Quelle est la relation entre les nombres premiers, les nœuds et les entrelacs dans la théorie des groupes et la réciprocité quadratique?

La théorie des groupes et des nombres premiers est profondément entremêlée dans plusieurs branches des mathématiques, allant de l’arithmétique à la topologie. L’étude des groupes de Galois et des groupes fondamentaux étales, notamment dans le contexte des nœuds et des entrelacs, révèle des liens fascinants entre des objets apparemment distincts. Ce lien se matérialise par des notions comme les classes de conjugaison et la réciprocité quadratique, qui ont des implications profondes tant en théorie des nombres qu'en topologie.

Les quotients abéliens $\hat{K}$ et $\hat{L}$, qui sont canoniquement isomorphes à $\mathbb{Z}$, permettent de comparer les images des classes de conjugaison de Frobenius. Ces images sont interprétées respectivement comme le nombre de liaison de $K$ dans $L$ et celui de $L$ dans $K$, qui sont égaux à opposé signe. Ce résultat est souvent démontré en identifiant ces nombres de liaison avec le produit cup des classes fondamentales dans les groupes de cohomologie $H^1(X_K)$ et $H^1(X_L)$, et plus précisément dans la cohomologie $H^2(X_{K,L}) = \mathbb{Z}$.

La réponse à cette question se trouve dans le théorème classique de la réciprocité quadratique, qui stipule que $p$ est un carré modulo $q$ si et seulement si $q$ est un carré modulo $p$, sauf dans le cas particulier où $p$ et $q$ sont congrus à $-1 \mod 4$, où la réciprocité se retourne : $p$ est un carré modulo $q$ si et seulement si $q$ n’est pas un carré modulo $p$. Cette connexion entre les propriétés arithmétiques des nombres premiers et les structures topologiques sous-jacentes, comme les nombres de liaison, met en évidence l’unité profonde qui existe entre les diverses branches des mathématiques.

Ainsi, la notion de "Borromean Primes" relie les propriétés arithmétiques des nombres premiers, notamment leur comportement vis-à-vis de la réciprocité quadratique, à des phénomènes topologiques profonds comme les nœuds et les entrelacs. Ces objets, à la fois arithmétiques et topologiques, ouvrent de nouvelles perspectives sur la manière dont les mathématiques peuvent interagir et se rejoindre autour de concepts fondamentaux comme la cohomologie, les groupes de Galois et les théories des liens.

Finalement, dans cette interconnexion entre topologie, arithmétique et géométrie, la notion de "Chebotarev Arrangements" apparaît comme une vision fascinante de l’entrelacement statistique des nœuds dans un espace tridimensionnel. Ce concept repose sur des structures de groupes fondamentaux et de couvertures galoisiennes, et suggère une analogie directe avec le théorème de densité de Chebotarev en théorie des nombres, où les classes de conjugaison de Frobenius sont distribuées de manière uniforme dans les groupes fondamentaux. Bien que ce modèle ne soit qu’une visualisation conceptuelle, il éclaire de manière frappante la densité et la complexité des relations entre les nœuds et les nombres premiers dans l’espace mathématique.

L’espace dans les mathématiques et la physique : Une perspective sur la continuité et la discontinuité

L'un des points importants du débat contemporain, qu’il s’agisse de la physique quantique (QM) ou de la théorie quantique des champs (QFT), réside dans la relation entre les espaces mathématiques et l’espace physique. Schrödinger, en particulier, a cherché à relier les processus quantiques à des représentations d’espace et de temps. Cependant, son interprétation, qui envisageait la fonction d'onde comme représentant les processus quantiques dans un espace à trois dimensions, s'opposait à celle d’Heisenberg, qui définissait la structure de la QM d’une manière plus abstraite. La vision de Grothendieck peut être perçue comme une réponse à ce débat, particulièrement lorsqu'il stipule que “le continu... sert... d’approximation pour appréhender le discontinu.” Cette idée trouve une résonance particulière dans le cadre de la QFT, où la continuité de l'espace-temps mène à des problèmes non résolus qui sont plus prononcés que dans la QM.

