Les modèles cinétiquement contraints (KCM) en une dimension offrent un cadre simple mais riche pour comprendre les mécanismes fondamentaux des transitions dynamiques dans des systèmes désordonnés. Parmi eux, trois familles se distinguent selon leurs contraintes d’évolution locale : FA-1f (avec les mises à jour autorisées sur les voisins immédiats gauche et droite), East (mise à jour unidirectionnelle à droite), et FA-2f (contrainte plus large, mais moins pertinente dans ce contexte).

Dans le modèle FA-1f, où la contrainte impose qu’un site ne peut changer d’état que si au moins un voisin immédiat est vide, la dynamique à basse densité d’activation (petite valeur de q) est caractérisée par un comportement asymptotique bien défini. Le taux d’activation faible entraîne une dispersion des sites vides isolés, qui se comportent comme des particules effectuant une marche aléatoire à taux q. Lorsqu’elles se rencontrent, elles fusionnent, ce qui explique l’échelle de temps caractéristique de l’ordre de 1/q³. Ce temps correspond essentiellement au temps nécessaire pour que deux sites vides distants d’environ 1/q se rejoignent et interagissent, résultant d’une combinaison entre le taux d’activation faible et la distance moyenne entre ces sites.

L’analyse rigoureuse repose sur une fonction test mesurant la distance au site vide le plus proche, dont la variance est géométrique en q. Cette construction permet d’établir des bornes inférieures et supérieures précises sur le temps de relaxation et les temps d’atteinte, avec une dépendance en q³. Ce résultat s’inscrit dans une loi d’Arrhenius classique, où les temps caractéristiques croissent exponentiellement en fonction de l’inverse de la température, reproduisant ainsi le comportement observé dans les liquides forts.

En revanche, le modèle East, avec sa contrainte unidirectionnelle, révèle une dynamique bien plus lente et subtile. La relaxation y suit une loi super-Arrhenius, où les temps caractéristiques croissent approximativement comme exp(cβ²), avec β l’inverse de la température. Cette croissance plus rapide est un reflet des contraintes directionnelles qui induisent une hiérarchie dans les échelles de temps et d’espace, caractéristique des liquides fragiles. Les preuves font appel à des techniques d’analyse fine des chemins légaux dans l’espace des configurations, et montrent une équivalence, à l’échelle de 1/q, entre temps de relaxation et temps de mélange.

Ces modèles, bien qu’unidimensionnels, jouent un rôle fondamental dans l’étude des KCM plus complexes en dimensions supérieures, notamment par des arguments de renormalisation. Leur compréhension permet d’élucider comment des phénomènes de goulot d’étranglement combinatoires et des chemins dynamiques canoniques déterminent la dynamique globale des systèmes à contraintes locales.

Au-delà des résultats techniques, il est crucial de saisir que la dynamique lente observée résulte d’une compétition entre la rareté des événements activant la mobilité (liée à q) et la structure spatiale des contraintes. Cette interaction engendre des échelles de temps très longues, parfois divergentes, qui illustrent la nature fondamentale des verres et systèmes désordonnés hors d’équilibre.

Par ailleurs, la généralisation en dimension deux et plus laisse entrevoir des comportements différents, notamment une dépendance en log(1/q)/q² ou q⁻², soulignant l’importance du dimensionnement spatial sur la dynamique. Ces conjectures restent un défi pour l’analyse mathématique rigoureuse.

Comment les techniques de bisection permettent-elles d’établir des bornes supérieures sur le temps de relaxation dans le modèle d’East ?

La technique de bisection est au cœur de la démonstration de la borne supérieure du temps de relaxation dans le cadre du modèle cinétique contraint d’East. L’enjeu est de comprendre comment, à l’aide d’inégalités de Poincaré adaptées, on peut contrôler le comportement asymptotique de ce temps en fonction de la taille du système.

