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Le problème de l'immersion et de la structure des variétés ouvertes orientées a été étudié sous divers angles, notamment dans le contexte des structures analytiques complexes. Dans ce cadre, l'un des résultats les plus remarquables de la géométrie des variétés de dimension quatre est la possibilité d'attribuer à toute variété ouverte et connectée de dimension quatre des coordonnées holomorphes projetives locales, compatibles avec une foliation holomorphe. Cette caractérisation géométrique repose sur une série de théorèmes qui trouvent leur origine dans les travaux des années 1960 et 1970, notamment ceux de Valentin Poénaru.
L'énoncé central de ce résultat repose sur une connexion étroite entre les variétés ouvertes de dimension quatre et le plan projectif complexe privé d'un point. Plus précisément, toute variété ouverte et orientée de dimension quatre peut être localement modélisée par un isomorphisme holomorphe avec un espace dont la structure est donnée par des lignes complexes passant par un point spécifique du plan projectif complexe. Ce type de construction se base sur la théorie des immersions et sur la classification des structures complexes sur les variétés, développée à partir des années 1960 par des géomètres tels que Hirsch et Smale, puis étendue par Poénaru dans ses travaux sur les immersions en codimension positive.
Dans cette théorie, un aspect crucial est la capacité de décrire des structures complexes sur des variétés ouvertes non compactes. Dès les années 1960, Poénaru avait démontré que les immersions en codimension positive, et en particulier celles qui concernent des variétés ouvertes, peuvent être analysées en utilisant des constructions de foliation et des isomorphismes locaux. Le cas particulier des variétés de dimension quatre, qui sont connues pour leur capacité à porter des structures complexes dans certaines conditions, représente un pivot important dans l'étude des variétés ouvertes.
Une étape importante dans la démonstration de ce résultat fut l'introduction de la théorie de la transversalité développée par Misha Gromov et Tony Phillips dans les années 1960. Cette théorie permet de définir des cartes locales qui, tout en étant compatibles avec la structure complexe, respectent également des contraintes géométriques et topologiques liées à la transversalité des sous-variétés foliaires. Cette approche a été affinée dans les années suivantes, notamment par l’utilisation de la théorie de Haefliger et de l’obstruction à l’existence de coordonnées complexes sur des variétés ouvertes, ce qui a permis de démontrer que, en dimension quatre, une telle structure est toujours obtenue sous certaines hypothèses géométriques.
À partir des années 1990, des avancées supplémentaires ont permis d’étendre ces résultats aux variétés orientées de dimension quatre en utilisant des structures de type spinc., ce qui permet de relier des aspects topologiques à des considérations analytiques. L’application de la théorie de Seiberg-Witten aux variétés fermées a révélé des liens profonds entre la géométrie complexe et la topologie des variétés ouvertes orientées, aboutissant à une vision plus complète de la classification des structures complexes dans ce contexte.
Ce résultat théorique a des implications importantes pour la géométrie et la topologie des variétés ouvertes, notamment dans la compréhension de la manière dont les structures complexes peuvent être déformées localement tout en préservant les propriétés globales de la variété. Il ouvre également des pistes pour l'étude des variétés ouvertes de dimensions supérieures, bien que des défis demeurent dans le cas des dimensions plus élevées, où les structures complexes sont moins bien comprises.
Il est essentiel de souligner que cette question des coordonnées holomorphes sur les variétés ouvertes orientées n'est pas simplement un problème géométrique, mais touche également des aspects de la théorie des catégories et de la classification des types de variétés. Ces résultats trouvent des applications dans l'étude des groupes fondamentaux et des quotients finis des variétés hyperboliques, ainsi que dans la classification des 3-variétés et de leurs invariants.
Les géomètres qui poursuivent cette voie s’appuient non seulement sur des théorèmes de classification, mais aussi sur des outils topologiques puissants, comme ceux utilisés par Penner dans sa théorie des Teichmüller. Ce programme permet d’explorer plus avant la structure des variétés ouvertes, en particulier celles qui possèdent une structure complexe, et de lier les résultats obtenus à des domaines comme la dynamique des systèmes et les invariants topologiques des nœuds.
