Comment les groupes de permutations et leurs structures cycliques influencent la théorie des automorphismes

La procédure décrite ci-dessus montre que toutes les lois fondamentales de la théorie des groupes, telles qu'illustrées dans les chapitres 7 et 8 pour les groupes de symétrie spatiale, s'appliquent également aux groupes formés par des permutations. Il existe cependant une notion de « degré » des groupes de permutations qui n’est pas définie dans le contexte des groupes de symétrie spatiale, et qui doit donc être introduite ici :

Structure cyclique des permutations

Prenons, par exemple, la permutation $J$ donnée par l'expression (12). Cette permutation peut être comprise comme le résultat de l’action de quatre permutations opérant sur des sous-ensembles disjoints. La structure cyclique de la permutation $J$ émerge de cette action, où les étiquettes 5, 6, et 7 sont permutées dans un cycle à trois membres, les étiquettes 3 et 4 dans un cycle à deux membres, et enfin les étiquettes 1 et 2 dans des cycles unitaires. Cette structure cyclique de la permutation $J$ peut être exprimée comme suit :

Il est facile de voir qu’une permutation donnée $P$, avec une structure cyclique $cs(P) = [1]^a [2]^b [3]^c \ldots$, aura un degré donné par la somme des exposants :

Parité et automorphismes des graphes

Les groupes d’automorphismes des graphes sont déterminés non seulement par la structure cyclique des permutations mais aussi par la parité de ces permutations. Une règle générale stipule que les permutations appartenant à la même classe ont une structure cyclique identique, et donc une parité identique. En observant les permutations des automorphismes des groupes $ACGJ$, on peut classer ces permutations en pairs (paires paires et impaires). Par exemple, les permutations $E, A, B, L, M, N$ sont toutes paires, tandis que $C, Z, F, H, J$ et $K$ sont impaires.

Cela nous amène à une autre règle :

Règle 1 : Les groupes d’automorphismes sont soit formés exclusivement de permutations paires, soit d’un mélange de permutations paires et impaires, mais dans ce dernier cas, il y a toujours autant de permutations paires qu’impaires.

Isomorphisme des graphes et des groupes d’automorphismes

Si deux graphes $G_a$ et $G_b$ sont isomorphes, leurs groupes d'automorphismes doivent également l’être. Autrement dit, chaque automorphisme particulier de $G_a$ correspond à un automorphisme distinct de $G_b$. Cependant, l'inverse de cette affirmation n'est pas nécessairement vrai, comme l'illustre la figure 9.1, où plusieurs graphes non isomorphes ont des groupes d'automorphismes isomorphes.

Cela se produit parce que tous ces graphes possèdent le même nombre de sommets, partitionnés en le même nombre de classes d’équivalence (ou orbites), dont les cardinalités sont identiques. L’important ici est que les graphes peuvent être non isomorphes tout en partageant une structure d’automorphisme similaire. Ce phénomène met en lumière l'importance des relations interorbitaires entre les sommets, qui peuvent déterminer l'isomorphisme des groupes d'automorphismes, même si les graphes eux-mêmes ne sont pas isomorphes.

Notation des groupes de permutations

Il est intéressant de noter que certains de ces groupes sont des sous-groupes les uns des autres. Par exemple, le groupe diédral $D_n$ n’est un sous-groupe du groupe alterné $A_n$ que dans le cas particulier où $n = 4k + 1$, et le groupe cyclique $C_n$ est un sous-groupe de $A_n$ uniquement si $n$ est impair. Cela nous montre les complexités qui émergent à mesure que l'on considère les relations entre ces différents groupes et leur rôle dans les automorphismes.

Produit direct et produit de wreath

Le produit direct et le produit de wreath sont deux opérations de groupe utilisées pour générer de nouveaux groupes à partir de deux groupes donnés. Ces opérations permettent de créer des groupes d’automorphismes complexes en combinant des groupes de permutations opérant sur des ensembles différents. Les produits directs et de wreath offrent des outils puissants pour étudier les symétries complexes et les relations entre les différentes classes d’objets permutés.

Quel est l'impact des indices topologiques sur la chimie mathématique moderne ?

Les indices topologiques ne peuvent être ignorés. Bien que l’objectif de cette section ne soit pas de passer en revue la multitude d'indices topologiques ou d’élaborer sur leurs applications pratiques, il convient de se concentrer sur quelques-uns d’entre eux pour explorer certaines de leurs propriétés mathématiques. Il est étonnant que, bien que la recherche sur les indices topologiques constitue une part importante des travaux en chimie mathématique contemporaine, relativement peu de résultats généraux (théorèmes) aient été obtenus jusqu’à présent. Ce phénomène, souvent désigné par le terme « maladie de l’isomorphisme », semble répandu parmi les débutants et les amateurs de théorie des graphes.

Les indices basés sur la matrice des distances

Le nombre de Wiener et les quantités associées

La distance entre deux sommets dans un graphe (connecté) ainsi que la matrice des distances ont été définies précédemment. Si $v_1, v_2, \dots, v_n$ sont les sommets d’un graphe $G$ et $d(v_r, v_s)$ désigne la distance entre $v_r$ et $v_s$, alors les éléments de la matrice des distances sont donnés par $d_{rs} = d(v_r, v_s)$. La ligne $r$-ème de la matrice des distances est appelée le vecteur de distance $D_v$ du sommet $v_r$. Ainsi, $D_v = (d_{r1}, d_{r2}, \dots, d_{rn})$.

Le nombre de Wiener peut être interprété comme une mesure de la « compacité » du graphe, étant donné qu’il est basé sur la somme des distances entre les paires de sommets. Ce nombre est particulièrement utile dans la chimie pour décrire des propriétés qui dépendent de la structure spatiale des molécules.

Application aux arbres de distance

L’indice topologique de Hosoya

Un autre indice topologique bien étudié est celui de Hosoya. Contrairement au nombre de Wiener, qui repose principalement sur la somme des distances dans un graphe, l’indice de Hosoya est utilisé pour quantifier la topologie d'un graphe en fonction de ses sous-graphes. Par exemple, pour un arbre, cet indice peut être obtenu en sommant les distances entre toutes les paires de sommets adjacents. Cette somme peut également être calculée en considérant le nombre de chemins passant par chaque arête de l’arbre. L'indice de Hosoya a été démontré comme étant un outil puissant pour l'analyse de la structure moléculaire, en particulier dans les études portant sur les propriétés physico-chimiques des molécules.

Applications du nombre de Wiener

Le nombre de Wiener, mesurant la compacité d’une molécule, peut donc être corrélé avec des propriétés physico-chimiques dépendant du ratio volume/surface des molécules. Un exemple typique d'application est la rétention chromatographique des gaz pour des séries de molécules structurellement liées. D’autres applications moins courantes ont également été rapportées, comme la modélisation de la croissance cristalline, les vacances cristallines et certaines propriétés des configurations conformationnelles.

En somme, bien que le nombre de Wiener et d'autres indices topologiques ne soient pas des outils universels, ils ont fait leurs preuves dans une variété de domaines chimiques et physiques. Les chercheurs continuent d'explorer de nouvelles applications de ces indices dans le cadre de la chimie moléculaire, démontrant ainsi leur pertinence et leur efficacité dans la prédiction de propriétés complexes à partir de simples structures topologiques.