Une première étape consiste à introduire une version élémentaire du modèle, centrée sur deux blocs, c’est-à-dire deux espaces de probabilités finis, (X1,π1)(X_1, \pi_1) et (X2,π2)(X_2, \pi_2), dont le produit est (X,π)(X, \pi). La variance d’une fonction ff sur XX peut alors être encadrée par la somme des variances conditionnelles sur chaque bloc, pondérées par la probabilité d’un événement X⊂X1X \subset X_1. Cette inégalité, qui est un cas particulier d’une inégalité de Poincaré, conduit à une borne explicite sur le temps de relaxation d’un processus de Markov défini sur XX, notamment Trel≤11−1−π(X)T_\text{rel} \leq \frac{1}{1 - \sqrt{1 - \pi(X)}}. Ce résultat est optimal et montre que, pour certaines configurations simples, on peut maîtriser exactement la vitesse de convergence vers l’équilibre.

Cette idée est ensuite exploitée de façon itérative : à chaque étape, on divise un système de taille 2k+12^{k+1} en deux parties — l’ancienne Λk\Lambda_k et la nouvelle Λk′\Lambda'_k. L’application répétée du lemme sur les deux blocs permet alors de relier TΛk+1relT_{\Lambda_{k+1}}^\text{rel} à TΛkrelT_{\Lambda_k}^\text{rel}, via l’expression

TΛk+1rel≤TΛkrel1−εk,T_{\Lambda_{k+1}}^\text{rel} \leq \frac{T_{\Lambda_k}^\text{rel}}{1 - \sqrt{\varepsilon_k}},

où εk=1−π1(X)\varepsilon_k = 1 - \pi_1(X) représente la probabilité que la condition d’indépendance entre les blocs ne soit pas satisfaite.

Cependant, ce raisonnement échoue si εk\varepsilon_k reste constant, comme c’est le cas pour un choix naïf de l’événement X={ω2k+1=0}X = \{ \omega_{2k+1} = 0 \}, car alors la borne devient infinie. Pour contourner cette difficulté, on raffine le choix de XX en exigeant la présence d’un site vide parmi un sous-ensemble croissant δk\delta_k situé juste à l’est de la région Λk\Lambda_k. On définit alors X={∃i≤δk:ω2k+i=0}X = \{ \exists i \leq \delta_k : \omega_{2k+i} = 0 \}, ce qui fait décroître εk\varepsilon_k de façon exponentielle avec kk. En conséquence, le produit infini qui apparaît dans la borne devient convergent.

Mais ce raffinement entraîne des ajustements techniques. L’événement XX n’est plus localisé en un unique site, et les contributions aux formes de Dirichlet deviennent alors plus complexes à exprimer. Pour pallier cela, on introduit une variable aléatoire ξ\xi qui identifie la position du site vide le plus à droite dans Λk′\Lambda'_k, tout en restant à une distance au plus δk\delta_k de Λk\Lambda_k. Cette variable permet de conditionner les variances locales et d’utiliser l’indépendance probabiliste pour obtenir un encadrement efficace des termes de la variance totale.

L’argument repose enfin sur la convexité de la variance, et sur la monotonie des temps de relaxation en fonction du volume, pour garantir que la décomposition en sous-volumes n’amplifie pas artificiellement les bornes. Une complication supplémentaire provient du recouvrement partiel entre Λk\Lambda_k et Λk′\Lambda'_k, qui peut induire des doubles comptages dans les formes de Dirichlet. Ce problème est résolu en moyennant sur différentes partitions possibles de Λk+1\Lambda_{k+1}, ce qui assure une régularité globale du contrôle.

Ce processus révèle la puissance de la méthode de bisection : en exploitant une hiérarchie d’échelles, et en introduisant des conditions aux bords adaptées à chaque niveau, on obtient des bornes sur le temps de relaxation qui sont uniformes en volume. Cette approche est fondamentale dans l’analyse des dynamiques de Glauber dans les modèles contraints, où les dépendances locales compliquent les estimations spectrales directes.

Le point clé à retenir est que la technique de bisection permet de contourner l’absence d’inégalités de Poincaré explicites sur de grands volumes, en construisant ces dernières à partir d’arguments locaux contrôlés. Elle illustre comment la structure hiérarchique et la géométrie des contraintes dans le modèle d’East peuvent être exploitées de manière algorithmique pour obtenir des estimations quantitatives précises.