La classification des sphères perforées nouées et leurs applications topologiques
La théorie des sphères perforées et des nœuds dans le contexte de l'homotopie de liens et de la topologie algébrique a été un domaine riche de recherches, avec des résultats importants sur la classification des unions de sphères perforées nouées. En particulier, la question de savoir si deux unions de sphères perforées avec le même type sont homotopiques entre elles à travers des homotopies de liens faibles est d'un grand intérêt dans ce domaine.
Prenons comme base la définition d'un union de sphères perforées comme une union de sphères dont les bords sont envoyés vers un lien fixe dans ∂B⁴ = S³. Cette construction de sphères perforées permet d'explorer les relations entre différents types de liens et de nœuds dans les dimensions supérieures. Selon le théorème 18.4.4, la classification des unions de sphères perforées est rendue possible à travers des homotopies de liens qui maintiennent l'image du bord fixe pendant tout le processus de déformation. Cependant, cette condition peut être assouplie, permettant de définir des homotopies de liens faibles, qui sont des homotopies par immersions adéquates, mais ne préservent pas nécessairement l'image du bord.
En conséquence, il a été démontré dans le corollaire 18.4.7 que toute paire d'unions de sphères perforées nouées de même type est faiblement homotopique. La preuve repose sur la notion de sphères perforées non nouées, qui peuvent être caractérisées comme des unions de sphères admettant un remplissage de ruban sans disque de ruban. Cette caractérisation, dérivée des arguments dans la démonstration du lemme 18.2.11, permet d'établir que l'union des sphères perforées non nouées est unique. En conséquence, une union de sphères perforées nouées quelconque peut être transformée par une isotopie ambiante, non nécessairement fixant le bord ∂B⁴, en une union de sphères perforées non nouées. Cette transformation ne modifie pas les invariants de Milnor de l'union, permettant ainsi d'établir une homotopie faible entre les unions de sphères nouées et non nouées.
Le processus de démonstration repose également sur des outils plus sophistiqués, tels que les longitudes d'arc de S, que l'on peut interpréter comme des mots dans le groupe libre réduit sur les générateurs associés aux sphères perforées. Un autre aspect essentiel de la démonstration est l'utilisation du Tube map, qui permet de passer d'une configuration de liens à une autre, en maintenant les invariants de Milnor, et en garantissant que la nouvelle configuration de sphères perforées est non nouée.
Il est également important de comprendre que la transformation des sphères perforées nouées en non nouées via une isotopie ambiante n'est pas triviale. Bien que cela soit possible par une série de déformations géométriques, il existe des subtleties techniques qui doivent être prises en compte, notamment lors de l'application des mouvements de Reidemeister et de leurs généralisations dans le cadre des diagrammes de Gauss.
En plus des mouvements de Reidemeister classiques, l'usage des mouvements soudés joue un rôle clé dans la simplification de la structure des sphères perforées et de leurs liens. Les diagrammes de Gauss, représentant les différentes configurations de liens, peuvent être modifiés localement tout en préservant l'homotopie faible. Les résultats des lemmes sur les diagrammes de Gauss sont essentiels pour comprendre les relations topologiques entre les différentes unions de sphères perforées, et pour garantir que les déformations qui peuvent être effectuées sur les liens ne modifient pas leur homotopie.
Ainsi, la question de savoir si deux unions de sphères perforées nouées peuvent être liées de manière faible avec des sphères non nouées n'est pas seulement une question de manipulation géométrique des objets, mais aussi une question d'invariants topologiques qui préservent l'essence de ces objets malgré des transformations complexes.
Il est crucial pour le lecteur de comprendre que, même si la théorie des sphères perforées et des liens semble théoriquement bien définie à travers les invariants de Milnor et les mouvements géométriques, la mise en pratique de ces concepts peut être délicate. Les techniques employées sont souvent très abstraites et nécessitent une solide compréhension de la topologie algébrique, des groupes de Wirtinger, ainsi que des diagrammes de Gauss. L'application des mouvements soudés, par exemple, n'est pas simplement une question de manipulation de symboles dans un diagramme, mais de comprendre comment ces manipulations reflètent les propriétés profondes des espaces topologiques concernés.
Les implications de ces résultats vont bien au-delà de la simple classification des sphères perforées. Elles offrent un aperçu des liens entre la géométrie, la topologie et l'algèbre, et ouvrent la voie à de nouvelles recherches dans la compréhension des nœuds et des liens dans des espaces de dimensions supérieures.