Comment la solution de Ruban est-elle liée à l'évolution de l'univers sphériquement symétrique et à la métrique de Schwarzschild ?

L’espace est inhomogène selon la direction radiale, et le champ électrique possède sa seule composante dans cette même direction. Le rayon du cylindre évolue selon l’équation (19.99). Le sous-cas Q = 0, ε = +1 de cette solution, c’est-à-dire le cas où il n’y a pas de champ électrique et où la symétrie est sphérique, a été trouvé par Ruban dans un article antérieur (Ruban, 1968) et analysé d'une manière éclairante dans un autre papier (Ruban, 1969). Cette discussion sera abordée plus bas. Le sous-cas supplémentaire Λ = 0 est apparu dans un article de Datt publié dès 1938 (Datt, 1938), mais l’auteur l’a arbitrairement rejeté comme étant d’une « faible signification physique ». Dans ce sous-cas, les formules explicites pour R et eA/2 peuvent être données. La solution pour R(t) est la même que pour le modèle de Friedmann avec k = +1, tandis que l’expression de √eA/2 devient :

En examinant les équations (19.102) et (19.104), il devient évident que la solution de Ruban devient homogène spatialement (ϵ,r = 0) lorsque X/Y = C = constant. Ensuite, par la transformation $r' = Y(r) \, dr$, le facteur $eA/2$ devient indépendant de r, ce qui montre qu'un champ de Killing supplémentaire existe. Il s'agit ici de la métrique avec la symétrie de Kantowski–Sachs introduite dans la section 10.7. Lorsque, de plus, C = 0, la solution devient vide et correspond à la partie du vide de Schwarzschild qui n'est pas couverte par les coordonnées de courbure, c’est-à-dire à l’intérieur de l’horizon des événements, comme mentionné dans la section 14.4.

Il est maintenant temps d’interpréter la solution sphériquement symétrique de Ruban, où ε = +1. Il est important de noter que la densité de matière dans cette solution, donnée par (19.104), dépend de r et est toujours positive si X > 0. Ainsi, la quantité de masse au repos contenue dans une sphère $r = r_0 = \text{constant}$ dépend de la valeur de $r_0$, et est une fonction croissante de r. Néanmoins, comme le montre l’équation (19.99), la masse gravitationnelle active M qui régit l’évolution reste constante. Il semble donc que toute matière ajoutée au système perde sa capacité à graviter, et que la masse gravitationnelle active soit simplement un paramètre de l’espace sur lequel la matière qui tombe n’a aucune influence.

En comparant l’équation (19.99) avec la loi de l’évolution L-T dans le modèle L-T, (18.14) – le modèle Datt-Ruban (D-R) a $E = -1/2$ et $R,r = 0$ de manière permanente. Il se comporte donc comme un cou de la bouteille dans le modèle L-T (voir section 18.10). Enfin, comparons (19.99) avec la solution de Schwarzschild dans les coordonnées de Lemaître-Novikov, (14.120) – (14.121). Il est évident que les deux solutions peuvent être appariées à travers $r = r_b$ si $E(r_b) = -1/2$ et $m = M$, comme le montre l’exercice 7 et la figure 19.1. Dans le cas particulier où $Q = \Lambda = 0$, le modèle D-R explose à partir d’une singularité en $R = 0$ à $t = t_B$, se dilate jusqu'à $R = 2M$ atteint à $t = t_B + \pi M$, puis se contracte à nouveau jusqu’à $R = 0$ à $t = t_B + 2\pi M$ (voir exercice 8). Ainsi, l’hypersurface à travers laquelle le modèle D-R est apparié à la solution de Schwarzschild se trouve à l’intérieur de l’horizon des événements de Schwarzschild, sauf au moment de l’expansion maximale, où la sphère D-R touche l’horizon de Schwarzschild depuis l’intérieur (Ruban, 1983), voir à nouveau la figure 19.1.

Le modèle D-R et ses généralisations n’ont pas d’analogues dans la théorie de Newton et ne se manifestent pas dans les approximations linéaires de la théorie d’Einstein. Krasiński et Giono (2012) ont tenté d’utiliser la solution chargée de Ruban comme source pour la solution R-N maximisée, mais n’ont pas réussi. L’appariement des deux métriques fonctionne uniquement pour un temps limité et les traversées de coquilles empêchent la sphère de Ruban de passer à travers le tunnel entre les régions asymptotiquement plates de R-N.

Quelle est l'importance de la signature métrique dans l'étude des espaces de Riemann ?

Les espaces de Riemann sont des objets géométriques fondamentaux en physique et en mathématiques, où la signature du tenseur métrique joue un rôle central dans leur structure. Ce tenseur métrique, qui définit la distance entre les points dans un espace courbe, peut être vu à travers ses représentations sous forme de formes quadratiques. La transformation des coordonnées dans un espace de Riemann affecte cette forme, mais la signature du tenseur métrique demeure invariée. Il est essentiel de comprendre ce concept pour saisir les implications géométriques et physiques qu'il engendre.

La signature du tenseur métrique est une caractéristique indépendante de la base choisie et des coordonnées. Elle est représentée par un triplet de nombres $(n_1, n_2, n_3)$, où $n_1$, $n_2$, et $n_3$ correspondent respectivement aux nombres d'éléments positifs, négatifs et nuls sur la diagonale du tenseur, et $n_1 + n_2 + n_3 = n$, où $n$ est la dimension de l'espace. Cette signature détermine si la métrique est dégénérée (lorsque $n_3 > 0$, le déterminant du tenseur est nul), ou si elle est définie positivement (lorsque $n_2 = n_3 = 0$).

Lorsque la métrique est dégénérée, le déterminant du tenseur métrique est nul, ce qui empêche l'inversion du tenseur. Cela signifie qu'il n'existe pas de relation réciproque entre les vecteurs contravariants et covariants, ce qui peut conduire à des situations où les géodésiques (les trajectoires les plus courtes dans un espace courbe) ne sont plus définies de manière traditionnelle. Dans le cas d'une métrique non dégénérée, il est possible d'inverser le tenseur métrique, permettant ainsi de lier les vecteurs contravariants et covariants à travers des relations simples, comme abaisser ou élever des indices.

Cependant, cette structure mathématique ne se limite pas à une simple manipulation algébrique des composantes du tenseur. Elle a une signification physique profonde. Par exemple, la métrique non dégénérée est liée à la possibilité de mesurer des distances physiques dans un espace-temps. En revanche, les métriques dégénérées peuvent survenir dans des situations extrêmes, comme près de la singularité d'un trou noir, où la géométrie de l'espace-temps devient singularité, rendant toute mesure de distance localement impossible.

Les transformations de coordonnées, qui préservent la signature du tenseur métrique, sont essentielles pour comprendre comment différents observateurs dans un espace courbe peuvent interpréter les distances et les événements. Toutefois, il est important de noter qu'une transformation de coordonnées peut parfois modifier la signature du tenseur d'un point à un autre dans l'espace, créant des transitions intéressantes, par exemple, au voisinage de horizons de trous noirs, où les rôles des coordonnées spatiales et temporelles peuvent s'inverser.

En résumé, la signature du tenseur métrique d'un espace de Riemann est une propriété fondamentale qui définit non seulement les relations géométriques entre les points de l'espace mais aussi les possibilités physiques qui peuvent exister dans cet espace. Une compréhension approfondie de cette signature et de ses implications permet de mieux appréhender les phénomènes physiques qui dépendent de la géométrie de l'espace-temps, comme la relativité générale.