Ce que ce développement suppose, sans toujours le dire explicitement, c’est l’importance de la compatibilité entre les conditions aux bords et la dynamique locale. En effet, la présence ou l’absence de sites vides dans certaines régions du système détermine entièrement la possibilité d’une évolution. Une inégalité de Poincaré n’est donc utile que si elle tient compte de cette dépendance spatiale. Ainsi, le succès de la méthode de bisection repose sur un ajustement soigneux des événements XX à chaque échelle, de manière à rendre la dynamique effectivement ergodique localement. C’est cette articulation subtile entre analyse fonctionnelle et contraintes dynamiques qui confère toute sa finesse à cette méthode.

Comment l'algorithme de cycle de Toom peut-il être appliqué aux composants connectés dans les processus de type North-East BP ?

Le théorème [30] nous permet de remplacer un champ dépendant de l'indicateur des sites "bons" par un champ indépendant, tout en conservant des marges élevées (au prix d'un ajustement de .ε′). Une fois que nous avons les bons points spatio-temporels, nous définissons la version discrète dans le temps, ξ, de SCP, que nous désignons sous le nom de BP Nord-Est avec un paramètre de décès .ε′. Soit ξ(0) = 0 pour m ≥ 1 et 2 x ∈ Z, définissons ξx(m) = 0 si (m − 1, x) est un bon site et ξx(m − 1) = 0, ou bien si (m − 1, x) est un bon site et ξx+e1(m − 1) = ξx+e2(m − 1) = 0. Sinon, on pose ξx(m) = 1. Le nom de ce processus se justifie par le fait qu'en l'absence de points spatio-temporels non bons, ce processus est exactement celui du BP avec une famille de mises à jour Nord-Est (voir Fig. 2.1e). Il est facile de vérifier que si ξx(m) = ξx(m + 1) = 0, alors ζ′′ x (t) = 0 pour tout t ∈ [mT, (m + 1)T).

Considérons donc l'ensemble X = {(m, x) ∈ {0, 1, ...} × 2Z : ξx(m) = 1} (7.14), équipé de tous les arêtes sous la forme ((m, x), (m′, x′)) avec (m′ − m, x′ − x) ∈ {−1, 0, 1} × {0, e1, e2, −e1, −e2} (7.15). Il suffit donc de prouver (7.13) pour le composant connexe C′ m,x de tout point spatio-temporel (m, x) dans X.

Avant d'aborder les composants connexes C′ m,x dans X, il est utile de montrer que la probabilité P(ξx(m) = 1) est faible pour tout point spatio-temporel (m, x). Il s'agit là d'une application d'un résultat classique de Toom [31] sur la stabilité des automates cellulaires soumis à des bruits aléatoires. Cependant, étant donné que notre automate cellulaire est un BP avec une règle de mise à jour unique, il est possible d'utiliser un argument plus simple de Swart, Szabó et Toninelli [32, Sect. 3.5], que nous exposons ci-dessous.

