Comment la somme inférieure et supérieure aident à comprendre l'intégrabilité d'une fonction

Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction bornée. La définition de l'intégrabilité d'une fonction repose sur l'étude de ce que l'on appelle les sommes inférieures et supérieures par rapport à une partition donnée de l'intervalle $[a, b]$. Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la notion d'intégrale, et en particulier pour établir le critère de Cauchy de l'intégrabilité.

Sommes inférieure et supérieure

La somme inférieure $L(f, \Pi)$ et la somme supérieure $U(f, \Pi)$ sont définies comme suit :

• La somme inférieure est obtenue en prenant, pour chaque sous-intervalle $I_i$, l'infimum de la fonction $f$ sur $I_i$, noté $m_i$, et en multipliant par la longueur de ce sous-intervalle $\Delta t_i$. Ainsi, la somme inférieure est :

  $$L(f, \Pi) = \sum_{i=0}^{n-1} m_i \Delta t_i.$$

• La somme supérieure, quant à elle, est obtenue en prenant le supremum de $f$ sur $I_i$, noté $M_i$, et en multipliant également par $\Delta t_i$. La somme supérieure est donc :

  $$U(f, \Pi) = \sum_{i=0}^{n-1} M_i \Delta t_i.$$

Raffinement d'une partition

L'un des concepts clés pour comprendre ces sommes est celui de raffinement d'une partition. Si $\Pi'$ est un raffinement de $\Pi$, cela signifie que $\Pi'$ est obtenue en ajoutant des points supplémentaires à $\Pi$, de sorte que chaque sous-intervalle de $\Pi$ soit maintenant subdivisé en sous-intervalle(s) plus petits dans $\Pi'$. Un tel raffinement permet de mieux approcher la fonction $f$ sur l'intervalle.

Cela reflète l'idée que, en ajoutant des points à la partition, on améliore l'approximation de l'aire sous la courbe, mais on ne peut pas réduire la somme inférieure en-dessous de ce qu'elle était initialement ni augmenter la somme supérieure au-delà de sa valeur initiale.

L'intégrabilité d'une fonction

Le rôle des exemples dans la compréhension

Les exemples classiques, comme les fonctions constantes, les fonctions indicatrices et les monomes, illustrent l'application de cette théorie. Par exemple, si $f(t) = c$ est une fonction constante, les sommes inférieure et supérieure sont égales, et l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est simplement $c(b - a)$, la surface sous une droite horizontale.

Ce qu'il faut retenir

Il est essentiel de comprendre que la notion d'intégrabilité d'une fonction repose sur la capacité de raffiner les partitions de l'intervalle pour obtenir des approximations de plus en plus précises de l'aire sous la courbe de la fonction. En raffermissant la partition, les sommes inférieure et supérieure se rapprochent l'une de l'autre, et si cette différence peut être rendue aussi petite que souhaitée, la fonction est dite intégrable.

Les partitions et les raffinements sont des outils puissants pour étudier l'intégrabilité, mais elles nécessitent une certaine finesse dans leur utilisation, surtout lorsque la fonction présente des comportements complexes, comme des discontinuités ou des singularités. Dans de tels cas, la compréhension de l'effet des raffinements devient encore plus cruciale pour évaluer si la fonction est effectivement intégrable.

Comment comprendre les isométries et les contractions dans les espaces métriques

Une propriété importante des isométries est que la composition de deux isométries reste une isométrie. De plus, chaque isométrie est réversible : il existe une fonction inverse qui est également une isométrie. Cette caractéristique des isométries est ce qui fait que les espaces isométriques sont, au fond, "identiques" sur le plan métrique : ils ont exactement les mêmes propriétés concernant les distances et les relations géométriques entre les points.

En outre, il est essentiel de noter que les isométries sont des fonctions uniformément continues. Cela découle directement de leur nature de préservation des distances et est une conséquence du fait qu'elles sont aussi des homeomorphismes en vertu de la proposition 16.5.15. Cela signifie qu'une isométrie entre deux espaces métriques garantit que la topologie des espaces est aussi conservée, ce qui assure qu'ils sont non seulement identiques en termes de distances mais aussi en termes de leurs structures de connexion.

Le groupe des isométries d'un espace $(X, d)$, vu sous l'opération de composition de fonctions, est un groupe mathématique. Cela signifie que les isométries peuvent être combinées de manière à obtenir d'autres isométries, tout en conservant la structure de groupe sous la composition. Ce groupe est appelé le groupe des isométries de l'espace $X$.

Un autre résultat remarquable dans ce domaine est le théorème des mouvements rigides, qui stipule qu'une transformation $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ est une isométrie si et seulement si elle peut être exprimée sous la forme $f(x) = A x + b$, où $A$ est une matrice orthogonale de dimension $n \times n$ et $b$ est un vecteur de $\mathbb{R}^n$. Cela signifie que toute isométrie dans $\mathbb{R}^n$ peut être décrite comme une combinaison d'une rotation (représentée par $A$) et d'une translation (représentée par $b$).

Le théorème des contractions repose sur l'idée qu'une suite obtenue par itération d'une contraction converge vers un point fixe. Ce résultat est démontré en utilisant la propriété des suites condensantes, qui montre que les distances entre les itérations successives de la transformation deviennent de plus en plus petites, garantissant la convergence vers un point. Ce point fixe est unique, car si deux points $x$ et $x'$ étaient fixes, la distance entre eux devrait être nulle, ce qui implique $x = x'$.

Enfin, la notion de compacité dans les espaces métriques joue également un rôle crucial dans la compréhension des isométries et des contractions. En effet, la compacité garantit des propriétés importantes, telles que l'existence de points fixes pour les contractions, et elle est liée à la continuité uniforme et à la convergence des suites dans les espaces métriques.