Riemann, dans ses réflexions sur la structure de l’espace, proposait déjà que l’architecture sous-jacente de l’espace pourrait être discrète ou continue, et que cette détermination aurait un impact sur la manière dont les relations métriques de l’espace sont formulées. Dans un espace discret, les relations métriques seraient implicites dans la définition même de l’espace, alors que dans un espace continu, elles devraient provenir d’une réalité extérieure, probablement physique. Grothendieck semble étendre cette idée, en suggérant que les représentations continues de structures discrètes pourraient simplifier, voire trop simplifier, une réalité plus complexe, dont la véritable nature échappe à notre compréhension actuelle.

Dans cette perspective, l’idée que la réalité sous-jacente pourrait être à la fois continue et discontinue, ou bien échappant à ces concepts, est loin d’être une spéculation sans fondement. Elle nous invite à repenser les fondements de la physique théorique, notamment en ce qui concerne la structure de l’espace et du temps. Alors que des théories comme la QFT offrent un cadre pour comprendre les forces fondamentales de la nature, elles nous poussent également à envisager que l’espace et le temps, bien qu’étudiés sous des formes continues, pourraient, au fond, être régis par des principes discrètes, bien plus complexes que ce que les équations classiques ne peuvent exprimer.

Les relations théaétètes des grandeurs et les propriétés de la proportion

Les développements mathématiques anciens, notamment ceux de Théétète, ont jeté les bases de ce que nous comprenons aujourd'hui comme des relations de proportion entre grandeurs. En particulier, la théorie des rapports de magnitudes, proposée par Théétète, s'appuie sur une vision très spécifique des rapports entre des lignes, et cette approche continue de revêtir une importance particulière dans le cadre de la reconstruction des notions mathématiques des siècles passés. La théorie, tout en étant fondée sur des idées anciennes, permet de formuler des relations dont la pertinence traverse les âges et de trouver des analogies intéressantes avec la théorie des nombres.

Les relations entre les grandeurs a et b, et c et d, peuvent être comparées en utilisant un concept clé : l’anthiphairesis, qui est une forme de division itérative des grandeurs par le biais de rapports successifs. Cette notion s’étend bien au-delà des simples divisions, puisque l’on peut y appliquer une structure périodique ou finie. La condition de proportion, définie comme a/b = c/d, repose alors sur l’égalité des produits croisés, ce qui donne la relation classique ad = bc. Ce principe permet de lier différentes grandeurs entre elles, selon une logique comparable à celle des fractions continues ou des suites numériques.

La propriété de l’alternance, qui se manifeste par l’échange des moyens dans un rapport, est également au cœur de cette théorie. Elle signifie que si nous avons deux rapports a/b et c/d, et que ces rapports sont égaux, il est possible d’interchanger les termes moyens, c’est-à-dire de passer à la relation a/c = b/d. Cette propriété a été au centre des discussions des anciens mathématiciens et a posé de nombreuses difficultés, notamment dans la démonstration de la règle générale qui permet de la prouver pour des grandeurs abstraites, qu’il s’agisse de nombres, de segments de ligne, de volumes ou de temps.

Les résultats mathématiques que nous avons évoqués sont d’une grande importance pour comprendre la façon dont les anciens abordaient les proportions. À partir de la définition de ces rapports, les propriétés transversales et les analogies peuvent être étendues à d'autres domaines, qu'il s'agisse des nombres, des solides ou des temporalités. Cela reflète une conception plus générale des rapports qui, bien qu’elle soit liée aux grandeurs géométriques, s’applique à tout type de proportionnalité.

De plus, il est essentiel de comprendre que, dans le cadre de la reconstruction des théories de Théétète, les preuves de ces propositions fondamentales sont fournies sans recourir à la condition d'Eudoxe, ce qui permet d'éviter des anachronismes. L'absence de cette condition démontre la solidité et la cohérence de la reconstruction proposée, offrant ainsi une approche plus directe et plus simple des rapports de grandeurs. Cela représente une avancée majeure par rapport aux reconstructions précédentes, où l’on était obligé de faire appel à des outils plus sophistiqués et parfois anachroniques.