Nous présentons la construction d'un cycle de Toom sous forme d'un algorithme illustré par la Fig. 7.1. Fixons une réalisation des bons points spatio-temporels telle que ξx(m) = 1. Pour chaque (m′, x′) tel que ξx′(m′) = 1 et (m′ − 1, x′) est un bon site, fixons un e(m′, x′) ∈ {e1, e2} tel que ξx′+e(m′, x′)(m′ − 1) = 1, ce qui existe nécessairement par construction. Nous construisons une séquence de points spatio-temporels à partir de (m, x). Les éléments de la séquence pour lesquels l'élément précédent et suivant ont des coordonnées temporelles plus grandes sont appelés "puits". Initialement, la séquence est constituée du seul point T0 = (m, x). Si e(m, x) n'est pas défini, nous nous arrêtons et renvoyons T0. Sinon, nous explorons : remplaçons le point (m, x) par la séquence T1 = (m, x), (m − 1, x), (m, x), (m − 1, x + e(m, x)), (m, x). Pour l ≥ 1, étant donné Tl, nous définissons Tl+1 comme suit : Parmi les puits (m′, x′) de Tl tels que e(m′, x′) est défini, nous trouvons le premier qui maximise m′. Si aucun élément de ce type n'existe, nous arrêtons et renvoyons Tl. Sinon, nous explorons : remplaçons le point spatio-temporel sélectionné (m′, x′) dans Tl par (m′, x′), (m′ − 1, x′), (m′, x′), (m′ − 1, x′ + e(m′, x′)), (m′, x′). Le résultat de cette opération est noté T′l. Si les points (m′ − 1, x′) et (m′ − 1, x′ + e(m′, x′)) ne sont pas déjà présents dans Tl, nous définissons Tl+1 = Tl. Sinon, nous supprimons de T′l tous les sommets du sous-cycle correspondant, sauf l'une des deux occurrences de (m′ − 1, x′), pour obtenir T′′l. Enfin, nous appliquons cette opération de suppression de cycle à T′′l si (m′ − 1, x′ + e(m′, x′)) apparaît deux fois dans cette séquence. Le résultat final définit Tl+1. La sortie de cet algorithme est appelée le cycle de Toom enraciné en (m, x).

Les propriétés combinatoires de cet objet sont bien définies et relativement simples à démontrer, bien que les preuves puissent être détaillées. Nous renvoyons à [32] pour les détails. Tout d'abord, le cycle de Toom est bien défini, contient sa racine et ses incréments appartiennent à {(−1, 0, 0), (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1, −1, 0), (−1, 0, 1), (1, 0, −1)}. Par conséquent, le nombre de cycles de Toom de longueur l pour une racine donnée est au plus 6l. Deuxièmement, pour chaque puits (m′, x′), le point spatio-temporel (m′ − 1, x′) n'est pas bon, et chaque puits n'apparaît qu'une seule fois dans le cycle.

Nous observons qu'il existe trois types de sommets dans un cycle de Toom : ceux avec deux voisins ayant une coordonnée temporelle plus petite, ceux avec deux voisins ayant une coordonnée temporelle plus grande, et les autres. Nous les appelons sources, puits et sommets internes. Le nombre n* de sources et de puits est le même par double comptage. On peut prouver que les sommets internes (mi, xi) tels que leurs voisins ne sont ni des puits ni des sources satisfont ((mi+1 − mi), ⟨1, xi+1 − xi⟩) = ((mi − mi−1), ⟨1, xi − xi−1⟩) ∈ {(−1, 0), (1, −1)}. Lorsque cette quantité est (1, −1) (resp. (−1, 0)), nous appelons le sommet interne bleu (resp. rouge) et notons le nombre de tels sommets nb (resp. nr). En examinant les incréments temporels, il est évident que |nb − nr| ≤ 4n*. D'autre part, en examinant les incréments spatiaux projetés ⟨1, xi+1 − xi⟩, nous voyons que nb ≤ 6n*. En combinant ces faits, nous obtenons que la longueur totale du cycle de Toom est au plus 6n* + nb + nr ≤ 22n*. Comme indiqué précédemment, les puits ne sont pas bons et distincts, donc la probabilité que tous les puits d'un cycle de Toom soient mauvais est au plus (ε′)n*.

Quels types de transitions apparaissent dans les modèles cinétiquement contraints (KCM) ?

Une des subtilités fondamentales des modèles cinétiquement contraints (KCM) réside dans la nature des transitions de phase qui les caractérisent. Lorsque le paramètre de contrainte atteint sa valeur maximale, soit j = k, la transition observée est continue : elle se rapproche d’une percolation standard. En revanche, pour tout j ∈ {2, ..., k−1}, la transition devient discontinue. Cette discontinuité est révélée par une probabilité strictement positive que le temps d’atteinte de l’état absorbant soit infini, même lorsque le système est initialisé au seuil critique. Cette différence dans la nature des transitions rend l’analyse des cas intermédiaires particulièrement ardue.

