peut être décrite par une collection de projections de droites spécifiques, et leur structure est fondamentale dans le cadre de la preuve du théorème de Fermat.

Pour ce qui est de la question des entiers composés, l’étude de la multiplication des entiers pouvant être écrits comme des sommes de carrés montre que l’algèbre de ces éléments est presque fermée sous multiplication, mais avec des particularités géométriques importantes. Par exemple, lorsque $p$ et $q$ sont des entiers distincts qui peuvent être écrits comme des sommes de carrés, leur produit, sous certaines conditions, peut aussi être représenté comme une somme de carrés, en utilisant des géodésiques et des arcs sur $H/\Gamma(2)$ dont les longueurs $\lambda$ satisfont des identités géométriques comme celle de Ptolémée.