Enfin, les implications pratiques de ces théories ne se limitent pas à la simple vérification de relations proportionnelles. L’application des rapports théaététéens à des systèmes géométriques plus complexes, comme ceux qui font intervenir plusieurs grandeurs à la fois, ouvre la voie à une nouvelle compréhension de la structure des relations entre les éléments. Ainsi, les propriétés des rapports peuvent se généraliser et être utilisées pour aborder des problèmes géométriques et algébriques plus complexes. La possibilité de comparer les rapports en termes de périodicité ou de finitude permet de développer une approche unifiée qui résume de manière élégante et cohérente les relations entre grandeurs. Ce concept pourrait même être élargi pour intégrer de nouveaux types de grandeurs ou de rapports, ce qui rend la théorie de Théétète d’autant plus riche et pertinente dans le contexte moderne des mathématiques.

Comment la cohérence des représentations influence la conjecture de Poincaré et les structures géométriques

$\pi : M2 \to M2.$

Une fois ces éléments exposés, je peux revenir à l’étude de $Po \, V$, qui, en précisant ce que j’ai dit précédemment, visait à déduire de $Po \, IV$ que $3$ admettait des représentations cohérentes. Cela aurait à son tour impliqué que $3 \times I$ soit GSC, ce qui, avec $Po \, VI$, aurait permis de clore ma démonstration de la conjecture de Poincaré.

Mais avant de poursuivre mon histoire, je dois ouvrir une longue parenthèse. Tout le monde sait que j’ai consacré beaucoup de temps et d’énergie, une portion importante de ma vie, à la conjecture de Poincaré en trois dimensions. Certains savent aussi que je me suis intéressé à d’autres domaines de recherche. Par exemple, j’ai participé de manière importante à la préhistoire du principe $h$ de Gromov, à la théorie des singularités, et bien sûr, à la physique. Concernant ma carrière de physicien, si je puis l’appeler ainsi, j’ai travaillé avec certains de mes amis physiciens sur les défauts des milieux ordonnés en physique de la matière condensée. Nous avons notamment lié la dynamique de ces défauts à la supersymétrie, un type de supersymétrie ou plutôt des super-algèbres issues du produit de Whitehead pour les groupes d'homotopie, ainsi qu’à l’absence de commutativité des groupes fondamentaux, ce qui a permis d’expliquer certains phénomènes jusqu’alors paradoxaux. Nous avons également relié cette dynamique aux monopôles magnétiques de t’Hooft et Polyakov, ce qui expliquait un certain nombre de choses à l'époque.

Un aspect de ma recherche qui est moins connu, c’est que, depuis le début des années 1970, j’ai aussi beaucoup investi dans le problème de Schoenflies en dimension quatre. Dans le cadre de votre percée majeure en 1958, vous aviez montré que toute boule lisse de Schoenflies en quatre dimensions était homéomorphe à la boule standard, et que l'homéomorphisme en question est en réalité un difféomorphisme, à l'exception peut-être d’un point à la frontière. Depuis les années 1960, on savait aussi, grâce à la combinaison de votre travail avec le théorème d’h-cobordisme de Smale et la théorie de Kervaire-Milnor, que dans toutes les dimensions autres que quatre, tout se passait correctement, c’est-à-dire que les boules de Schoenflies lisses sont toujours standard. Cependant, je me suis concentré sur le problème de lisser ce point à la frontière en quatre dimensions, en utilisant des techniques comme la théorie de Whitney des fonctions différentiables sur des ensembles fermés arbitraires. Mais rien ne semblait fonctionner.

Mais un grand malheur se produisit : nous découvrîmes un énorme fossé irréparable dans l’article $Po \, V$, et je ne tenterai pas de décrire ici ce que j’ai ressenti à ce moment-là. Néanmoins, nous avons continué à Levico, et d’autres personnes se joignirent à nous, notamment Frank Quinn. Dave et moi avons donné des conférences sur les articles $Po \, I$ à $Po \, IV$. Les gens étaient heureux de ces échanges, ce qui mena à l’organisation d’une deuxième réunion à Levico, pour l’été 1995, toujours sur mon projet concernant la conjecture de Poincaré.