Soit MM une variété complexe compacte. Le faisceau pluricanonique de MM est défini comme KnM=K⊗nMK^n M = K \otimes^n M, pour n≥0n \geq 0. La dimension de Kodaira κ(M)\kappa(M) est alors définie comme suit :

κ(M):=lim sup⁡n→∞log⁡dim⁡H0(KnM)log⁡n.\kappa(M) := \limsup_{n \to \infty} \frac{\log \dim H^0(K^n M)}{\log n}.

Il est important de noter que la dimension de Kodaira peut être égale à −∞-\infty si H0(KnM)=0H^0(K^n M) = 0 pour presque tous les n>0n > 0, ou à 0 si dim⁡H0(KnM)\dim H^0(K^n M) est bornée, mais non nulle pour une infinité de nn. Si la fonction n→dim⁡H0(KnM)n \to \dim H^0(K^n M) croît comme un polynôme de degré dd, la dimension de Kodaira de MM est égale à dd.

Prenons maintenant le cas particulier d'une variété de Vaisman, MM, et un groupe GG qui est la fermeture du groupe généré par l'action de Lee et de l'action anti-Lee. Soit M~\tilde{M} un recouvrement Kählerien de MM, et G~\tilde{G} le relèvement de GG sur M~\tilde{M}. On désigne par GG la fermeture de Zariski de G~\tilde{G} dans Aut(M~)\text{Aut}(\tilde{M}), considérée comme une variété algébrique. Comme G~\tilde{G} agit sur M~\tilde{M} par homothéties et contient des contractions, il existe un ensemble ouvert U⊂GU \subset G dans la composante connexe de GG tel que pour tout γ′∈U\gamma' \in U, le quotient M′:=M~/⟨γ′⟩M' := \tilde{M} / \langle \gamma' \rangle soit une variété LCKLCK (localement conforme Kähler). Cela signifie que l'action de γ′\gamma' commute avec l'action du groupe généré par Lee et anti-Lee, et donc M′M' est aussi une variété de Vaisman.

Le groupe GG peut être isomorphe à (C∗)k(\mathbb{C}^*)^k. Il n'est pas difficile de voir que l'union de tous les sous-groupes fermés de dimension un est dense dans tout groupe algébrique. Cela implique que UU contient un sous-ensemble dense de γ′\gamma' qui sont contenus dans un sous-groupe C∗⊂GC^* \subset G. De plus, C∗/⟨γ′⟩C^* / \langle \gamma' \rangle est une courbe elliptique, ce qui fait que la variété de Vaisman M′=M~/⟨γ′⟩M' = \tilde{M} / \langle \gamma' \rangle est fibrée elliptiquement. Comme le montre une étude précédente, l'espace des feuilles XX est un orbifold projectif.

Le théorème suivant permet de lier la dimension de Kodaira de MM, M′M', et XX. En effet, soit MM une variété de Vaisman, M′M' sa déformation quasi-régulière obtenue, et XX l'espace des feuilles correspondant. Le théorème montre que la dimension de Kodaira est la même pour MM, M′M', et XX :

κ(M)=κ(M′)=κ(X).\kappa(M) = \kappa(M') = \kappa(X).

La preuve repose sur plusieurs étapes. Dans un premier temps, l'égalité κ(M′)=κ(X)\kappa(M') = \kappa(X) découle de la formule d'adjonction, car la projection π:M′→X\pi : M' \to X est une fibration elliptique, ce qui implique H0(KkM′)=H0(KkX)H^0(K^k M') = H^0(K^k X) pour tout kk. Ensuite, par une propriété particulière des sections du faisceau pluricanonique KkMK^k M sur MM, on peut définir une application injective entre les espaces de sections H0(KkM)H^0(K^k M) et H0(KkM′)H^0(K^k M'). Enfin, la surjectivité de cette application découle de la propriété d'invariance sous l'action de GG de toute section h′∈H0(KkM′)h' \in H^0(K^k M'), ce qui permet d'établir que H0(KkM)=H0(KkM′)=H0(KkX)H^0(K^k M) = H^0(K^k M') = H^0(K^k X).

En conséquence, la dimension de Kodaira de ces variétés est égale, ce qui prouve la stabilité déformationnelle de la dimension de Kodaira dans le cas des variétés de Vaisman.

Cette stabilité déformationnelle de la dimension de Kodaira pour les variétés de Vaisman est un résultat fondamental qui permet d'affirmer que pour une famille lisse de variétés de Vaisman MtM_t paramétrée par t∈Rt \in \mathbb{R}, la dimension de Kodaira reste constante. Cette conjecture, suggérée par les travaux précédents, repose sur le fait que chaque MtM_t peut être obtenu par un cône algébrique ouvert sur MtM_t, et que la structure algébrique ainsi formée reste stable sous déformation. Il est à noter que la dimension de Kodaira des variétés MtM_t est égale à celle de l'espace orbifold projectif XtX_t, ce qui renforce l'idée de stabilité dans cette classe de variétés.