Dans les modèles orientés, il a été démontré que lorsque k = j = 2, une convergence exponentielle vers l’équilibre se produit dès que q > q_c, à partir de toute distribution initiale dont q' > q_c. Cette preuve s’étend naturellement aux cas où j = 1 ou j = k. En revanche, pour les autres valeurs de j, bien que l'on conjecture que le comportement reste analogue, les résultats rigoureux restent à établir.

Le cadre inhomogène, bien qu’effleuré, ouvre un champ de recherche encore peu exploré. Il consiste à faire dépendre les règles de mise à jour du site considéré, rendant ainsi le système spatialement hétérogène. Par exemple, sur ℤ^d, on peut imposer à chaque site une contrainte de type FA-jx, où jx est choisi aléatoirement selon une loi sur {0, ..., 2d}. Ces modèles, peu étudiés jusqu’à présent, suscitent un intérêt croissant, en particulier dans des dimensions supérieures.

Les modèles avec interactions statiques offrent une autre généralisation naturelle des KCM. Dans ce cadre, chaque site est mis à jour selon une mesure qui dépend de l’état de ses voisins, par exemple via une dynamique de Glauber contrainte appliquée au modèle d’Ising. Le taux de transition est alors modifié pour intégrer une interaction locale avec une température inverse β, reflétant la présence d’un champ magnétique externe ou de couplages à longue portée. Ces considérations introduisent une dimension supplémentaire de complexité mais reflètent plus fidèlement les phénomènes physiques observés dans les systèmes vitreux réels.

Les modèles à interactions de type plaquette, quant à eux, n’imposent pas de contraintes cinétiques explicites mais introduisent des interactions statiques à plusieurs corps. Le modèle de la plaquette carrée en est un exemple emblématique : chaque plaquette est un carré de quatre sites sur ℤ^2, et l’énergie du système dépend du produit des spins sur chaque plaquette. Cette structure produit, à basse température, des comportements dynamiques proches de ceux observés dans les KCM traditionnels, montrant que les contraintes cinétiques peuvent émerger de manière effective à partir d’interactions statiques.

Lorsque l’on adopte une perspective microscopique, les modèles conservatifs deviennent plus naturels : ils imposent la conservation stricte du nombre de particules. Le modèle de Kob-Andersen (KA-jf) en est la réalisation la plus emblématique. Dans ce modèle, deux sites voisins peuvent échanger leur état uniquement si chacun possède au moins j−1 voisins vides. Pour j = 1, on retrouve le processus d’exclusion simple symétrique (SSEP), mais les cas j ≥ 2 révèlent une richesse dynamique bien plus grande.

Une classe plus large émerge alors : les gaz de réseau cinétiquement contraints (KCLG), qui possèdent une mesure réversible identique à celle des modèles non conservatifs. Le seuil d’ergodicité dans ces modèles coïncide avec le seuil d’échangeabilité : c’est le plus petit q pour lequel il existe, presque sûrement, un chemin légal permettant d’échanger deux variables d’occupation quelconques. Biroli, Fisher et Toninelli ont montré que ce seuil est nul pour tout KA-jf avec j ∈ {2, ..., d}, indiquant une connectivité globale du système même à très faible densité.

Les preuves s’appuient sur la notion de configurations frameable, c’est-à-dire connectables à une configuration de bord bien choisie via un chemin légal. La probabilité qu’une configuration soit frameable tend vers un lorsque le volume croît plus vite qu’un seuil exponentiel dépendant de q, j et d. Ces résultats, couplés à des méthodes de chemins canoniques et de renormalisation, montrent que l’écart spectral du modèle KA-jf diminue comme L⁻², modulo un facteur pré-exponentiel dépendant de la densité.

La diffusion d’une particule marquée dans un tel système révèle un comportement purement diffusif pour toutes les dimensions d ≥ 2 et pour tout j ∈ [2, d], à toute densité q ∈ (0, 1). Ce résultat rigoureux réfute les conjectures basées sur des simulations numériques qui prédisaient une transition entre régimes diffusif et non diffusif. Les bornes supérieure et inférieure du coefficient de diffusion D(q) confirment une décroissance rapide, expliquant les erreurs d’interprétation observées dans certaines études numériq

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