Il est essentiel de souligner que cette étude repose sur des concepts géométriques et algébriques avancés, notamment l'action de groupes sur des variétés, les propriétés des faisceaux pluricanoniques, et les relations entre différentes classes de variétés, notamment les variétés LCKLCK et les orbifolds. Ces résultats ouvrent la voie à des investigations plus approfondies sur les familles de variétés de Vaisman et leur comportement sous différentes déformations, en particulier sur la façon dont ces déformations influencent les structures de fibration et les propriétés topologiques des espaces associés.

Comment comprendre les diagrammes commutatifs et les limites directes dans les systèmes linéaires ?

Les systèmes linéaires en mathématiques, et plus particulièrement dans les contextes qui touchent à la topologie et à l'algèbre, impliquent souvent des constructions complexes d'objets tels que des diagrammes commutatifs et des limites directes. Ces concepts sont utilisés pour formaliser des relations entre différentes structures et comprendre les connexions au sein d’un espace ou d’une fonction, surtout dans les systèmes infiniment divisés ou continus. La nécessité d’une description rigoureuse de ces structures est impérative lorsqu’il s'agit de comprendre des aspects complexes des cartes continues et de leurs applications, par exemple dans la théorie des "barcodes" utilisés pour analyser des topologies persistantes.

Prenons l'exemple des limites directes et inverse. Lorsque l’on travaille avec une famille d’espaces topologiques ou de modules, on peut utiliser les limites directes pour capturer l’ensemble des comportements asymptotiques de ces structures. Dans le cadre de systèmes linéaires, cela se traduit par des diagrammes qui permettent de relier ces espaces entre eux de manière précise. Les diagrammes commutatifs sont utilisés pour indiquer que plusieurs chemins qui mènent d’un même point à un autre conduisent à la même conclusion, c'est-à-dire qu’ils commutent. Autrement dit, si l’on prend plusieurs chemins dans un diagramme, le résultat final reste identique, quelle que soit la voie choisie, ce qui est un élément fondamental pour assurer la cohérence du modèle mathématique.

L’importance des diagrammes commutatifs devient évidente lorsqu'on les applique à des limites directes et inverses dans des espaces topologiques. Un diagramme de ce type comprend des flèches horizontales qui sont des surjections, et des flèches verticales qui sont des injections. Cela garantit que l’on peut passer d’un espace à un autre sans perte d’informations essentielles. Les isomorphismes canoniques qui émergent de ces diagrammes illustrent la compatibilité des différentes parties d'un système, en particulier dans des espaces topologiques complexes. Par exemple, les relations entre les limites directes et les systèmes de coordonnées continuent de se maintenir même lorsqu'elles sont analysées à travers plusieurs sous-espaces ou intervalles, ce qui est mis en évidence par des équations comme celles qui apparaissent dans les propositions 14.5.3 et 14.5.4.

De manière plus concrète, considérons un espace défini sur des intervalles, comme le montre la relation Tr(a×(x,y])\text{Tr} (a \times (x, y]), qui est une fonction ou un opérateur qui agit sur des intervalles spécifiques. Cette relation, lorsqu'elle est liée à un certain espace aa et une fonction Tr\text{Tr}, doit être comprise à travers l’interaction des éléments de ces intervalles, définissant ainsi une carte topologique. Les résultats de cette interaction entre les éléments aa et x,yx, y peuvent être utilisés pour analyser des structures qui apparaissent dans des calculs plus généraux en topologie algébrique ou en analyse.

Enfin, les résultats obtenus, comme ceux définis par les propositions et théorèmes cités (comme la Proposition 14.5.3 et le Théorème 14.4.5), montrent des liens profonds entre les fonctions tamisées, les limites inférieures et supérieures, et les conditions de bornes pour des systèmes continus. Il devient donc crucial de savoir manipuler ces relations pour pouvoir déduire des conclusions sur le comportement asymptotique des systèmes. En particulier, comprendre que les fonctions tamisées ou bornées d'une certaine manière influencent profondément les résultats de ces théorèmes aide à intégrer les différents éléments dans une vue d'ensemble cohérente du système linéaire.

Dans ce cadre, l'application de diagrammes et de limites dans les systèmes continus et linéaires permet de mieux visualiser et comprendre comment ces structures interagissent, ce qui est une compétence clé dans la théorie des catégories et des systèmes complexes.

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